分式方程专题Word文件下载.docx

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6—XX+212+4x-x

X-5

X-2

+

X-7X-4

X-3X_4

=+

x_5x-6

例2、整体换元与倒数型换元:

x+1丄5xQ

+=6

x+1

2确2

2、6X+12

X-4丄X

2—~2+~2

X+4x+4X-4x+4X-4

变式练习：

（上海）用换元法解分式方程

x—1

3xx—1

-——+1=0时，如果设——=y，将原方程化为关于y的xTX

整式方程，那么这个整式方程是（

+y-3=0B.y2-3y+1=0c.3y2-y+1=0d.3y2-y-1=0

A.y2

分式方程的特殊解法

例1、

交叉相乘法：

例2、化归法：

丄-二^=0

xTX-1

例3、左边通分法：

'

=8例4、分子对等法

-X

b（a工b）

（bH2a）

例5、观察法:

=27例6、分离常数法：

5x-24x4

x+1+x+2x+9

x+2丄x+7=+

x+3x+8

x

（1）

x+2

x+2丄x+5=+

x+3

x丄X—9

+=

-2x-7

X+1+x-8

x-1x-6

例7、分组通分法

x+5

=丄+丄

X+3x+4

（1）——

-——=0

X—2X—8X—4X—6

⑵=

x+1x+5

丄十丄

x+2x+4

例8、裂项相消法：

匕+口二口^+匚6

x+6x+8x+9x+5

+…+

解方程一'

一+

（2x-12x8

x（x+1）（X+1IX+2）

（二）无理方程拓展训练

例1、（X—3）2+Jx2—6x+16=13例2、

芳〉心+3=0

\2x+1

例3、卜十2

已知x>

0且满足

例4、Jx2+丄+2+Jx2+1-2=2x

VXKX

x2+x-5jx（x+1）+28+22=0,求代数式戸倖-茫的值

Jx+1-vxvx+1+Jx

课后练习题

1、解方程:

5

（1）—

X—2

（2）二

xTx

1-3x2

3x—1

⑸一002—-1

0.03X—0.01

0.3

0.6x—0.2

2、

（1）

2-X

X—33-x

=1

（4）

2x+2x+2

X22

3、

（1）

-32x-6

1-X

4x2—1

2x+1

4x-2

X-3

3x-6

例1、在解方程

数字为

x-2

2

X-2x

-1

4x-8

+1

X—1

（5）

2x-4

x-8

x-7

7-

1+x1-X

（7）

+x-2

-1=0时，“®

”表示一个数，但已模糊不清，已知该方程无解，则“

2-x1

例2、在解分式方程=-2时，小亮的解法如下:

x-33—x

解：

方程两边都乘以X-3,得2-X=-1-2

移项，得—x=-1—2-2

解得：

x=5

（1）你认为小亮在哪一步出现了错误？

错误的原因是什么?

（2）小亮的解题步骤完整吗？

如果不完整，缺少哪一步？

（3）请你解这个方程

分式方程专题三、定义新运算

1、对于非零实数a、b，规定a®

b=—•若2轻（2x-1）=1，贝Ux的值为

ba

112

2、规定a*b若x*（x+2）=—,则X为

abx

分式方程四、方程中的参数

2x+a

=_1的解是最小的正整数，求a的值

例1、若关于x的方程竺上

变式练习:

15

2、若x=5是分式方程〜-=0的根，求a的取值范围

X—2x

__3

3、关于x的方程"

=的解为x=1,则a=

a—x4

例2、已知关于X的分式方程

-=+1的解为负数，求k的取值范围

X-1

X—4

1、已知关于X的分式方程——

_m-4=^^无解，求m的值

X—33-x

X_a

2、若分式方程=a无解，求a的值

4、已知关于X的分式方程

L-2=—有一个正数解，求m的取值范围

X-3

5、已知关于X的分式方程

x+k

k

—=1的解为负数，求k的取值范围

6、若关于X的分式方程

2m+x

—1=2无解，求m的值

若关于X的分式方程

-m一无解，求m的值

X—510—2x

8、若关于X的分式方程

2x+m

=3的解是正数，求m的取值范

X—2

9、若关于x的分式方程

kX+k

+

X+1x-1

=1的解为负数，求k的取值范围

10、若k是正整数，关于

x的分式方程

X+kk

=1的解为非负数，求k的值

x+22-x

11、若关于

总无解，求a的值。

12、若关于

X的分式方程

13、若关于

X2-5x+6

「1=

X+3

a

在实数范围内无解，则实数a=。

XCm

-2

X—3

无解，则m的值为

例3、当a为何值时，关于X的分式方程

2xmx

1、已知关于X的分式方程

x+3x+3

的解为负数?

