最优控制习题及参考答案文档格式.docx

1、取极小值的最优控制 u* （t） 以及最优轨线 x* （t） 。 x f = 2 u Hamiton 函数： H = L + T fH = 1 u2 + x+ u = 0 = 由协态方程： 12 12 1 2 2 = C 得： 1 12 = C1t + C2 H由控制方程：u= u + 2 = 0 u = 2 = C1t C2 由状态方程： x 2 = u = C1t C2 x （t） = 1 C t2 C t + C 2 2 x 1 = x21 2 3 x （t） = 1 C t3 1 C t 2 + C t + C 1 6 12 2 3 410将 x（0） = ， x（3） = 0 代入，

2、,1 10联立解得： C1 =由、式得：u* （t） = 10 t 29， C2 = 2 ， C3 = C4 = 1 9x* （t） =5 t3 t 2 + t +127x* （t） = 5 t2 2t +12 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ，x（0） = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。J = H = x2e2t + u2e2t + ux = u列方程： = 2xe2t2e2t u + = 0（x2 + u2 ）e2t dt由得， u代入得，x1 e2t 21 e2t = x 1 e2t e2t = +将，代入，并考虑到 u = x x 1 e2t （2xe2t

3、） + e2t （2e2t x ） 2整理可得： x + 2x x = 0特征方程： s2 + 2s 1 = 0s1 = 1+2，s2 = 1 21 2于是得： x* （t） = C es1t + C es2t） = u = * （t 2e2t 2e2t x * （t） = 2e2t（C1s1es1t + C s es2t ）由 x（0） = 1 ，得： C1 + C2 = 1 由 （t f ） = （1） = 0 得： C1s1e+ C2 s2e = 0 、联立，可得 C1、C2求导代回原方程可得 x* u*（略）习题 5 求使系统： x 1 = x2 ， x 2 = u由初始状态 x1 （

4、0） = x2 （0） = 0出发，在 t f= 1 时转移到目标集 x1 （1） + x2 （1） = 1，并使性能指标 J = u2 （t）dt2 0为最小值的最优控制 u* （t） 及相应的最优轨线 x* （t） 。 本题 f （i），L（i） 与习题 3 同，故 H （i） 相同方程同通解同1 = C1，2 = C1t + C2x = 1 C t3 1 C t2 + C t + C 1 6 1 2 2 3 4x = 1 C t 2 C t + C 2 2u = C1t C2x（0） = 0由 ，有： C3 = C4 = 0 由 x1 （1） + x2 （1） = 1，有：1 C 1 C

5、+ 1 C C = 16 1 2 22 1 22 C 3 C = 1 3 1 2 2 T由 （1） = + = 0 ， = x1 + x2 1x x （1） = = 0 （1） = （1）1 1 2 C1 = C1 + C22C1 = C2 3 6、联立，得： C1 =- 、C2 = -7 7 u* = 3 t + 6x * = 1 t3 + 3 t 21 14 7x * = 3 t 2 + 6 t2 14 7习题 6 已知一阶系统： x （t） = x（t） + u（t） ， x（0） = 3f（）试确定最优控制 u* （t） ，使系统在 t = 2 时转移到 x（2） = 0 ，并使性能泛

6、函J = （1+ u2 ）dt = minf f（）如果使系统转移到 x（t ） = 0 的终端时间 t 自由，问 u* （t） 应如何确定？ H = 1+ u2 + u xx = x + u = 2u + = 0由协态方程得： = C et 1 t u= C1e t t f代入状态方程： x = x C1e= 2，x（2） = 0 x（t） = C2e 1 C et4 1 1 C = 3 2 4 1C e2 1 C e2 = 0 2 4 112解得： C1 = 4 ，e 13e4C2 = 4代入得： u* （t） = x（t f ） = 2，t f自由6 ete4 1C et f1 C et

7、 f = 0 2 1H （t f ） = 040 6 = 0.325u* （t） = 0.162et习题 7 设系统状态方程及初始条件为x （t） = u（t） ， x（0） = 1试确定最优控制 u* （t） ，使性能指标1 t f 2f J = t +u dt为极小，其中终端时间 t f 未定，x（t f ） = 0 。 H = 1 u2 + u = 0 = C1 u + = 0 u = C1 x = u = C1 x（t） = C1t + C2 由始端： x（0） = 1 C2 = 1由末端： x（t f ） = 0 C1t f +1 = 0 考虑到： H （t f ） = t = 1

