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确定信号可分为周期信号和非周期信号，随机信号可分为平稳信号和非平稳信号

2连续信号与离散信号

3模拟信号与数字信号

注：

连续信号和模拟信号不完全相同，离散信号和数字信号也不一样。

模拟信号和数字信号要求更严格，前者要求幅度变化必须连续，后者要求幅度变化必须离散。

连续和离散无此要求。

典型信号有：

1单位冲激信号

冲激串的频谱仍然是冲激串。

频域冲激串间隔Ωs和时域冲激串间隔Ts满足Ωs=2π/Ts=2πfs

2单位阶跃信号

3脉冲信号（矩形信号），与单位阶跃不太一样

4正弦信号

模拟角频率

与模拟频率f不同，

=2π/T=2πf，f=1/T，模拟角频率

表示振动物体在2π秒内振动的次数，或者说是每秒转过的弧度。

模拟频率f表示物体在1s内振动的次数，表示振动快慢的物理量。

模拟频率f、模拟角频率Ω和数字角频率

三者的关系如下：

其中Ω=2π

，其中

为采样频率。

凡是经模拟信号采样后得到的离散信号，其模拟角频率和采样频率与数字角频率成线性关系。

或者说，数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。

5指数信号

信号基本运算：

加，减，累加，乘（时间尺度变换），移位（延时，时移）

信号处理发展的历史，在某种程度上可以看做是信号与噪声相互斗争的历史，信号处理的主要目标之一就是如何区分信号与噪声。

人们常用概率统计的方法来描述噪声，因为噪声是随机信号，没有标准的函数表示。

对于给定的时刻n，噪声v（n）的取值服从某种分布，比如均匀分布或者高斯分布。

经典数字信号处理最基本的假设之一就是假设噪声为高斯白噪声。

从模拟信号到数字信号：

采样----量化----编码

时域采样等效于频域的周期延拓。

频域采样等效于时域的周期延拓。

信号的带宽是一个描述信号变化速度快慢的物理量，就是最高频率分量和最低频率分量之差。

信号采样等效于数学运算，模拟信号与一串冲激函数的乘积。

量化是指将信号幅度的连续取值近似为有限多个离散值的过程，会产生误差（即量化误差，量化噪声）。

量化主要应用于从离散信号到数字信号的转换中。

模拟信号经采样称为离散信号，离散信号经过量化称为数字信号。

两个相邻的量化电平之差称为量化分辨率，其值为

=2Vm/M，其中M=2B，B为量化位数。

量化误差是一个随机变量，且可以看作是一个服从均匀分的白噪声信号，即量化的过程可以等效为采样后的离散信号加上一个服从均匀分布的白噪声。

所以，分析量化误差的影响时，使用加性噪声模型。

热噪声是信号中最基本的噪声分量，这时对量化噪声的要求就是要小于信号中的这些基本的噪声。

量化后的信号只有有限个离散幅度值，编码的过程就是将量化的信号电平值转换成二进制码组的过程。

数字的表示格式有三种，原码，反码，补码。

补码应用最广。

分辨率固定不变的是定点数，分辨率浮动变化的是浮点数。

在数字信号处理的硬件设备中，编码是通过数字逻辑电路来实现的。

在数字信号处理的硬件设备中，包括采样，量化和编码在内的模拟信号数字化的整个过程都被集成为一个芯片来实现，完成这整个功能的芯片就是模/数转换器（ADC）。

当采样频率大于信号中最大频率的两倍时，采样后的数据可以不失真地描述原始信号（用频率描述原始信号，即采样后视频率和原始信号的频率一样）。

当采样频率不满足这个条件时，会出现频率折叠和频率重复。

通常称采样频率的一半为奈奎斯特频率。

在满足采样定理的情况下，如果系统的主要矛盾是量化噪声，那么采样频率尽可能高一些，如果主要矛盾是硬件开销，那么采样频率尽可能低一些。

数字信号化过程中的参数选择：

主要包括抗混叠滤波器的截止频率及阻带衰减，采样频率和量化位数这4个参数的选取原则。

数字信号是周期延拓的，理想的情况下，将数字信号通过一个理想的低通滤波器，即可得到模拟信号的频谱。

从数字信号到模拟信号的转换:

