圆地知识点总结史上最全地Word格式.docx

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圆与圆的位置关系:

外离（图1）无交点d>

R+r

外切（图2）有一个交点d=R+r

相交（图3）有两个交点R-r<

内切（图4）有一个交点d=R-r

内含（图5）无交点d<

R-r

图4

图5

图1图2

图3

垂径定理:

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤

BCBDACAD

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：

在⊙O中，∵AB∥CD

圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对

O的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等

D此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只

要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个

结论也即：

①∠AOB=∠DOE②AB=DE

③OC=OF④BAED

圆周角定理

圆周角定理：

同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

即：

∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠ACB

圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

半圆或直径所对的圆周角是直角；

圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°

∴∠C=90°

∴AB是直径

推论3：

三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角

形

在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：

在直角三角形中斜边上的中线

C等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:

弦切角等于所夹弧所对的圆周角

O推论：

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

∵MN是切线，AB是弦

∴∠BAM=∠BCA

NAM

圆内接四边形

D圆的内接四边形定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

C即：

在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180°

B+∠D=180°

∠DAE=∠C

切线的性质与判定定理

（1）判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

∵MN⊥OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

过圆心垂直于切线的直线必过切点

过切点垂直于切线的直线必过圆心

以上三个定理及推论也称二推一定理：

过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件

∵MN是切线MA

B∴MN⊥OA

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的

连线平分两条切线的夹角。

∵、是的两条切线PAPB

∴PA=PB

APO平分∠BPA

圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P

AOE

∴PA·

PB=PC·

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

在⊙O中，∵直径AB⊥CD

∴

CEDEEAEB

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线

段长的比例中项

在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

PAPCPB

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点

的两条线段长的积相等（如上图）

在⊙O中，∵PB、PE是割线

PCPBPDPE

圆公共弦定理：

连心线垂直平分公共弦

∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

∴O1O2垂直平分AB

A两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：

在Rt△O1O2C中，

O1O2

2222ABCOOOCO

1122

（2）外公切线长：

CO2是半径之差；

内公切线长：

CO2是半径之和

圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:

BD:

OB=1:

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE:

AE:

OA=

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:

OB:

弧长、扇形面积公式

（1）弧长公式：

（2）扇形面积公式：

180

SlR

3602

总结归纳：

《圆》的知识考点

圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性．质．定．理．与判．

定．定．理．及公．式．。

一、圆的有关概念

1、圆。

动

→封闭曲线围成的图形

静（集合）

2、弦、直径、切线。

→直线

3、弧、半圆。

→曲线

4、圆心角、圆周角。

5、三角形的外接圆、外心。

→用到：

线段的垂直平分线及性质

6、三角形的内切圆、内心。

角的平分线及性质

二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角）

1、圆的对称性。

→

轴对称

中心对称

2、垂径定理及其推论。

3、弧、弦、圆心角之间的关系定理

4、圆周角定理及推论。

→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角

5、切线的性质定理。

6、切线长定理。

三、判定定理

切线的判定→两种思路：

①连半径，证垂直；

②作垂直，证半径

四、点、直线、圆与圆的位置关系

1、点与圆的位置关系

位置关系数量关系

点在圆外d>

点在圆上d=r

2、直线与圆的位置关系：

相离d>

相切d=r

相交d<

3、圆与圆的位置关系：

外离d>

外切d=R+r

相交R-r<

内切d=R-r

内含d<

五、正多边形和圆

1、有关概念

正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距

2、方法思路：

构造等．腰．（等．边．）三角形、直．角．三角形，在三角形中求线、角、面积。

六、圆的有关线的长和面积。

1、圆的周长、弧长

C=2r,l=

2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积

圆=r

，

S扇形=

360

，或S

1（即S

扇形=lr

扇形=

nr=lr

1）

S圆锥=

底面圆l

母线

3、求面积的方法

直接法→由面积公式直接得到

间接法→即：

割补法（和差法）→进行等量代换

与圆有关的计算

一、周长：

设圆的周长为C，半径为r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.