8、f f u + u = 11 C 2 C 2 = 1 C 2 = 22 1 1 1C1 = 2 当 C1 =2 时，代入 t f= 1 = 1C1 2当 C1 = = 1 = 1 ，不合题意，故有 C = 2最优控制u* = 2习题 8 设系统状态方程及初始条件为x 1 （t） = x2 （t） ， x1 （0） = 2性能指标为x 2 （t） = u（t） ，J = 1 t f u2 dtx2 （0） = 1要求达到 x（t f ） = 0 ，试求：（1） t f= 5 时的最优控制 u* （t） ；（2） t 自由时的最优控制 u* （t） ； 解：本题 f （i ），L（i ），H （i

9、 ） 与前同，故有1 = C12 = C1t + C2 1 1u = C1t C22C4 = 2C3 = 1125 25 由 x（0） = x（5） = 0 ，得： C1 C2 + 5C3 + C4 = 01 6 2 25C 5C + C = 0 1 2 3 2联立得： C1 = 0.432，C2 = 1.28 ， u*= 0.432t 1.28 t f 自由C = 1 4C3 = 21 C t3 1 C t 2 + C t+ C = 0 1 f2 2 f 3 f 4 1 C t2 C t 2 1 f2 f 3H （t f ） = 0联立有： C 2t 2 2C t+ 2 = 0 ， 无论 C

10、 为何值， t 均无实解。2 f 2 f 2 f习题 9 给定二阶系统x （t） = x （t） + 1 ， x （0） = 11 2 4 1 4x2 （0） = 4控制约束为 u（t） ，要求最优控制 u* （t） ，使系统在 t = t2 f并使时转移到 x（t f ） = 0 ，其中 t f 自由。J = u2 （t）dt = min H = u2 + x+ 1 1 2 4 1 2 1 1 2 2 2本题属最小能量问题，因此：u* （t） = 1 1 2 1 1 2 = 0 = C 1 1 12 1 2 1 2 = = C t + C2 是 t 的直线函数。当 u* （t） = 1 =

11、1 C t 1 C时（试取）2 2 2 1 2 2x （t） = 1 C t2 1 C t + C2 4 12 2 3x （t） =1 C t3 1 C t2 + 1 t + C t + C1 12 14 2 4 3 4由始端条件 C3 = C4 =由末端条件 1 Ct 3 1 C t2 + 1 t+ 1 = 012 1 f4 2 f2 f 41 Ct 2 1 C t4 1 f2 2 f 4另： H （t f ） = 0 C1 = ，C2 = 0，t = 39 f于是， 1 t 2 = 1时，t 02 = 9 2= 1时，t = 9在 t 从 0 3 段， 2 1满足条件。故， u*= 1 =

12、 1 t2 2 180 1 2 3 4 t习题 10 设二阶系统x 1 （t） = x1 （t） + u（t） ， x1 （0） = 1x 2 （t） = x1 （t） ，x2 （0） = 0控制约束为 u（t） 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u* （t） ，使性能指标J = 2x1 （1） + x2 （1）取极小值，并求最优轨线 x* （t） 。由题意， fx1 + u = ， = x+ x ,L = 0 ， H = u x+ x 1 21 1 1 2 1 x1 1由控制方程可得： u* = +11 = = C et + C由协态方程可得： 1 1 2 1 2 1 2 = 0 2 2

13、= C1由 （t） = = C = 1，C= e1x（t f ）1 1 2 = et 1 +1 在t 0的范围内 1 1故： u* = 1t 0,12 = 1若需计算 最优轨线 ，只需把 u* = 1 代入状态 方程，可 得：x * （t） = 2et 1 1x * （t） = 2et t + 2 2习题 11 设系统状态方程为x 1 （t） = x2 （t） ， x1 （0） = x10性能指标为 J = 1（4x2 + u2 ）dtx2 （0） = x20试用调节器方法确定最优控制 u* （t） 。0 1 由已知条件得： A = 0 0， B = ，4 0Q = ， R = 11 0B A

14、B = 0 1 , 可控 最优解存在考虑到Q = 4 0 = 2 2 0 = DT D ，故0 0 0 D = 2 0 D 2 0 = DA 0 2闭环系统渐近稳定由 Riccati 方程 AT P + PA PBR1BT P + Q = 0 ，有0 0 P1P2 + P1P2 0 1 P1P2 0 0 1 P1P2 + 4 0 = 0 1 0 P2P3 P2P3 0 0P2P3 1P3 P 2 + 4 = 0 P= 2（取 + 2舍 2）展开得： P1 P2 P3 = 0 P1 = 4（由正定舍 4）2P P2 = 0 P2 = 2P P = 2 3 3 2 34 2故 P = 2 2于是， u* = R1BT Px = 2x2x即： u* （t） = 2x （t） 2x （t）