北京大学强基计划试题.docx
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北京大学强基计划试题
北京大学强基计划试题
1.正实数x,y,z，满足x≥y≥z和x+y≤2（z+ω），则ω+z的最小值等于（）.
xy
37
A.B.
48
C.1D.前三个答案都不对
2.在（2019⨯2020）2021的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（）
A.16B.31C.32D.前三个答案都不对
3.整数列{an}
满足a
=1,a
=4,且对任意m≥2有a2-aa
=2n-1,则a的个位数字是
（n>1）12
n（n+1）（n-1）
2020
（）
A.8B.4C.2D.前三个答案都不对
4.设a,b,c,d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的4个复根,则a-1+b-1+c-1+d-1的数值为
a+2b+2c+2d+2
（）
A.-4B.-3C.3D.前三个答案都不对
5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D,AD>BD,则三角形BCD的面积为（）
A.62-33
16
B.42-33
16
C.32-23
16
D.前三个答案都不对
6.设x,y,z均不为⎛k+1⎫π,其中k为整数,已知sin（y+z-x）,sin（x+z-y）,sin（x+y-z）成等差
ç2⎪
⎝⎭
数列，则依然成等差数列的是（）
A.sinx,siny,sinzB.cosx,cosy,coszC.tanx,tany,tanzD.前三个答案都不对
7.方程19x+93y=4xy的整数解个数为（）
A.4B.8C.16D.前三个答案都不对
8.从圆x
2+y2
=4上的点向椭圆C:
x2+2
y
2
=1引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与
任何切点弦相交的区域面积为（）
ππ
A.B.
23
π
C.D.前三个答案都不对
4
9.使得5x+12
≤a（x+y）对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为（）
A.8B.9C.10D.前三个答案都不对
10.设P为单位立方体ABCD-A1B1C1D1上的一点,则PA1+PC1的最小值为（）
A.B.
C.2-2
2
D.前三个答案都不对
n≥1
11.数列{an}满足a1=1,a2=9且对任意函数Sn的最大值等于（）
n≥1有
an+2=4an+1-3an-20,
其中前n项和为Sn，则
A.28B.35C.47D.前三个答案都不对
12.设直线
y=3x+m
2
2
与椭圆x+y=1交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最大值为
2516
（）
A.8B.10C.12D.前三个答案都不对
nnn
13.正整数n≥3称为理想的,若存在正整数1≤k≤n-1使得Ck-1,Ck,Ck+1构成等差数列,其中
n
Ck=
n!
k!
（n-k）!
为组合数,则不超过2020的理想数个数为（）
A.40B.41C.42D.前三个答案都不对
14.在△ABC中,∠A=150︒,D1,D2,,D2020依次为边BC上的点,且BD1=D1D2=D2D3=
=D2019D2020=D2020C,设∠BAD1=α1,∠D1AD2=α2,∠D2019AD2020=α2020，∠D2020AC=α2021，
sinα1sinα3sinα2021
则sinα
sinαsinα
的值为（）
242020
1
A.
1010
11
B.C.
2020
D.前三个答案都不对
15.函数f（θ）=+
的最大值为（）
A.+B.2
+C.+2
D.前三个答案都不对
16.方程
+=1
的实根个数为（）
A.1B.2C.3D.前三个答案都不对
17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知BF:
FD=5:
4，
AG:
GD=1:
1,CF:
FG:
GE=2:
2:
3,SCFD和SABE分别为CFD和ABE的面积,则
SCFD:
SABE的值等于（）
A.8:
15B.2:
3C.11:
23D.前三个答案都不对
18.设p,q均为不超过100的正整数,则有有理根的多项式f（x）=x5+px+q的个数为（）
A.99B.133C.150D.前三个答案都不对
19.
n+n1n
满足对任意n≥1有a=2n-3a且严格递增的数列{a}的个数为（）
A.0B.1C.无穷多个D.前三个答案都不对
20.设函数f（x,y,z）=
x+y+z
，其中x,y,z均为正实数，则有（）
x+yy+zz+x
A.f既有最大值也有最小值B.f有最大值但无最小值
C.f有最小值但无最大值D.前三个答案都不对
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