最优控制习题及参考答案文档格式.docx
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取极小值的最优控制u*（t）以及最优轨线x*（t）。
⎡x⎤
f=⎢2⎥
⎢⎣u⎥⎦
Hamiton函数：
H=L+λTf
H=1u2+λx
+λu
⎧λ=0
⎩λ=−λ
由协态方程：
⎨1
21
2122
⎧λ=C①
得：
⎨11
⎩λ2=−C1t+C2②
∂H
由控制方程：
∂u
=u+λ2=0
u=−λ2=C1t−C2③
由状态方程：
x2=u=C1t−C2
x（t）=1Ct2−Ct+C④
22
x1=x2
123
x（t）=1Ct3−1Ct2+Ct+C⑤
161
2234
⎡1⎤
⎡0⎤
将x（0）=⎢⎥，x（3）=⎢0⎥代入④，⑤,
⎣1⎦⎣⎦
10
联立解得：
C1=
由③、④、⑤式得：
u*（t）=10t−2
9
，C2=2，C3=C4=19
x*（t）=
5t3−t2+t+1
27
x*（t）=5t2−2t+1
29
习题4已知系统状态方程及初始条件为
x=u，
x（0）=1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
∫
J=
H=x2e2t+u2e2t+λu
⎪
⎧x=u
列方程：
⎨λ=−2xe2t
⎩
⎪2e2tu+λ=0
（x2+u2）e2tdt
①
②
③
由③得，u
代入①得，
x
1e−2tλ④
2
1e−2tλ
=−
x1e−2tλ
e−2tλ
=−+
将②，③代入，并考虑到u=x
x
1e−2t（−2xe2t）+e−2t（−2e2tx）2
整理可得：
x+2x−x=0
特征方程：
s2+2s−1=0
s1=−1+
2，s2=−1−2
12
于是得：
x*（t）=Ces1t+Ces2t
）=u=
λ*（t③−2e2t①−2e2tx
λ*（t）=−2e2t
（C1s1e
s1t+Cses2t）
由x（0）=1，得：
C1+C2=1⑤
由λ（tf）=λ
（1）=0得：
C1s1e
+C2s2e=0⑥
⑤、⑥联立，可得C1、C2
求导
代回原方程可得x*→u*
（略）
习题5求使系统：
x1=x2，x2=u
由初始状态x1（0）=x2（0）=0
出发，在tf
=1时转移到目标集
x1
（1）+x2
（1）=1，并使性能指标J=∫
u2（t）dt
20
为最小值的最优控制u*（t）及相应的最优轨线x*（t）。
本题f（i），L（i）与习题3同，故H（i）相同→方程同→通解同
⎧λ1=C1，λ2=−C1t+C2
⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C
⎨
⎪
1612234
⎪x=1Ct2−Ct+C
⎪22
⎩u=C1t−C2
x（0）=⎢⎥
⎣0⎦
由，有：
C3=C4=0①
由x1
（1）+x2
（1）=1，有：
1C
–1C
+1C−C=1
6122
212
2C−3C=1②
3122
∂ϕ∂ψT
由λ
（1）=+⋅γ=0，ψ=x1+x2−1
∂x∂x
λ
（1）=⎢⎥γ=0⇒λ
（1）=λ
（1）
⎢⎣1⎥⎦12
C1=−C1+C2
2C1=C2③
36
②、③联立，得：
C1=-、C2=-
77
u*=−3t+6
x*=−1t3+3t2
1147
x*=−3t2+6t
2147
习题6已知一阶系统：
x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=3
f
（１）试确定最优控制u*（t），使系统在t=2时转移到x
（2）=0，并使性
能泛函
J=（1+u2）dt=min
ff
（２）如果使系统转移到x（t）=0的终端时间t自由，问u*（t）应如何确定？
H=1+u2+λu−λx
⎧x=−x+u
⎨λ=λ
⎪2u+λ=0
由协态方程得：
λ=Cet①
1t
u
=−C1e②
−t
①tf
代入状态方程：
x=−x−C1e
=2，x
（2）=0
⇒x（t）=C2e
–
1Cet
41
⎧−1C=3
⎪241
⎪Ce−2−1Ce2=0
⎩⎪241
12
解得：
C1=4，
e−1
3e4
C2=4
代入②得：
u*（t）=−
②x（tf）=2，tf自由
6et
e4−1
Ce−tf
1Cetf=0
⎨21
⎪H（tf）=0
40−6=0.325
u*（t）=−0.162et
习题7设系统状态方程及初始条件为
x（t）=u（t），x（0）=1
试确定最优控制u*（t），使性能指标
1tf2
f∫
J=t+
udt
为极小，其中终端时间tf未定，
x（tf）=0。
H=1u2+λu
λ=0
→λ=C1①
u+λ=0
→u=−C1②
x=u=−C1
⇒x（t）=−C1t+C2③
由始端：
x（0）=1
→C2=1
由末端：
x（tf）=0
→−C1tf+1=0④
∂ϕ
考虑到：
H（tf）=−
t
∂ψ
⋅γ=−1
∂f∂f
u+λu=−1
1C2−C2=−1⇒C2=2
