等腰三角形基础知识讲解Word格式文档下载.docx
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等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形
由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形•也就是说等腰三角形
包
括等边三角形.
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
Cl、（2015春？
张家港）如图，已知△ABC中,AB=BD=DC/ABC=105，求/A,/C度
数.
【答案与解析】
解：
•••AB=BD
•••/BDAMA,
•••BD=DC
•••/C=ZCBD
设/C=ZCBD=x
贝U/BDAMA=2x,
•••/ABD=180-4x,
•••/ABC/ABD/CDB=180-4x+x=105°
解得：
x=25°
所以2x=50°
即/A=50°
/C=25°
．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；
解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质,并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
举一反三：
【变式】已知：
如图，DE分别为ABAC上的点，AOBOBD,AD=AEDE=CE
求/B的度数．
【答案】
•••AC=BOBD,AD=AEDE=CE
•••设/EdEDC=x,/BCD=ZBDC=y,
则/AED=ZADE=2x,/A=ZB=180°
—4x
在厶ABC中，根据三角形内角和得,
x+y+180°
—4x+180°
—4x=180°
①
又•••ADB在同一直线上，二2x+x+y=180°
②
由①，②解得x=36°
•••/B=180°
—144°
=36°
类型二、等腰三角形中的分类讨论
、在等腰三角形中，有一个角为40°
求其余各角.
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°
的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
（1）当40°
的角为顶角时，由三角形内角和定理可知:
两个底角的度数之和=180°
—40°
=140°
，又由等腰三角形的性质可知：
两底角相等，故每个底角的度数114070;
2
（2）当40°
的角为底角时，另一个底角也为40°
，
则顶角的度数=180°
=100
•••其余各角为70°
70°
或40°
100
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏O3、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.
（1）3为腰长时，则另一腰长也为3,底边长=13-3-3=7;
1
⑵3为底边长时，则两个腰长的和二13-3=10,则一腰长丄105.
这样得两组：
①3,3,7②5,5,3.
而由构成三角形的条件：
两边之和大于第三边可知：
3+3V7,故不能组成三角形，应舍去.
•••等腰三角形的周长为13,—边长为3,其余各边长为5,5.
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有
说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论•同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案.
【变式】
（2015?
威海模拟）如图，△ABC中BDCD平分/ABC/ACB过D作直线平行于
BC,交ABAC于E、F,AB=5,AC=7BC=8△AEF的周长为（）
A.13B.12C.15D.20
【答案】选B.
解:
•••EF//BC,
•••/EDBMDBC
•••BD平分/ABC
•••/EBDMCBD
•••/EDBMEBD
•••BE=ED同理DF=CF
•••△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF
=AE+BE+CF+AF
=AB+AC
=5+7
=12.
类型三、等腰三角形性质和判定综合应用
4、已知：
如图，△ABC中，ACB45，ADLBC于D,CF交AD于点F,连接BF
并延长交AC于点E,BADFCD.
求证：
（ABD^ACFD
（2）BE!
AC
【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD=DC易证△ABt^ACFD要证BELAC,只需
证/BEC=90°
即可,DF=BD,可知/FBD=45°
由已知/ACD=45°
可知/BEC=90【答案与解析】
证明：
（1）tADLBC,•••/ADC=ZFDB=90
•••ACB45,
•••ACBDAC45
•••AD=CD
•••BADFCD,
•••△ABD^ACFD
（2）ABD^ACFD
•••BD=FD.
vZFDB=90°
•••FBDBFD45.
vACB45,
•••BEC90.
•••BELAC
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理,等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证
△ABD^ACFD推出BD=FD求出/FBD"
BFD=45.
类型四、等边三角形
、如图.在等边厶ABC中，/ABC与/ACB的平分线相交于点0,且0D/AB0E/AC
（1）试判定△0DE勺形状，并说明你的理由;
（2）线段BDDEEC三者有什么关系？
写出你的判断过程.
（ODE是等边三角形，
其理由是：
•••△ABC是等边三角形,
•••/ABC=ZACB=60°
•••OD/AB,OE/AC，
•••/OD^ZABC=60°
/OED=ZACB=60°
•••△ODE是等边三角形；
（2）答：
BD=DE=EC,
•••OB平分ZABC且ZABC=60°
•••OD/AB,
•••/BOD=ZABO=30°
•••/DBO=ZDOB
•••D吐DO
同理，EC=EO
vDE=OD=OE
•••BD=DE=EC
【总结升华】
（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到/DBO^ZDOB根据等角对等边可得到D吐DO同理可证明EC=EO因为DE=OD=OE所以BD=DE=EC.
【变式】等边△ABCP为BC上一点,含30°
、60°
的直角三角板60°
角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.如图，当P为BC的三等分点，且PE!
AB时，判断△EPF的形状.
vPE!
AB/B=60°
11
因此直角三角形PEB中,BE=丄BA^BOPC,
23
:
丄BPB30
vZEP&
60°
•••FP丄BC,
vZB=ZC=60°
BE=PCZPEB=ZFPC=90
•••△BEP^ACPF
•••PE=PF,
vZEPF=60°
•••△EPF是等边三角形.
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