交集与并集文档格式.docx
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A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
A＝{x|x&
lt;
－2}，B＝{x|x&
gt;
－5}．
解 如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，
A∩B＝{1,2,3}．
结合数轴得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5&
x&
－2}．
规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集、并集．
变式迁移1若集合A＝{x|x&
－1}，B＝{x|－2&
2}，则A∪B等于
A．{x|x&
－2}
B．{x|x&
－1}
c．{x|－2&
D．{x|－1&
2}
若将中A改为A＝{x|x&
a}，求A∪B，A∩B.
答案 A
解析 画出数轴，故A∪B＝{x|x&
解 如图所示，
当a&
－2时，A∪B＝A，A∩B＝{x|－2&
2}；
当－2≤a&
2时，A∪B＝{x|x&
－2}，A∩B＝{x|a&
当a≥2时，A∪B＝{x|－2&
2或x&
a}，A∩B＝&
.
已知集合的交集、并集求参数
【例2】已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x&
－1或x&
5}．
若A∩B＝&
，求a的取值范围；
若A∪B＝R，求a的取值范围．
解 由A∩B＝&
，
①若A＝&
，有2a&
a＋3，
∴a&
3.
②若A≠&
，如图：
∴2a≥－1a＋3≤52a≤a＋3，解得－12≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－12≤a≤2或a&
3}．
由A∪B＝R，如图所示，
∴2a≤－1a＋3≥5，解得a∈&
规律方法 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．
变式迁移2已知集合A＝{x|2&
4}，B＝{x|a&
3a}．
，试求a的取值范围；
若A∩B＝{x|3&
4}，试求a的取值范围．
解 如图，有两类情况，一类是B≠&
&
#8658;
a&
0.
此时，又分两种情况：
①B在A的左边，如图B所示；
②B在A的右边，如图B′所示．
B或B′位置均使A∩B＝&
成立，
即3a≤2或a≥4，解得0&
a≤23，或a≥4.
另一类是B＝&
，即a≤0时，显然A∩B＝&
成立．
综上所述，a的取值范围是{a|a≤23，或a≥4}．
因为A＝{x|2&
4}，A∩B＝{x|3&
4}，
如图所示：
集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时B＝{x|3&
9}，所以a＝3为所求．
交集、并集性质的运用
【例3】已知集合A＝{x|1&
ax&
2}，B＝{x||x|&
1}，且满足A∪B＝B，求实数a的取值范围．
解 ∵A∪B＝B，
∴A&
B.
当a＝0时，A＝&
，满足A&
0时，A＝x|1a&
2a.
∵A&
B，∴1a≥－12a≤1
∴a≥2.
0时，A＝x|2a&
1a.
B，∴2a≥－11a≤1
∴a≤－2.
综合知，a的取值范围是
{a|a≤－2或a＝0或a≥2}．
规律方法 明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义，根据问题的需要，将A∩B＝B和A∪B＝B转化为等价的关系式B&
A和A&
B是解决本题的关键．另外在B&
A时易忽视B＝&
时的情况．
变式迁移3设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
解 ∵A∩B＝B，∴B&
A.
∵A＝{－2}≠&
∴B＝&
或B≠&
当B＝&
时，
方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠&
此时a≠0，则B＝{－1a}，
∴－1a∈A，
即有－1a＝－2，得a＝12.
综上，得a＝0或a＝12.
．A∪B的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的．求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次．
2．A∩B＝A&
#8660;
A&
B，A∪B＝B&
B，这两个性质非常重要．另外，在解决有条件A&
B的集合问题时，不要忽视A＝&
的情况．
课时作业
一、选择题
．设集合A＝{x|－5≤x&
1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于
A．{x|－5≤x&
1}
B．{x|－5≤x≤2}
c．{x|x&
D．{x|x≤2}
2．下列四个推理：
①a∈&
a∈A；
②a∈&
a∈；
③A&
B&
A∪B＝B；
④A∪B＝A&
A∩B＝B.其中正确的是
A．1
B．2
c．3
D．4
答案 c
解析 ②③④正确．
3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x&
0或x≥2}，则A∪B等于
0或x≥1}
0或x≥3}
0或x≥2}
D．{x|2≤x≤3}
解析 结合数轴知A∪B＝{x|x&
0或x≥1}．
4．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a&
4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是
A．3≤a&
4
B．－1&
c．a≤－1
D．a&
－1
5．满足条件m∪{1}＝{1,2,3}的集合m的个数是
答案 B
二、填空题
6．已知A＝{|x＋y＝3}，B＝{|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案 {}
7．设集合A＝{x|－1≤x&
2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠&
，则实数a的取值范围为________．
答案 a≥－1
8．已知集合A＝{x|x&
1或x&
5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5&
x≤6}，则2a－b＝________.
答案 －4
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
三、解答题
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
解 ∵B&
，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±
2或x＝±
6.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
0．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B&
A，集合B有两种情况，B＝&
B＝&
时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a&
0，∴a&
4.
B≠&
时，当Δ＝0时，
a＝4，B＝{2}&
A满足条件；
当Δ&
0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.
探究驿站
1．求满足P∪Q＝{1,2}的集合P，Q共有多少组？
解 可采用列举法：
当P＝&
时，Q＝{1,2}；
当P＝{1}时，Q＝{2}，{1,2}；
当P＝{2}时，Q＝{1}，{1,2}；
当P＝{1,2}时，Q＝&
，{1}，{2}，{1,2}，
∴一共有9组．
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