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墙受的冲量
I墙=-I球=-（2m1cos）i
F帆对风Δ
演示：
逆风行舟
2质点系的动量定理，
动量守恒定律
一.质点系的动量定理
1.质点系：
由有相互作用的质点组成的系统。
（以由两个质点组成的质点系为例）
F2
内力：
f1=-f2
内力成对出现
外力：
F1、F2
f1
f2
对m2初（F2+f2）dt=p2末-p2初
2.质点系的动量定理
或I=P末-P初
两式相加有
系统所受的合外力的冲量等于系统动量
的增量
是什么力可改变系统的动量?
外力只能改变系统的动量吗?
内力可改变什么动量?
不能改变什么动
量?
用质点系动量定理处理问题可避开内力，
较为方便。
二.动量守恒定律
（Lawofconservationofmomentum）
1.动量守恒定律
条件：
系统所受的合外力为零
F=0
则系统动量保持不变
p=常矢量
或p初=p末
系统初动量等于系统末动量
2.几点说明
动量守恒定律是关于自然界一切过程的一
条最基本的定律。
它适用于
宏观粒子系统
电磁场
微观粒子系统
更普遍的动量守恒定律并不依赖
牛顿定律。
分动量守恒
若（F）x=0，则p末x=p初x
（F）y=0，则p末y=p初y
动量守恒定律只适用于惯性系。
用守恒定律作题，注意分析:
过程、系统、条件
x
[例]
已知：
大炮质量M，炮弹质量m
炮筒长l，仰角
炮弹出口速度0（相对于炮车）
水平轨道光滑
（1）炮车反冲速度V
（2）炮弹出口时，炮车移动的距离D
（1）·
分析：
过程：
自点火炮弹出口
系统：
m---M
条件：
水平合外力为零
水平分动量守恒
守恒式
0=mx+M（-V）
注意:
x0cos（why?
）
[x]弹对地=[x]弹对炮+[Vx]炮对地
x=0cos-V
代入守恒式有
M+m
（2）·
在过程中的任一时刻t都有
mx（t）-MVx（t）=0
·
两边对t积分
md-MD=0
注意：
dlcos
d=lcos-D
代入有
讨论：
系统动量是否守恒?
MV
（1）由结果看
*系统初动量为零
*系统末动量
（不为零）
（2）由守恒条件看
点火前：
地面支持力N=（M+m）g
重力（M+m）g
y向合力为零
点火后：
N>
（M+m）g
y向合力不为零
y向动量不守恒系统动量不守恒
录像：
《动量原理》
“神舟”号飞船升空
3火箭飞行原理
变质量问题：
低速（<
<
c）：
粘附（质量添加）
抛射（质量减少）
高速（c）：
质量随速度变化
m=m（）
讨论：
火箭飞行原理（是变质量问题的重
要实例）
应用原理：
动量定理和动量守恒定律。
u
一.火箭不受外力情形
1.火箭的速度
系统：
火箭壳体+尚存燃料
不受引力、
阻力（简化）
总体过程：
i（点火）f（燃料烧尽）
看一微过程：
tt+dt
初态：
火箭壳体+尚存燃料
质量M
速度（箭对地）
系统动量M
末态：
喷出燃料
质量dm=-dM
速度-u
（燃料对地=u燃料对箭+箭对地）
火箭壳体+尚存燃料
质量M-dm
速度+d（箭对地）
系统动量
-dM（-u）+（M-dm）（+d）
由动量守恒
M=-dM（-u）+（M-dm）（+d）
=
得Md=-udM
i
速度公式
Mf
N=
火箭质量比:
=i+ulnN
最后速度
=ulnN
如火箭点燃时静止（i=0），则
提高f的途径
（1）提高u
（2）增大N
2.火箭所受的反推力
研究对象：
喷出气体dm
t时刻：
速度（和主体的速度相同）
动量dm
t+dt时刻：
速度-u
动量（-u）dm
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F气dt=（-u）dm-dm
dt
和u同向
火箭所受的反推力
F箭方向：
和u反向，
大小：
决定于u及
单位时间喷气量
3.多级火箭
单级火箭：
u=4.1km/s
N=15
f=11km/s
考虑地球引力和空气阻力，实际末速只有
7km/s<
7.9km/s（第一宇宙速）。
多级火箭（一般为三级）
=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3
