1718版 第1章 11 第1课时 棱柱棱锥棱台的结构特征文档格式.docx
《1718版 第1章 11 第1课时 棱柱棱锥棱台的结构特征文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1718版 第1章 11 第1课时 棱柱棱锥棱台的结构特征文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形
相关
概念
面：
围成多面体的各个多边形；
棱：
相邻两个面的公共边；
顶点：
棱与棱的公共点
轴：
形成旋转体所绕的定直线
下列物体不能抽象成旋转体的是________．
①篮球；
②日光灯管；
③电线杆；
④金字塔．
【答案】 ④
教材整理2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
阅读教材P3～P4的内容，完成下列问题．
1．棱柱的结构特征
名称
结构特征
图形及表示法
分类
棱
柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；
其余各面叫做棱柱的侧面；
相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱柱，可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′
依据底面多边形的边数．
例如：
三棱柱（底面是三角形），
四棱柱（底面是四边形），
…
2.棱锥的结构特征
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱
用顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中棱锥可表示为棱锥
SABCD
三棱锥（底面是三角形），
四棱锥（底面是四边形），
3．棱台的结构特征
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面
用上下底面的顶点表示棱台．如：
上、下底面分别是四边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台ABCDA′B′C′D′
按照棱台底面多边形的边数分类．例如：
三棱台（由三棱锥截得），四棱台，…
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．（ ）
（2）用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台．（ ）
（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．（ ）
（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．（ ）
【答案】
（1）√
（2）×
（3）×
（4）×
[小组合作型]
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
（1）下列命题中正确的是________．（填序号）
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看做底面；
③三棱锥的任何一个面都可看做底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
（2）关于如图1 1 1所示几何体的正确说法的序号为________．
图1 1 1
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
【精彩点拨】 根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断．
【自主解答】
（1）结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；
对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；
对于③，显然是正确的；
④显然符合定义．故填③④.
（2）①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．
②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．
③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确．如图所示．
【答案】
（1）③④
（2）①③④⑤
解决关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断题，需要准确理解三类几何体的意义，把握几何体的结构特征，通过作图、比较或举一些反例来作出正确的判断.
[再练一题]
1．下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
【答案】 ①②③
多面体的平面展开图
给出两个几何体，如图1 1 2：
图1 1 2
（1）画出两个几何体的平面展开图；
（2）图①是侧棱长为2
的正三棱锥DABC，∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝40°
，过A作截面AEF分别交BD，CD于E，F，求截面三角形AEF周长的最小值．
【精彩点拨】
（1）将几何体沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．
（2）把点A、D所在侧棱剪开展平，再利用平面几何知识或解三角形知识求解．
【自主解答】
（1）展开图如下图所示．
（2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点G，则DG⊥AA1，又∠ADG＝60°
，可求得AG＝3，则AA1＝6，即截面三角形AEF周长的最小值为6.
1．本题
（2）实际上是求多面体侧面上两点间的最短距离问题，常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．
2．解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力．必要时可制作平面展开图进行实践．
2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PE＋EC的最小值是________.
【解析】 将正方体的侧面ABB1A1，BCC1B1放在同一平面内，如图，则PE＋EC的最小值为
PC＝
＝
.
【答案】
[探究共研型]
探究1 若一个几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这个几何体是否是棱柱？
【提示】 如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体．其原因是不具备条件“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”．
探究2 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
【提示】 未必是棱锥．如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥，因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
探究3 若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台吗？
【提示】 未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否是棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否是梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．
如图1 1 3，四棱柱ABCDA1B1C1D1被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体？
若几何体ABCDA1FED1是棱柱，指出它的底面和侧面．
图1 1 3
【精彩点拨】 根据棱柱的定义作出判断．
【自主解答】 所截两部分分别是四棱柱和三棱柱．几何体ABCDA1FED1是四棱柱，它的底面是平面ABFA1和平面DCED1，侧面为平面ABCD，平面BCEF，平面ADD1A1和平面A1D1EF，侧面均为平行四边形．
正确判断几何体类型的方法
要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征．对于有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定．棱柱的概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行．但由于棱柱的放置方式不同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义．
3．如图1 1 4，能推断这个几何体是三棱台的是（ ）
图1 1 4
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝2，A1C1＝2，AC＝4
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1A1＝CA
【解析】 因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A1B1C1∽△ABC，所以
，C正确．
【答案】 C
1．下列几何体中是棱柱的个数有（ ）
图1 1 5
A．5个B．4个
C．3个D．2个
【解析】 由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.
【答案】 D
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点（ ）
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
C [四棱柱有四条侧棱、八个顶点（可以结合正方体观察求得）．]
3．如图1 1 6所示，在棱锥ABCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BCD的周长是18，则△EFG的周长为________．
图1 1 6
【解析】 由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，
∴△EFG∽△BCD，
∴
又∵
，∴
，
∴△EFG的周长＝18×
＝6.
【答案】 6
4．一个棱柱至少有__________个面；
面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱.
【解析】 面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．
【答案】 5 6 9
5．如图1 1 7是三个几何体的侧面展开图，请问：
各是什么几何体？
图1 1 7
【解】 ①五棱柱；
②五棱锥；
③三棱台．
如图所示：
升级会员 