三年级应用题还原问题Word文件下载.docx
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从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：
“年轻人，不劳而获可不行啊！
”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法
【解析】这个故事里包含的算题是：
樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长1倍，樵夫第三次Page1of16
回来，交付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？
我们可以倒着
想，最后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有24个钱，第二次交给神仙后有24212（个）钱，从桥上回来后有：
122436（个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩：
36218（个）钱，第一次从桥上回来后有：
182442（个）钱，所以樵夫一开始有：
42221（个）钱．答案】21个
巩固】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：
“你只要
走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：
财迷身上原有多少个铜板？
考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
关键词】可逆思想方法
解析】第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）⋯⋯依次类推即可．推算过程可列表如下：
所以原来有31个铜板．
答案】31个
例2】货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤
的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨？
结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了
然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；
根据“第三次运出现有煤的一
半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；
用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。
1）
剩余煤的吨数是：
1200
2
600
（吨）
2）
现有煤的一半是：
50
650
3）
现有煤的吨数是：
1300
4）
原有煤的一半是：
450850（吨）
5）
原有煤的吨数是：
850
1700
答：
货场原来有煤1700吨。
答案】1700吨
巩固】工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长米。
考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空关键词】可逆思想方法，2008年，陈省身杯
解析】如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：
143020262108（米）。
例3】甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着了。
甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。
乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。
丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多一条鱼。
这三个人至少钓到条鱼。
关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第12题解析】根据题意画图分析如下：
当a
1时，
b
2?
3b17，无法被2整除
2时，
3a
17，无法被2整除
3时，
3a125，c3b128∴三人至少钓得38125条
答案】25条
巩固】有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；
剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；
剩下的再四等分又剩一枚.问：
原来至少有多少枚棋子？
考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答关键词】可逆思想方法
解析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到第三次分之前有1415（枚），
第二次分之前有54+121（枚），第一次分之前有214+1=85（枚）.所以原来至少有85枚棋子.
答案】85枚
例4】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第
1111
二口又喝了剩下的1，第三口则喝了剩下的1，第四口再喝剩下的1，第五口喝了剩下的1．此
3456
时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
考点】单个变量的还原问题
难度】4星
题型】解答
11
解析】最开始瓶子里有矿泉水：
0.5111123
3（升）．
答案】3升
巩固】李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。
三遇店和花，喝光壶中酒。
壶中原有（
）斗酒。
考点】单个变量的还原问题【难度】4星
关键词】可逆思想方法，2006年，第四届，走美杯，六年级解析】设李白壶中原有x斗酒，则三次经过店和花之后变为0
2[2（2x1）1]10
8x70
7
x
8即壶中原有7斗酒.
8
答案】7斗
题型】填空
例5】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：
第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；
第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；
第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都
是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32216（个）棋子，而甲堆的棋子数是
321648（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；
乙堆原有20个棋子．
采用列表法非常清楚．
答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个
巩固】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?
考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36312（只），第一棵树上
的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；
第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；
第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：
现在一样多的：
36312（只），第一棵树上的小鸟只数：
121046（只）或12（104）6（只），第二棵树上的小鸟只数：
128416（只）或12（84）16（只），第三棵树上的小鸟只数：
1210814（只）或12（108）14（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．
答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟
35人支援第三队，又抽调剩
例6】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调
下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？
考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
解析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有30822（人）．由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有22244（人）；
由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有443579（人）；
由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有792158（人）．
列式为：
[（308）235]2792158（人）
还原问题有一个基本方法：
列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
答案】158人
巩固】科学课上，老师说：
“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？
解析】先求土星直径：
[（3000500）22000]24120000（千米）再求地球直径：
（1200004800）912800（千米），即：
地球的直径是12800千米.答案】12800千米
例7】有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半
少2块，从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问最初弟弟准备搬多少块?
关键词】可逆思想方法解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟3块，那么3个人搬的砖数就
一样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了1836（块），弟弟搬了633（块），爸爸搬了639（块）．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是
（32）210（块），哥哥的砖数是18108（块）；
弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8216（块），那时，弟弟的砖数是18162（块）；
哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块．所以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是224（块），那时，哥哥的砖数是18414（块）．所以，最初，弟弟准备搬4块砖．即：
⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：
哥哥：
1836（块），爸爸：
639（块），弟弟：
633（块）
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：
哥哥：
（62）28（块），
弟弟：
（32）210（块）
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：
8216（块），弟弟：
18162（块）
⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：
224（块），哥哥：
18414（块）
答案】4块
巩固】有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？
解析】先算出最后各挑几块：
（和差问题）哥哥是（262）214（块），弟弟是261412（块），然后来还原：
⑴哥哥还给弟弟5块：
哥哥是1459（块），弟弟是12517（块）；
⑵弟弟把抢走的一半还给哥哥：
抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9918（块），弟弟是1798（块）；
⑶哥哥把抢走的一半还给弟弟：
那么弟弟原来就是8816（块）．
答案】16块
例8】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，
老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；
接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；
然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人
轮流谦让了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水．请问：
最初大和尚的水罐里有多少升水？
解析】首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水
了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升．列表分析如下：
回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初老和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有10升水．
答案】10升
巩固】兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子
的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：
兄弟三人的年龄各多少岁？
解析】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有2438（个）桔子.由此列表逆推如下表：
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁.
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；
另两人各增加拿出桔子的人
拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁
例9】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；
然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；
接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？
解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：
答案】三个班原来各有图书78本，42本，24本
巩固】3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？
考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答关键词】可逆思想方法
解析】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．
从开始到最后甲的份数少了（138）份，说明每份是100（138）20元．所以刚开始时，甲有1320260（元），乙有42080（元），丙有720140（元）．
答案】刚开始时甲有260元，乙有80元，丙有140元．
例10】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？
解析】本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢?
根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子?
再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子．采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．
答案】40枚
巩固】有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个；
然后再
取其中两份，将这两份三等分后还剩2个．问：
这筐苹果至少有几个？
解析】方法一：
如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分（每份多出2个）；
第二次取出其中2份（总共多出4个），也恰好三等分（每份又多出2个）；
最后取2份（共多出4个），也恰好三等分．而且最后一次分总数一定是偶数，因为是取2份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多2个，所以现在每份至少是4个．从而上一次每份为4326（个），再上次每份为6329（个），那么开始时共有9327（个）苹果，但是我们假设增加了4个，所以这筐苹果至少有27423（个）．列表法是还原问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
方法二：
从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为x个，那么最后一次三等分之前的苹果个数是3x2个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是3x2个，这个数应该是一个整数；
第二次三等分前，苹果的个数是33x22个，同样的22
33x24
这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为33x24个，这个数也应该是一个
4
整数；
所以这筐苹果的总数为333x242个．显然x越小，这筐苹果的个数最少，但是有
3x2和33x24是整数的约束条件．满足这两个约束条件的x必须被4除余2，所以满足该
24
条件的x的最小值为2，代入得到这筐苹果最少有23个．
答案】23个
课堂检测
【随练1】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是90330（个），所以小巧原来有30228（个），小亚原来有30129（个），小红原来有30333（个）．
【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个．
随练2】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的
总数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是200450（本）．用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果
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