理论上是通过一个理想低通滤波器，实际中是通过信号保持电路和抗镜像滤波器实现。

经过保持电路之后，两个离散时刻之间的空隙被填满了，填充的数值是当前的样本值。

从时域的角度看，填平空隙后额信号比采样信号更光滑了；

从频域的角度看，采样信号中频率较高的部分被滤掉了。

经过保持电路之后，虽然比采样信号更光滑一些，但在新的样本值得地方还是存在跳跃，这种时间上的突变从直观上很好理解，就是还有一些高频分量。

这是因为相对于理想的低通滤波器，保持电路所等效的低通滤波器在阻带的衰减还比较大，导致高频分量没有得到完全抑制。

对于经保持电路还残存的高频分量，再通过一个低通滤波器就可以较好地恢复出模拟信号。

后面的这个低通滤波器通常称为抗镜像滤波器。

第三章线性时不变系统LTI

如果一个系统任意时刻的输出至多取决于本时刻的输入，而不依赖过去和将来时刻的输入，则该系统称为静态系统或无记忆系统，比如放大器就是一个典型的静态系统。

在其他情况下，系统称为动态系统或有记忆系统，比如单位延时器就是一个典型的动态系统。

线性：

一个系统具有齐次性（比例性），又具有可加性，则称该系统为线性系统。

时不变:

系统的输入/输出关系不随时间而变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。

y（n-k）=T[x（n-k）]，将输入x（n）直接延时k个单位和将y（n）直接延时k个单位。

（若输入信号仅是延迟关系，那么输出信号之间也是相同的延迟关系）

因果系统：

系统在任意时刻n的输出只取决于当前和以前时刻的输入。

现实中的实时信号处理系统都是因果系统。

稳定系统：

输入输出都有界的系统。

在连续系统的时域表示中，常用微分方程来进行描述。

在离散系统中，用差分方程来描述。

LTI系统的时域描述:

差分方程（离散系统），单位冲激响应h（x）

两类最常用的LTI系统：

1FIR（有限冲激响应）系统：

h（n）只在某一有限时间段内的取值不为0，在这个时间段之外的取值均为0.

2IIR（无限冲激响应）系统：

h（n）的取值在整个时间范围内都不为0.

在数字信号处理中，LTI系统常被称为滤波器，因此FIR系统也称为FIR滤波器，同样，IIR系统称为IIR滤波器。

LTI系统的特征信号

用齐次性，可加性和时不变性来定义了一个LTI系统，用差分方程和单位冲激响应来描述了LTI系统。

复正弦信号是LTI系统的特征信号，即复正弦信号通过一个LTI系统后，其频率保持不变。

频率不变性是LTI系统的特征，非LTI系统没有频率不变的特性。

将信号分解为多个复正弦信号之和，然后再研究系统对复正弦信号响应的研究方法，在信号处理中称为傅里叶分析。

对信号和系统进行频率分析的工具是傅里叶变换。

对信号的频率分析也称为频谱计算，对系统的频率分析也称为频率响应。

不管是在时域上将信号分解为单位冲激信号，然后用单位冲激响应来表征系统，还是在频域上将信号分解为复正弦信号，然后用频率响应来表征系统，所描述的问题具有等效性。

Z变换在时域分析，频域分析和解差分方程三种分析方法间架起了桥梁。

从信号的单位冲激信号分解的角度，可以从时域来分析；

如果从信号的复正弦信号的分解角度，可以从频域来分析；

当然也还可以直接利用解差分方程的方法来分析。

用Z变换的方法，一个LTI系统的特性可以用传递函数H（z）来描述（这是因为一个LTI系统的单位冲激响应h（n）就可以完全表征系统本身）。

Z变换，Z逆变换，系统传递函数（单位冲激响应h（n）的Z变换，h（n）的傅里叶变换叫做单位冲激频率响应），

通过Z变换，将系统输入/输出关系由复杂的求和变成了简单的相乘。

给系统的分析带来很大的方便。

Y（z）=X（z）H（z）

由传递函数H（z）=N（z）/D（z）知，除了常数K之外，整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。

这里的零、极点可能是实数，纯虚数或者复数。

零、极点若为虚数或者复数，则一定共轭成对出现。

将系统函数的零，极点全部标注在z平面上得到的图形，称为系统的零极图。

单位圆即|z|=1.

1.从零极图看单位冲激响应（H（z）是h（n）的Z变换）

系统的零极图可以很直观的反映单位冲激响应h（n）的形状。

当极点在单位圆内时，h（n）随着n的增加而逐步衰减；

当极点在单位圆上时，h（n）为常数；

当极点在单位圆外时，h（n）随着n的增加而不断放大。

注:

