不定积分.ppt

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第五章,微分法:

积分法:

互逆运算,不定积分,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,机动目录上页下页返回结束,不定积分的概念与性质,第五章,一、原函数与不定积分的概念,机动目录上页下页返回结束,定义1.若在区间I上定义的两个函数F（x）及f（x）,满足,在区间I上的一个原函数.,则称F（x）为f（x）,问题:

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?

2.若原函数存在,它如何表示?

定理,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动目录上页下页返回结束,原函数相差一个常数,定义,在区间I上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,（C为任意常数）,C称为积分常数不可丢!

例如,记作,机动目录上页下页返回结束,不定积分的几何意义:

的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动目录上页下页返回结束,的积分曲线.,例1.设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:

所求曲线过点（1,2）,故有,因此所求曲线为,机动目录上页下页返回结束,二、基本积分表,从不定积分定义可知:

或,或,（k为常数）,机动目录上页下页返回结束,或,或,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:

原式=,例3.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,三、不定积分的性质,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例5.求,解:

原式=,例6.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例7.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,8.求下列积分:

提示:

机动目录上页下页返回结束,9求不定积分,解：

机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表（见P186）,2.直接积分法:

利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.证明,2.若,提示:

机动目录上页下页返回结束,提示:

3.若,是,的原函数,则,提示:

已知,机动目录上页下页返回结束,二、第二类换元法,一、第一类换元法,机动目录上页下页返回结束,换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动目录上页下页返回结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,（也称配元法,即,凑微分法）,机动目录上页下页返回结束,例1.求,解:

令,则,故,原式=,注:

当,时,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:

令,则,想到公式,机动目录上页下页返回结束,例3.求,想到,解:

（直接配元）,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:

机动目录上页下页返回结束,类似,例5.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,常用的几种配元形式:

万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,例6.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例7.求,解:

原式=,例8.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动目录上页下页返回结束,例10.求,解法1,机动目录上页下页返回结束,解法2,同样可证,或,机动目录上页下页返回结束,例11.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例12.求,解:

机动目录上页下页返回结束,例13.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,例14.求,解:

原式=,机动目录上页下页返回结束,分析:

例15.求,解:

原式,机动目录上页下页返回结束,小结,常用简化技巧:

（1）分项积分:

（2）降低幂次:

（3）统一函数:

利用三角公式;配元方法,（4）巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?

机动目录上页下页返回结束,2.求,提示:

法1,法2,法3,作业目录上页下页返回结束,二、第二类换元法,机动目录上页下页返回结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:

令,则,机动目录上页下页返回结束,则有换元公式,例16.求,解:

令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例17.求,解:

令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例18.求,解:

令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,令,于是,机动目录上页下页返回结束,说明:

被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,或,或,机动目录上页下页返回结束,三角代换外,还可利用公式,原式,例19.求,解:

令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,机动目录上页下页返回结束,