高代竞赛辅导第7章线性空间.docx
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高代竞赛辅导第7章线性空间
七线性空间
1.（北京交通大学2003）设
100
A=010,
312
求F33中与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数和一组基
注意到
■1
0
01
■0
0
01
A=0
1
0
=1+0
0
0
=1+K
〕3
1
2一
1?
1
1一
O
则B与A可交换当且仅当
B与K可交换。
设B
abde[gh
，由BK二KB得
所以
g=-3a9b-d3e3h
i=Oa3bOdeh
B=
def
=a
000
+b
000
]ghi一
1
1-300一
1
903一
abc
100010
0
+d1
■-1
00000000
00+e010+h000
00_卫01一11一
因此与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数为5，一组基为
100010000000000
IIIIIIIdnIInnI
000,000,100，|010,|000。
-300一.903_「100_h01_〔311_
2.（西安交通大学2004）设
「2、
■Z1、
3、
z
1
-
-1
3
5
j
-1,
C（2=
1,
a3=—
3,i
丄4——
5R5
-1
1
―
3
—
5
J」
<2丿
4>
7
■」
记WK〉1,〉2,〉3“4•，求W-的基和维数。
解分析：
令A=（:
•i,2,〉3,〉4）,贝VxW_=X_W=
于是只需求线性方程组ATx=0，它的基础解系就是W-的一组基
f
1?
1
0
0
0
——
'2
1
-1
-1
1
3
T
1
—1
1
1
—2
5
A=
严
0
1
_1
-1
3
3
-3
-3
4
1
3
|
<4
5
-5
-5
7
丿
0
0
0
0
0
1°
0
0
0
0」
得ATX=0的一个基础解系
广0、
•s
5、
1
1
-5
1
―
0
0
0
1
0
<3」
它就是W-的一组基，且W-的维数等于3.
■a
0
b
1
「x0
N、
1
3.（天津大学2004）
已知W1=」
c
0
b
|a,b,c,dwR
'W2=t
0z
0
|x,y,z^R卜
-
<0
c
d丿
-
I
0
0丿
-
求W1+W2及W1aW2
的基和维数
。
'a0b
解由c0b=aEn+b（Ei3+E23）+c（E2i+E32）+dE33知dimV^4
0cd」
=xE11>
yEi3zE22知dimy=3。
那么有
■'a
0
b、
zx
0
yA
c
0
b
+
0
z
0
1°
c
d」
1°
0
°」
二（ax）Eii（by）Ei3
bE23（CZ）E2icE32dE33
c,z任意，
贝yC-z任意。
b.d.a-x.b-y任意，
得dim
E11•WiW2，所以可取Eh
2阶矩阵构成的线性空间，
Eii.Ei3.E23.E2i.E32.E33，是WiW2的一组基。
于是
dim（WiW2）=dimWidimW^dim（WiW2）=1，且显然
为W.W2的一组基。
4.（上海交通大学2003）以F22表示数域F上全体
a1.a2.a3.a4为两两互异的数且它们的和不等于零。
证明
ri
ai
、
ri
a2
、
5
a3
X
ri
a4
Ai=
2
4
.A2—
2
4
.A3—
2
4
.A4=
2
4
lai
ai
J
a2
丿
la3
a3
）
la4
a
4
是F22的一组基。
证明
2戌
dimF=4
Eii.Ei2.E2i.E22^是F
22的一组基，
（A1,A2,A3,A4）
—（Eii.Ei2.E2i.E22）
a2
2
a2
4
a2
a3
2
a3
4
a3
a4
2
a4
4
a4J
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ai
a2
a3
a4
a
ai
a2
a3
a4
.D=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ai
a2
a3
a4
a5
ai
a2
a3
a4
3
3
3
3
3
4
4
4
4
ai
a2
a3
a4
a5
ai
a2
a3
a4
4
4
4
4
4
ai
a2
a3
a4
a5
5
一ai]心5
a5
-a2
=a5
-a3]i.a5-a4
=''ai-aj
i」：
i：
兰
a「aj
1_j心
而d是D的M45
--A45
二a5的系数，
d=-a1a
2•a3•a4…ai
iJ_4
_aj。
由已知条件ai,a2,a3,a4为两两互异的数且它们的和不等于零，所以d=0，于是
证明令J=
<0
i0…
0、
0
0i…
0
+++
9
*
0
…"•0
i
0…0
0丿
，注意到
J2,J3/,JnJ的形式及I,那么有
Ai,A2,A3,A4是F22的一组基。
a3
=aiIa2Ja3anJ。
=aila2Ja3J2一八丁anJn',B=bilb2Jb3J2丁一一bnJn_i
贝廿AB=（aibjl（a2-b2）J（a3-bs）J2（a.bn）Jn‘U，
kA=（kai）l（ka2）J（ka3）J2（kan）JnJU,
所以U是Mn（F）的一个子空间。
注意到I,J,J2^,Jn-i线性无关且U中的每个矩阵
都可以表示成l,J,J2,Jn」的线性组合，所以l,J,J2,…，Jn‘是U的一组基，dimU=n。
6.（北京师范大学2006）设V是数域F上的一个n维线性空间，"V是V的两个子空间，且dimy=dimV2=r。
证明：
存在V的一个子空间W，使得V=Vi二W二V2二W.