当极点为负数时，会导致h（n）在正数和负数之间交替变换。

单位冲激响应h（n）的形状主要由极点决定。

、

2.从零极图看系统因果性

对因果系统而言，只要H（z）确定，其极点也就确定了进而也就确定了收敛域，可以得到唯一的h（n）。

3.从零极图看系统稳定性

只有当H（z）的收敛域包含单位圆|z|=1时，h（n）绝对可和，这时系统就是稳定的。

所有极点在单位圆内，此时h（n）绝对可和，从而系统稳定。

系统频率响应

复正弦信号是LTI系统的特征信号（即特征向量），其对应的特征值称为系统的频率响应，即h（n）的离散时间傅里叶变换。

频率响应H（ejw）一般为复数，可用实部和虚部表示，或者用幅度和相位来表示。

H（k）=HR（k）+jHI（k）=|H（k）|

，H（ejw）=|H（ejw）|

h（n）完全表征了LTI系统的时域特性，H（ejw）完全表征了LTI系统的频域特性。

1幅频响应

表征的是系统对不同频率信号幅度的放大或衰减。

幅频响应越大，则对应频率信号的选择性越好，此时信号能更好的通过系统；

幅频响应越小，刚好相反。

幅频响应是周期性的，周期为2π。

一般是偶对称的。

在工程实际中，幅频响应通常以dB为单位。

在分析具体问题时，通常只考虑一个周期内的幅频响应，这是因为采样定理保证了有用的信号频谱都在一个周期内。

2相频响应

表征的是系统对不同频率信号相位的超前或者滞后。

以2π为周期。

一般是奇对称。

具有一个显著的特点是具有模糊性，而且模糊的周期是2π。

对于模糊造成的相频响应曲线的不连续，也可以通过数学上称为解缠绕的方法，得到连续的相频响应曲线。

相频响应：

群延时：

从物理上，相频响应反映了系统对不同频率信号的处理时间，但不是说相频响应越大，系统的处理时间越长。

相位不仅和时间有关，还和频率有关。

在信号处理中，群延时（GroupDelay）是用来表征系统延时时间的另一个概念。

相频响应反映的是系统对输入信号延时的相对值，群延时反映的是系统对输入信号延时的绝对值。

对于频率成分比较复杂的信号，相频响应为常数反而会造成信号的失真；

群延时为常数的系统不会对信号产生失真。

在实际的信号处理中，群延时往往是用来衡量系统对输入信号是否产生失真，因此有的地方也称为包络延时。

相频响应是一个比群延时内涵更宽泛的概念。

如果群延时为常数，则对应的相频响应有

，这样的形式，称为系统的线性相位。

3Z变换与频率响应

频率响应是系统函数的一种特殊情况，频率响应H（ejw）就是系统函数H（z）在单位圆z=ejw上的取值，即H（ejw）=H（z）

。

通过傅里叶变换计算得到的系统频率响应物理意义明确，并且能完全反映系统在频域的特性。

但傅里叶变换最大的问题在于其收敛的条件比较苛刻，对离散信号和系统而言，只有在时域内绝对可和的信号才存在。

为了解决傅里叶变换收敛条件苛刻的问题，引入了Z变换。

在进行信号和系统的分析过程中，可以先得到Z变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊结果。

给定一个信号空间，可以确定一组基，使得该信号空间的所有信号都可以由该基表示。

若将信号空间进一步扩大，那么该空间为扩大后空间的一个子空间。

而扩大后空间自身又可以确定一组基使得扩大后空间的每个信号都可以由该基表示。

例如：

要表示所有信号需要的基为

（t-

），而表示所有周期信号只需要

，但是所有周期信号也可以用更大空间的所有信号的基

）来表示；

又例如，所有周期为T的信号空间为所有周期为2T的信号空间的一个子空间。

这里，如果将空间进一步由

生成的空间扩大到

，s

生成的空间，信号f（t）在这个基下的坐标被称为拉普拉斯变换。

LTI系统的向量理解（借助零极图来大概地了解系统的频率响应）

向量的长度表示复数的幅度，向量和实轴的夹角表示复数的相位。

复数的向量表示完全表征了一个复数（频率响应通常为复数）的全部信息，向量使得复数的表示和运算都非常的直观。

接近单位圆的零点会引起在这个点附近的单位圆上的频率的幅度响应变小；

与此相反，接近单位圆的极点会引起在这个点附近的单位圆上的频率的幅度响应变大。

零点影响幅度响应的谷值及形状，极点影响幅度响应峰值及尖锐程度。

借助向量，在零极图上可以很容易由系统函数H（z）得到系统频率响应的定性分析结果。

由初步分析得到的系统频率的幅频响应就大概了解了系统的部分特性。

两种特殊LTI系统的分析

1全通系统，即系统频率响应|H（ejw）|对于所有频率w均为常数。

为0的极点对幅度响应没有任何影响，影响的只是相位响应（此时向量长度恒为1）。

除了零极点在相同的位置两者能够抵消之外，零极点关于单位圆共轭倒置的时候在幅度响应上也能抵消。

2最小相位系统

所有的零、极点都位于单位圆内的系统。

相频响应的变化越小越好。

当系统的所有零点都在单位圆内时，ω沿单位圆逆时针旋转一圈导致的相位变化为0，这个变化显然是最小的，此时的系统称为最小相位系统。

单位圆内外的零点引入的相位变化要大于单位圆内的零点。

最小相位系统要求极点都在单位圆内的原因是考虑系统的稳定性，要求零点在单位圆内，是考虑所带来的相位变化最小。