2、当m为何值时，关于X的分式方程

2a-3

的解为0？

a+5

-2。

（1）当m为何值时，方程无解？

（2）当m为何值时，方程

+mx

X2-4X-2

3

—无解

例4、

若关于X的分式方程1-3=Xa

X—5

无解，求代数式（

5-X

12

）・（a2-1）的值

a—1a+1

例5、

关于x的分式方程匕2_匕6

X—6X—5

=~2

x-11x+30

的解不大于13,求k的取值范围

分式方程专题五、与有理数、一次函数等的结合

1、点

2x+2

A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-4,冇，且点AB到原点的距离相等，求

x的值。

2、若分式

与互为相反数，则x=

X-3x+3

3、已知点

P（1-2a,a-2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程亠一=2

X一a

的解是

=0的根是多少?

X+kX-b

4、已知一次函数y=kx+b的图像经过（1,3）和（-2,0）两点，关于X的方程

分式方程专题六、增根问题

例1、若分式方程:

昌+尢+2=。

有增根，求a的值

a_1

已知关于X的方程=1有增根，则a=

X+kX

关于X的方程2+=2有增根X=—1，则k=

X-11-X

关于X的方程飞「-丄

X-4x+2

=0有根

当m为时，分式方程-+

XXTx（xT）

课后练习题:

2、若方程亠=2———有增根X=5，则m=

X—5X—5

3、

5、

6、

X_1X—22x+a

当a为时，解关于X的方程-=-时会出现增根。

X-2X+1X—X—2

+——=1的解为正数，则m的取值范围是

冷也=—会产生增根，则m为

X-4X+2

若关于X的方程二二=叮口产生增根，则m=

X-1X—1

2xX匸=4会产生增根？

Xx+x

关于X的分式方程

X_1

关于X的方程一2—+•

X-2

X+2

k取何值时,

8、

若分式方程:

旦+-1-

X-2X2-4

+2=0有增根，求a的值

若分式方程

1+3=a"

X有增根，贝ya的值是多少?

a+x

Xk2

10、若关于X的方程XZT十厂

不会产生增根，求k

的值。

分式方程专题七、与方程、

不等式综合

例1、关于X的分式方程的解也是不等式组

2—XX-4

『1—XC

IAX—2

{2的一个解，求m的取值范围

[2（x-3）<

3-X1

例2、当X为何值时，分式乂必的值比分式的值大3?

2-xX—2

例3、已知1J=7，求n+m的值

mnm+nmn

2111

例4、已知关于x的方程x+p+2（x+—）=-3，求x+—+1的值。

xxx

分式方程专题八、规律题

12=7，请利用它们所蕴含的规律，求关于x的

1、观察分析下列方程：

①x+2=3②X+'

=5③x+

方程X+匚巴=2n+4（n为正整数

）的根

1,11

2、=1——，

1X222^3

（1）写出第n个式子;

_1_1

23'

3咒4

--，根据你所发现的规律，回答下列问题:

（2）利用规律计算:

x（x+1）（x+1）（x+2）（x+2）（x+3）

（3）利用规律计算:

1+:

x（x-1）（x-1）（x-2）（x-2）（x-3）

数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高达低，取决于弦的长度。

绷得一样发出的声音就比较和谐。

例如三根弦的长度之比为15:

12:

10,

的声do，mi，so,研究15,12,10三个数的倒数发

3、数学的美无处不在。

紧的几根弦，如果长度比能够表示成整数的比，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将发出很和谐

1111

现：

-=一，我们称15,12,10一组数为调和数，现有一组调和数：

X、5、3（x>

5），则x的值为

12151012

4、先阅读下面材料的材料，然后回答问题:

X+-

Xx+Z

X+

方程

=2+-的解为

=3+—的解为

=4+的解为

Xi=2,

Xi=3,

Xi=4,

X2

观察上述方程的解，猜想关于方程

—•

"

2；

•

3；

_1

4；

.……

+—=5+-的解为；

X5

X+-=a+-的解为

Xa

根据上面的规律，猜想关于X的方程

由

（2）可知，在解方程y

y+1

二10:

时，可变形转化为

=a+丄的形式求值，请写出

你的变形求解过程

5、阅读下列材料：

关于X的方程:

—的是

c

的解是Xj=C,X2=-；

X+

cX

（1）请观察上述方程与解的特征

1-1-1

=c--（即卩x+——=c+——）cXc

_33

=c+的解是X1=c,X2=;

••…Xcc

=c+—（m^0）与它们的关系，猜想它的解是

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，

方程的右边的形式与左边完全相同，

1.

X1=c,X2=—；

c

；

x+c

X+—=c+

=c+的解是X1=C,X2=

上匕较关于

X的方程X+m

什么,并利用“方程的解”的概念进行验证。

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,

数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接求解请用这个结论接关于

X--

X的方程:

可以得出结论：

只是把其中的未知

.2,2

X+=a+

XTa-1

6、解方程X2+12-2（X+1）-1=0时，若设x+1=y，则原方程可化为。

XXX