①圆的周长：

C＝２πR；

②扇形的弧长：

l。

例题1．（05崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。

两位老人同时

出发，以相同的速度由A处到B处散步，甲老人沿ADA1、A1EA2、A2FB的线路行走，乙老人沿ACB的

线路行走，则下列结论正确的是（）

（A）甲老人先到达B处（B）乙老人先到达B处（C）甲、乙两老人同时到达B处（D）无法确定

例题2．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF⋯叫做正三角形的“渐开线”，其中CD、DE、EF⋯的圆心依次按A、B、C循环，将

它们依次平滑相连接。

如果AB=1，试求曲线CDEF的长。

例题3．（06芜湖）已知如图，线段AB∥CD，∠CBE=600，且

AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半径为10cm,从A到D的表面很粗糙，求⊙O从A滚动到D，圆心O

所经过的距离。

例题4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑

动旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）圈。

A4B3C5D3.56.

例题5．（08大兴二模）如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆

柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横

截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，

人前进了_________m．

例题6．（08房山二模）如图，∠ACB＝60，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则

当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为.

二、面积：

设圆的面积为S，半径为r,扇形的面积为S扇形，弧长为l.

①圆的面积：

Sr②扇形的面积：

S扇形lr③弓形面积：

3602

SSS

弓形扇形

例题1．（05丰台练习二）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，如果∠A＝120°

，CD＝2，则扇形

OBAC的面积是____________。

例题2．（江西省）如图，⊙A、⊙B、⊙C两不相交，且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部

分）的面积之和为（）

例题3．（08大兴）北京市一居民小区为了迎接2008年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影部分为绿化

地，以A、B、C、D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径，已测得AB6m，则绿化地的面

积为（）

mA.18πB.36πC.45

πD.

例题4．如图，⊙O的半径为20，B、C为半圆的两个三等分点，A为半圆的直径的一个端点，求阴影部分的面积。

例题5．（08房山）如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案，其图案设计是：

①三等分AD（AB=BC=CD）②以点A为圆心，以AB

长为半径画弧，交AD于B、交AG于E；

③再分别以B、E为圆心，AB长为半径画弧，交AD于

C、交AG于F两弧交于H；

④用同样的方法作出右上角的三段弧．图2是用图1所示的四块地砖

铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是_______cm（结果保留）．

例题6.（08西城）如图,在RtABC中,BAC90,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点

D,则阴影部分的面积是.

例题7.（08朝阳）已知：

如图，三个半径均为1m的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C、D、E，直

线MN（地面）分别与⊙O2、⊙O3相切于点A、B．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）请你直接写出图中最

上面的铁管（⊙O1）的最低点P到地面MN的距离是______________m．

例题8．（08海淀）如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你

估算包装用的材料为多少（边缝忽略不计）。

三、侧面展开图：

①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；

②圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的。

例题1．（05丰台）圆柱的高为6cm，它的底面半径为4cm，则这个圆柱的侧面积是（）

A.48

cmB.24

222

cmC.48cmD.24cm

例题2．（05丰台）如果圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，那么它的侧面积是（）

A.15

cmB.20

cmC.24

cmD.40

例题3．（05海淀）如图圆锥两条母线的夹角为120，高为12cm，则圆锥侧面积为______，底面积为______。

例题4．（05朝阳）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（）

A.10

cmB.10cmC.20

cmD.20cm

例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是（）

2B.10πc2mC.12πc2mD.9πc2m

A.8πcm

四、正多边形计算的解题思路：

正多边形

连OAB

转化等腰三角形

作垂线OD

转化直角三角形。

可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。

例题1．（05朝阳）正n边形的一个内角是135，则边数n是（）

A.4B.6C.8D.10

例题2．如图，要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形，得到正六边形，它的边长为__________。

例题3．如图扇形的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、D、E分别在OA、OB、AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延

长线于点F，垂足为F。

若正方形的边长为1，则阴影部分的面积为______。

（福建福州）

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