证明若r二n，则Vi二V2=V,取W=0，结论成立。
若r”n，则存在「Vi，「V2。
分别取Vi，V2的一组基—r,「…"，贝Vi
：
r,1线性无关，
不能由：
r,…，:
r线性表出，也不能由：
1,…，：
r线性表出，所以
订…,>,i线性无关，得两个r1维子空间
Vj=：
：
：
〉r,…，〉r,1=Vj二：
:
：
1-,72二「「■,：
!
•,1=V?
二：
:
：
1。
如果r•仁n，则取1.,结论成立。
如果r・仁：
n，则继续上面过程，存在1,…，n—V，使得
V二V1二:
:
：
1，…，n_r，V:
:
!
厂，n」。
令WK1,…，n」•，结论成立。
7.（北京师范大学2007;北京邮电大学2004）设v是数域F上的一个n维向量空间证明：
（1）V的任意一个真子空间都是V的若干个n-1维子空间的交。
（2）存在V的n-1维子空间V1，V2，V3使得
（V1V2）V3=（V1V3）（V2V3）.
证明
（1）设W是V的任意一个真子空间，若dimW=n—1，那么结论显然成立。
若dimV=k:
:
:
n—1，不妨设W的一组基为:
-1/■k，那么有W-：
：
：
「，…「k•。
将〉1,…，7扩充为V的一组基，设为：
sm1「宀。
分别记
V1之>1,…，〉k，〉k.2,…Cn•，V2d：
〉1,…，〉k，〉k1，〉k・3「Cn•，…,V2=：
〉1,…，〉k，〉k・1,…，〉n_1-,
显然V1,V2,…，Vn上都是V的n一1维子空间，且
w=yv2Vz。
（2）任取V的n-1个线性无关的向量>1,…，〉n/「nd，记V1八n”，n「，贝U
V1是V的一个n-1维子真空间。
任取n.V,V1，则S—1不能由「厂」亠
线性表出，且〉1「・「nd线性无关，从而〉1「，〉n/「n4线性无关，记
V2之5…，：
—，"，则V2是V的一个n-1维子真空间。
再任取—V,nJ*,njV，贝Un-1不能由〉1,n/线性表出，从而♦厂「n亠nX线性无关，记V3xa…，仁，n」,则V3也是V的一个n-1维子真空间。
以下验证这样构造的V1,V2,V3符合题目要求。
而ViV3-：
：
：
r,…
，:
n三,V?
V3=：
：
：
1,
所以
（ViV3）（V2V3）…1,…，：
n—是n-2维的，而V3是n-1维的，因此
（ViV?
）V3=（yV3）（V?
V3）成立。
8.设V-V2是数域F上线性空间v的两个非平凡子空间。
证明：
在V中存在向量，使得:
V1^■V2同时成立。
（书上习题）
一般情形：
（I）（北京大学2002）设V1,V2,…，Vs是数域F上n维线性空间v的s个非平凡子空间。
证明：
（1）V中至少存在一个向量:
不属于V1,V2,…，Vs中的任何一个。
（2）存在V中的一组基；2,…，；n，使得{；1,；2厂，；n}（V1V2Vs）-：
」。
证明
（1）对s做数学归纳法。
若s=1，结论显然成立。
设在s-1时结论成立，那么在s个真子空间的情形，由Vs是真子空间，那么
-Vs。
若「V1V2…vsJ，那么结论成立。
以下考虑一V1V2…vsJ的情形由归纳假设■V1V2…Vs」，若Vs，那么结论也成立。
因此只需考虑情形：
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