极点虽然也可以影响相位，但因为极点和系统的稳定性密切相关，因此如果想调整系统的相位特性，一般很少从极点的角度考虑。

这种情况下，往往是通过调整零点位置来实现系统的相位调整。

零点越多的话，系统的延时越厉害。

正因为最小相位系统具备逆系统的稳定性，很多时候我们希望将系统中的最小相位系统部分分解出来，并且不破坏系统的幅频响应。

这种分解很方便地用全通系统零极点关于单位圆共轭倒置的特性实现。

数学公式表示如下：

H（z）=Hmin（z）Hap（z），其中Hmin（z）表示H（z）幅频响应相同的最小相位系统，Hap（z）表示全通系统。

第四章信号与系统的相互作用

信号与系统的相互作用实际上可以理解为系统的输入与输出之间的关系。

1卷积

系统的输入/输出关系可以表示为：

y（n）=T[x（n）]=

，可以记为

y（n）=x（n）*h（n）

1）输入信号的角度

y（n）=

=x（n）*h（n）

h（n）是指输入为单位冲激时系统的输出。

通俗的说，仅在n=0时刻给系统输入一个值，系统不只在n=0时刻有输出，在n=1，2，…,N-1等随后的时刻还有输出。

对于一个信号来说，不同时刻的输入值x（m）对系统的输出都有贡献，贡献的大小一方面与x（m）的大小有关，另一方面与m的大小有关。

系统的输出就是将不同的x（m）的贡献都加起来的结果。

（摔跤的例子）

2）系统的角度

=h（n）*x（n）

系统的h（n）可以看作是一组加权系数，系数的输出不仅和当前时刻的输入有关，而且与之前时刻的输入有关，而且和之前时刻的输入有关，但不同时刻的输入对输出的影响是不一样的，h（n）这组加权系数就是表征这种不同的影响。

信号处理的过程就是对输入信号加权运算的过程。

（火车站的危险品扫描系统，FIR滤波器）

卷积运算满足交换律。

卷积的边界效应不仅在信号和系统刚刚开始相互作用时出现，而且在信号输入要结束时也会出现。

开始时存在边界效应的点数是M-1，实际中应将h（n）长度尽可能减小。

卷积定理：

Y（ejw）=X（ejw）H（ejw）,这表明，从频域看来，卷积运算变为输入信号傅里叶变换和系统频率响应的乘积。

信号与系统的相互作用，在时域表现为卷积，在频域表现为乘积。

对于输入信号x（n）来说，可以分解为多个复正弦信号之和，X（ejw）就是对应频率的系数。

卷积定理可以很方便的从Z变换得到。

现实中的信号都是能量有限，带宽有限的。

但为了分析方便，在信号处理中也经常要用到一些能量无限的理想信号，比如周期信号等，为此引入了功率信号的概念。

2相关

信号处理中，相关最基本的含义是定量的衡量两个信号的相似程度，包括自相关和互相关。

1）能量信号相关的定义

rxy（m）=

，rxx（m）=

可以看作是一类特殊的信号与系统的相互作用。

2）功率信号相关的定义

周期为N

注意，在信号处理中，相关从物理概念上可以理解为两个信号的相似程度。

rxy（m）的绝对值越大，并不能说明信号的相似程度越强。

信号处理中用相关系数ρxy（m）来更细致地描述信号的相似程度，可认为是归一化的rxy（m）。

对能量信号来说，归一化因子为信号的能量；

对功率信号来说，归一化因子为信号功率。

完全相似不是完全相同。

相关是描述噪声（随机信号）必不可少的工具。

随机信号的幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。

这次测出的是这种波形，下次测出的可能会是另外一种波形。

无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。

但是，随机信号的统计规律是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型——随机过程。

随机信号分为平稳和非平稳两大类。

平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。

平稳随机过程在时间上是无始无终的，即它的能量是无限的，只能用功率谱密度函数来描述随机信号的频域特性。

平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。

各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。

各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。

随机信号不能用确定的时间函数来表达，只能通过其随时间或其幅度取值的统计特征来表达。

这些统计特征值有：

①数学期望值，描述随机信号的平均值。

②方差值，描述随机信号幅度变化的强度。

③概率密度函数，是描述信号振幅数值的概率。

④相关函数，描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值之间的联系程度的数值，它是时间间隔的一个函数。

⑤功率谱密度，描述随机信号在平均意义上的功率谱特性。

以上这些统计特征是描述随机信号的主要数字特征。

研究随机信号的数学方法是随机过程理论。