2111
C1=±
2⑤
当C1=
2时，代入④
tf
=1=1
C12
当C1=−
=1=−1，不合题意，故有C=2
最优控制
u*=−2
习题8设系统状态方程及初始条件为
x1（t）=x2（t），x1（0）=2
性能指标为
x2（t）=u（t），
J=1∫tfu2dt
x2（0）=1
要求达到x（tf）=0，试求：
（1）tf
=5时的最优控制u*（t）；
（2）t自由时的最优控制u*（t）；
解：
本题f（i），L（i），H（i）与前同，故有
⎧
⎪λ1=C1
⎪λ2=−C1t+C2
⎨11
⎪⎩u=C1t−C2
⎡2⎤
⎧C4=2
⎪C3=1
⎪12525
①由x（0）=⎢⎥
x（5）=⎢0⎥，得：
⎨
C1−
C2+5C3+C4=0
⎣1⎦
⎣⎦⎪62
⎪25
C
−5C+C=0
⎪123
⎩2
联立得：
C1=0.432，C2=1.28，
⇒u*
=0.432t−1.28
②tf自由
⎪C=1
⎪4
⎪C3=2
1Ct3−1Ct2+Ct
+C=0
⎨1f
22f3f4
⎪1Ct2−Ct
⎪21f
2f3
⎪⎩H（tf）=0
联立有：
C2t2−2Ct
+2=0，无论C为何值，t均无实解。
2f2f2f
习题9给定二阶系统
x（t）=x（t）+1，x（0）=−1
12414
x2（0）=−
4
控制约束为u（t）≤，要求最优控制u*（t），使系统在t=t
2f
并使
时转移到x（tf）=0，
其中tf自由。
J=u2（t）dt=min
H=u2+λx
+1λ
12412
⎧−1λλ≤1
⎪222
本题属最小能量问题，因此：
u*（t）=⎪−1
λ>
1
⎨2
⎪1λ
<
−1
⎪2
⎧⎪λ=0→λ=C
⎨111
21212
⎪⎩λ=−λ→λ=−Ct+C
λ2是t的直线函数。
当u*（t）=−1λ
=1Ct−1C
时（试取）
222122
x（t）=1Ct2−1Ct+C
241
223
x（t）=
1Ct3−1Ct2+1t+Ct+C
1121
42434
由始端条件→C3=C4=
由末端条件→
1Ct3−1Ct
2+1t
+1=0
121f
42f
2f4
1Ct2−1Ct
41f
22f4
另：
H（tf）=0
C1=，C2=0，t=3
9f
于是，λ
1t⎧λ2=1时，t<
0
2=−⎨
9⎩λ2
=−1时，t=9
在t从0→3段，λ2
≤1满足条件。
故，u*
=−
1λ=1t
2218
01234t
习题10设二阶系统
x1（t）=−x1（t）+u（t），x1（0）=1
x2（t）=x1（t），
x2（0）=0
控制约束为u（t）≤1，当系统终端自由时，求最优控制u*（t），使性能指标
J=2x1
（1）+x2
（1）
取极小值，并求最优轨线x*（t）。
由题意，f
⎡−x1+u⎤
=，
ϕ=x
+x,
L=0，⇒
H=λu−λx
+λx
⎢⎥12
11121
⎣x1⎦
⎨−1
由控制方程可得：
u*=⎧+1
λ1<
λ1>
⎧λ
=λ−λ
⇒λ=Cet+C
由协态方程可得：
⎨
112121
⎩λ2=0
∂ϕ⎡2⎤
⇒λ2=C1
由λ（t
）==⎢⎥
⇒C=1，C
=e−1
∂x（tf）
⎣1⎦12
⎧λ=et−1+1→在t>
0的范围内λ>
⇒⎨11
故：
u*=−1
t∈[0,1]
⎩λ2=1
若需计算最优轨线，只需把u*=−1代入状态方程，可得：
⎧x*（t）=2e−t−1
⎪1
x*（t）=−2e−t−t+2
⎩⎪2
习题11设系统状态方程为
x1（t）=x2（t），x1（0）=x10
性能指标为J=1
∞
（4x2+u2）dt
x2（0）=x20
试用调节器方法确定最优控制u*（t）。
⎡01⎤
由已知条件得：
A=⎢⎥
⎣00⎦
，B=⎢⎥，
⎡40⎤
Q=⎢⎥
，R=1
⎢10⎥
∵[BAB]=⎡01⎤
⎣⎦
∴可控——最优解存在
考虑到
Q=⎡40⎤=⎡2⎤[20]=DTD，故
⎢00⎥⎢0⎥
⎣⎦⎣⎦
D=[20]
⎡D⎤⎡20⎤
∵⎢⎥=⎢⎥
⎣DA⎦⎣02⎦
∴闭环系统渐近稳定
由Riccati方程ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0，有
⎡00⎤⎡P1
P2⎤+⎡P1
P2⎤⎡01⎤−⎡P1
P2⎤⎡0⎤[01]⎡P1
P2⎤+⎡40⎤=0
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣10⎦⎣P2
P3⎦⎣P2
P3⎦⎣00⎦
⎣P2
P3⎦⎣1⎦
P3⎦
⎧−P2+4=0→P
=±
2（取+2舍−2）
展开得：
⎨P1−P2P3=0→P1=±
4（由正定舍−4）
⎪2P−P2=0→P2=2P
→P=±
⎩23323
⎡42⎤
故P=⎢⎥
⎣22⎦
于是，u*=−R−1BTPx=−2x
2x
即：
u*（t）=−2x（t）−2x（t）
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