届高考数学一轮复习教学案命题及其关系充分条件文档格式.docx
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反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,A⊆B是A∩B=A成立的充要条件.
4.“在△ABC中,若∠C=90°
,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为:
____________________.
原命题的条件:
在△ABC中,∠C=90°
,
结论:
∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.
即“在△ABC中,若∠C≠90°
,则∠A、∠B不都是锐角”.
答案:
“在△ABC中,若∠C≠90°
,则∠A、∠B不都是锐角”
5.下列命题中所有真命题的序号是________.
①“a>
b”是“a2>
b2”的充分条件;
②“|a|>
|b|”是“a2>
b2”的必要条件;
③“a>
b”是“a+c>
b+c”的充要条件.
①由2>
-3⇒/22>
(-3)2知,该命题为假;
②由a2>
b2⇒|a|2>
|b|2⇒|a|>
|b|知,该命题为真;
③a>
b⇒a+c>
b+c,又a+c>
b+c⇒a>
b,∴“a>
b+c”的充要条件为真命题.
②③
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”;
(2)传递性:
若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”.
2.从逆否命题,谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.
四种命题的关系及真假判断
典题导入
[例1] 下列命题中正确的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>
0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④“若x-3
是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④
C.②③④D.①④
[自主解答] ①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确;
③中,Δ=1+4m,当m>
0时,Δ>
0,原命题正确,故其逆否命题正确;
②中逆命题不正确;
④中原命题正确故逆否命题正确.
[答案] B
由题悟法
在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;
判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.
以题试法
1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>
0,则函数f(x)=logax(a>
0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
对于①,若log2a>
0=log21,则a>
1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;
对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;
对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;
对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.
②④
充分必要条件的判定
[例2]
(1)(2012·
福州质检)“x<
2”是“x2-2x<
0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2012·
北京高考)设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
[自主解答]
(1)取x=0,则x2-2x=0,故由x<
2不能推出x2-2x<
0;
由x2-2x<
0得0<
x<
2,故由x2-2x<
0可以推出x<
2.所以“x<
0”的必要而不充分条件.
(2)当a=0,且b=0时,a+bi不是纯虚数;
若a+bi是纯虚数,则a=0.故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
[答案]
(1)B
(2)B
充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分.
2.下列各题中,p是q的什么条件?
(1)在△ABC中,p:
A=B,q:
sinA=sinB;
(2)p:
|x|=x,q:
x2+x≥0.
解:
(1)若A=B,则sinA=sinB,即p⇒q.
又若sinA=sinB,则2RsinA=2RsinB,即a=b.
故A=B,即q⇒p.
所以p是q的充要条件.
{x||x|=x}={x|x≥0}=A,
q:
{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或x≤-1}=B,
∵AB,
∴p是q的充分不必要条件.
充分必要条件的应用
[例3] 已知p:
-4<
x-a<
4,q:
(x-2)(x-3)<
0,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围为________.
[自主解答] 设q,p表示的范围为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
由于q是p的充分而不必要条件,则有AB,
即
或
解得-1≤a≤6.
[答案] [-1,6]
利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是:
(1)若p是q的充分不必要条件,则p⇒q且q⇒/p;
(2)若p是q的必要不充分条件,则p⇒/q,且q⇒p;
(3)若p是q的充要条件,则p⇔q.
3.(2013·
兰州调研)“x∈{3,a}”是不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.
∪
C.
D.
选D 由2x2-5x-3≥0得x≤-
或x≥3.
∵x∈{3,a}是不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件,又根据集合元素的互异性a≠3,
∴a≤-
或a>
3.
1.(2012·
福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5D.x=0
选D a⊥b⇔2(x-1)+2=0,得x=0.
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
选B 原命题的逆命题是:
若一个数的平方是正数,则它是负数.
武汉适应性训练)设a,b∈R,则“a>
0,b>
0”是“
>
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
选D 由a>
0不能得知
,如取a=b=1时,
;
由
不能得知a>
0,如取a=4,b=0时,满足
,但b=0.综上所述,“a>
”的既不充分也不必要条件.
4.已知p:
“a=
”,q:
“直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的( )
选A 由直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切得,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离等于圆的半径,即有
=1,a=±
.因此,p是q的充分不必要条件.
5.(2012·
广州模拟)命题:
“若x2<
1,则-1<
1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<
1,则x2<
1
C.若x>
1或x<
-1,则x2>
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
选D x2<
1的否定为:
x2≥1;
-1<
1的否定为x≥1或x≤-1,故原命题的逆否命题为:
若x≥1或x≤-1,则x2≥1.
6.(2011·
天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
选C A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},
∵A∪B=C,∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件.
7.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
B.命题“x>
1,则x2>
1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>
0,则x>
1”的逆否命题
选A 对于A,其逆命题是:
若x>
|y|,则x>
y,是真命题,这是因为x>
|y|≥y,必有x>
y;
对于B,否命题是:
若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>
1;
对于C,其否命题是:
若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;
对于D,若x2>
0或x<
0,不一定有x>
1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题.
8.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
选B 若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.
9.命题“若x>
0,则x2>
0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”)
其否命题为“若x≤0,则x2≤0”,它是假命题.
假
10.已知集合A={x|y=lg(4-x)},集合B={x|x<
a},若P:
“x∈A”是Q:
“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
A={x|x<
4},由题意得AB结合数轴易得a>
4.
