高代竞赛辅导第7章线性空间.docx

1、高代竞赛辅导第7章线性空间七线性空间1.（北京交通大学 2003）设1 0 0A = 0 1 0 ,3 1 2求F 33中与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数和一组基注意到10010001A = 010= 1+000=1 + K312 一1 ?11 一O则B与A可交换当且仅当B与K可交换。设Ba b d e g h，由BK二KB得所以g = -3a 9b - d 3e 3hi = Oa 3b Od e hB =def=a0 0 0+ b0 0 0g h i 一11-3 0 0 一19 0 3一a b c1 0 0 0 1 00+d 1-10 0 0 0 0 0 0 00 0 +e 0 1

2、0 +h 0 0 00 0 _ 卫 0 1 一 1 1 一因此与A可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数为 5，一组基为1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0I I I I I I I d n I I n n I0 0 0,0 0 0,1 0 0 ， |0 1 0 , |0 0 0。-3 0 0 一 .9 0 3 _1 0 0_ h 0 1 _3 1 1_2.（西安交通大学 2004）设2 、Z1 、3 、z1-135j-1 ,C(2 =1 ,a 3 =3 , i丄4 5 R5-1135J7记W K1,2,3“ 4 ，求W -的基和维数。解 分析：令 A = (: i , 2

3、,3,4),贝V x W _ = X _ W =于是只需求线性方程组 ATx = 0，它的基础解系就是 W-的一组基f1 ?100021-1-113T111125A =严01_ 1-133-3-3413|45-5-57丿0000010000得ATX =0的一个基础解系广0、s5、11-51,000103它就是W-的一组基，且W-的维数等于3.a0b1x 0N、13.（天津大学 2004）已知W1 =c0b| a, b, c, d w RW2 = t0 z0|x, y,z R 卜-yEi3 zE22 知 dim y = 3 。那么有a0b、zx0yAc0b+0z01cd10二(a x)Eii (

4、b y)Ei3bE 23 (C Z) E2i cE 32 dE33c, z任意，贝y C - z 任意。b. d . a - x. b - y 任意，得 dimE11 Wi W2，所以可取Eh2阶矩阵构成的线性空间，Eii.Ei3.E23.E2i.E32.E33，是 Wi W2 的一组基。于是dim (Wi W2) =dim Wi dim W dim (Wi W2) =1，且显然为W. W2的一组基。4.（上海交通大学 2003）以F22表示数域F上全体a1.a2.a3.a4为两两互异的数且它们的和不等于零。证明riai、r ia2、5a3Xr ia4Ai =24.A2 24.A3 24. A

5、4 =24laiaiJa2a2丿la3a3)la 4a4是F 2 2的一组基。证明2戌dim F =4Eii . Ei2 . E 2i . E 22 是 F2 2的一组基，(A1, A2, A3, A4)(Eii . E i2 . E 2i . E 22 )a22a24a2a32a34a3a42a44a4 Jiiiiiiiiiaia 2a 3a 4aaia2a3a4.D =222222222aia2a3a4a5aia2a3a4333334444aia2a3a4a5aia2a3a444444aia2a3a4a55一ai 心5a5-a2=a5-a3 i. a5 - a4= ai -aji：i：兰a

6、aj1 _j心而d是D的M 45-A45二a5的系数，d = - a1 a2 a3 a4 aii J _4_aj 。由已知条件ai,a2,a3,a4为两两互异的数且它们的和不等于零，所以 d = 0，于是证明令J =,i线性无关，得两个r 1维子空间Vj =：r,，r, 1 = Vj 二：:：1 - , 7 2 二 ,：!, 1 = V?二：:：1 。 如果r 仁n，则取1 .,结论成立。如果r仁：n，则继续上面过程，存在 1,，n V，使得V 二V1 二:：1，n_r ，V : !厂，n。令W K 1,，n，结论成立。7. （北京师范大学 2007;北京邮电大学 2004）设v是数域F上的一

7、个n维向量空间 证明：（1）V的任意一个真子空间都是 V的若干个n - 1维子空间的交。（2 ）存在V的n -1维子空间V1，V2，V3使得（V1 V2） V3 = （V1 V3） （V2 V3）.证明（1）设W是V的任意一个真子空间，若 dimW = n 1，那么结论显然成立。若dim V = k : n 1，不妨设W的一组基为:-1 / k，那么有W -：，k 。将1,，7扩充为V的一组基，设为：sm1宀。分别记V1 之 1,，k，k .2,Cn ， V2 d：1,，k，k 1，k 3Cn ，,V2 =：1,，k，k 1,，n_1 -,显然V1,V2,，Vn上都是V的n 一1维子空间，且w

8、 = y v2 Vz。（2 ）任取V的n - 1个线性无关的向量1,，n/nd，记V1 八n”，n，贝UV1是V的一个n -1维子真空间。任取 n. V, V1，则S1不能由厂亠线性表出，且1nd线性无关，从而1，n/n4线性无关，记V2之5，：，则V2是V的一个n -1维子真空间。再任取 V , nJ*, njV，贝U n-1不能由1,n /线性表出，从而 厂n亠n X线性无关， 记V3 x a，仁，n,则V3也是V的一个n - 1维子真空间。以下验证这样构造的V1,V2,V3符合题目要求。而Vi V3 -： r,，:n 三,V? V3 = ： ： 1 ,所以(Vi V3) (V2 V3)1

9、,，： n 是n - 2维的，而V3是n - 1维的，因此(Vi V?) V3=(y V3) (V? V3)成立。8. 设V-V2是数域F上线性空间v的两个非平凡子空间。证明：在 V中存在向量， 使得:V1 V2同时成立。（书上习题）一般情形：（I）（北京大学2002）设V1,V2,，Vs是数域F上n维线性空间v的s个非平凡子 空间。证明：（1） V中至少存在一个向量:不属于V1,V2,，Vs中的任何一个。（2） 存在 V 中的一组基；2,，；n，使得 ；1, ；2厂，；n （V1 V2 Vs）-：。证明（1 ）对s做数学归纳法。若s = 1，结论显然成立。设在s-1时结论成立，那么在s个真子空间的情形，由Vs是真子空间，那么-Vs。若V1 V2vsJ，那么结论成立。以下考虑 一 V1 V2vsJ的情形 由归纳假设 V1 V2Vs，若 Vs，那么结论也成立。因此只需考虑情形：Y 更