(4,+∞)
11.(2013·
绍兴模拟)“-3<
a<
1”是“方程
+
=1表示椭圆”的____________条件.
方程表示椭圆时,应有
解得-3<
1且a≠-1,
故“-3<
1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
必要不充分
12.若“x2>
1”是“x<
a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.
由x2>
1,得x<
-1或x>
1,又“x2>
a”的必要不充分条件,知由“x<
a”可以推出“x2>
1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
-1
13.下列命题:
①若ac2>
bc2,则a>
b;
②若sinα=sinβ,则α=β;
③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;
④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
对于①,ac2>
bc2,c2>
0,∴a>
b正确;
对于②,sin30°
=sin150°
⇒/30°
=150°
,所以②错误;
对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2⇒/A2C1,所以③正确;
④显然正确.
①③④
14.已知集合A=
,B={x|log4(x+a)<
1},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
x2-x-6<
1,即x2-x-6>
0,解得x<
-2或x>
3,故A={x|x<
-2,或x>
3};
由log4(x+a)<
1,即0<
x+a<
4,解得-a<
4-a,故B={x|-a<
4-a},由题意,可知BA,所以4-a≤-2或-a≥3,解得a≥6或a≤-3.
(-∞,-3]∪[6,+∞)
1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,则“A<
B”是“cos2A>
cos2B”的( )
选C 由大边对大角可知,A<
B⇔a<
b.
由正弦定理可知
,故a<
b⇔sinA<
sinB.
而cos2A=1-2sin2A,cos2B=1-2sin2B,
又sinA>
0,sinB>
0,所以sinA<
sinB⇔cos2A>
cos2B.
所以a<
b⇔cos2A>
cos2B,即“A<
cos2B”的充要条件.
2.设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A.x+y=2B.x+y>
2
C.x2+y2>
2D.xy>
选B 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>
1或y>
1”.
若x+y>
2,必有x>
1,否则x+y≤2;
而当x=2,y=-1时,2-1=1<
2,所以x>
1不能推出x+y>
2.
对于x+y=2,当x=1,且y=1时,满足x+y=2,不能推出x>
1.
对于x2+y2>
2,当x<
-1,y<
-1时,满足x2+y2>
2,故不能推出x>
对于xy>
1,当x<
-1时,满足xy>
1,不能推出x>
1,故选B.
3.已知不等式|x-m|<
1成立的充分不必要条件是
<
,则m的取值范围是________.
由题意知:
“
<
”是“不等式|x-m|<
1”成立的充分不必要条件.
所以
是{x||x-m|<
1}的真子集.
而{x||x-m|<
1}={x|-1+m<
1+m},
所以有
解得-
≤m≤
.
所以m的取值范围是
4.在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:
①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
②若a2-4b<
0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;
③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<
④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<
⑤若a2-4b<
0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写).
“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②④.
①③②④
5.设条件p:
2x2-3x+1≤0,条件q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
条件p为:
≤x≤1,条件q为:
a≤x≤a+1.
綈p对应的集合A=
,綈q对应的集合B={x|x>
a+1,或x<
a}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件,
∴BA,∴a+1>
1且a≤
或a+1≥1且a<
∴0≤a≤
.故a的取值范围是
6.已知集合M={x|x<
-3,或x>
5},P={x|(x-a)·
(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5<
x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<
x≤8}的一个充分但不必要条件.
(1)由M∩P={x|5<
x≤8},得-3≤a≤5,因此M∩P={x|5<
x≤8}的充要条件是-3≤a≤5;
x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<
x≤8};
反之,M∩P={x|5<
x≤8}未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5<
x≤8}的一个充分不必要条件.
济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,正确命题的个数记为f(p),已知命题p:
“若两条直线l1:
a1x+b1y+c1=0,l2:
a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”.那么f(p)=( )
A.1B.2
C.3D.4
选B 若两条直线l1:
a1x+b1y+c1=0与l2:
a2x+b2y+c2=0平行,则必有a1b2-a2b1=0,但当a1b2-a2b1=0时,直线l1与l2不一定平行,还有可能重合,因此命题p是真命题,但其逆命题是假命题,从而其否命题为假命题,逆否命题为真命题,所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,有2个正确命题,即f(p)=2.
2.条件p:
α<
,条件q:
f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数,则p是q的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
选B ∵f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数,
∴tanα>
1,得α∈
,k∈Z,而
(k∈Z).
3.判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.
法一:
写出逆否命题进行判断.
原命题:
若a≥0,则x2+x-a=0有实根.
逆否命题:
若x2+x-a=0无实根,则a<
0.
判断如下:
∵x2+x-a=0无实根,
∴Δ=1+4a<
0,∴a<
-
0,
∴“若x2+x-a=0无实根,则a<
0”为真命题.
法二:
利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断.
∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>
∴方程x2+x-a=0的判别式Δ=4a+1>
∴方程x2+x-a=0有实根.
故原命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真.
又因原命题与其逆否命题等价,
所以“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.
法三:
利用充要条件与集合关系判断.
令A={a∈R|a≥0},
B={a∈R|方程x2+x-a=0有实根}=a∈Ra≥-
则AB.
∴“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真,其逆否命题也为真.