资料：
长征三号（三级大型运载火箭）
全长：
43.25m，最大直径：
3.35m，
起飞质量：
202吨，起飞推力：
280吨力。
二.重力场中的火箭发射
Mt
可得t时刻火箭的速度：
Mt：
t时刻火箭的质量
*§
3变质量问题，火箭飞行原理
（较多内容）
是动量定理和动量守恒定律的重要应用。
一.变质量问题
低速（<
粘附（质量添加）
抛射（质量减少）
高速（c）：
质量随速度变化
低速情形
1.动力学方程
（1）粘附（质量添加）
主体（M）；
微小质量（dm>
0）
t时刻：
主体M速度
微小质量dm速度
（、相对同一惯性系）
动量：
M+（dm）
t+dt时刻：
系统质量M+dm
速度+d
（M+dm）（+d）
dt时间内系统受外力F
*由质点系动量定理
Fdt=（M+dm）（+d）-[M+（dm）]
（2）抛射（质量减少）
主体M（内含|dm|），速度
M
dt时间内有微小质量|dm|（dm<
0）从主
体分离出去
t+dt时刻：
主体质量（M+dm）<
M
速度+d
抛出物质量（-dm）>
速度
（、相对同一惯性系）
（M+dm）（+d）+（-dm）
dt时间内系统受外力F
由质点系动量定理
*
Fdt=[（M+dm）（+d）+（-dm）]-M
=（M+dm）（+d）-[M+（dm）]
可见，粘附、抛射两方程形式相同。
（3）动力学方程
将上式化简，并忽略二阶小量有
Fdt=dm+Md-dm
动力学方程
上式可改写为
但dm对地=udm对M+M对地
dt
u=-
有
密舍尔斯基方程
上述方程是关于主体M的动力
F=M
学方程
当dm=0时，有
主体M的加速度决定于
系统外力F
附加力（内力）
附加力的效果可能是推动力或制动力
决定于u的方向和dm的正负。
=F+
根据需要，上述方程也可以改写为
二.火箭飞行原理
是变质量问题的重要实例。
1.火箭不受外力情形（F=0）
运动方程
已知，初态：
Mi（火箭壳体+全部燃料）
i
Mf（火箭壳体）
f
燃料相对火箭的速度：
u（u=const.）
运动方程投影式
dm=dM（<
Md=-udM
火箭质量比：
（1）提高u
（2）增大N
喷出气体-dm>
动量（-dm）
速度
动量（-dm）
dt内喷出气体所受冲量
F气dt=（-dm）-（-dm）
-dm
F气dt=（-dm）（u+）-（-dm）
和u同向（因为dm<
0）
F箭=-F气=u（）
和u反向,
单位时间的喷气量
u=4.1km/s
N=15
f=11km/s
考虑地球引力和空气阻力，实际末速
只有
43.25m,最大直径：
3.35m,
4.重力场中的火箭发射
由
及F=mg
Mt=mg
4质心，质心运动定理
对质点系可引入质心的概念
用质心来分析质点系的运动有方便之处
一.质心（centerofmass）
1.质心的定义
质点系：
m1、m2、…、mi
r1、r2、…、ri
M
质心C的矢径
M：
质点系总质量
直角坐标系中
yc=…（类似可得）
zc=…
质心是几何点。
思考：
质心位置决定于什么因素?
改变坐标系时，质心位置变不变?
质心和重心概念是否相同?
=
当物体或物体系质量连续分布时，
二.质心的运动
1.质心的速度和加速度
（1）速度
ac=
（2）加速度
2.质心的动量
由c式有
（mii）=Mc
意义：
质点系的总动量=M与c的乘积
（质心的动量）
质心的运动可以反映质点系整体的运动。
3.质心运动定理
由ac式有，
miai=Mac
（Fi+fi）=Mac（fi=?
Fi=Mac质心运动定理
质心的加速度决定于质点系所受的
合外力。
质心的运动只由合外力决定，
内力不能改变质心的运动情况。
把质量和力都集中在质心，质心的运动
可看成是一个质点的运动。
如：
正在空中翻滚的手榴弹；
正在空中翻滚的跳水运动员；
其质心均沿抛物线运动，为什么?
小实验：
请你揪着自己的头发向上，使身
体离开座椅（脚不能沾地）。
可能吗?
为什么?
☆使自行车前进的力是什么力?
这是内力还是外力?
质心1；
质心2
4.合外力为零时质心的运动
当F=0时，有ac=0，
*c=常矢量
当质点系的合外力为零时，质心
静止或作匀速直线运动。
质点系动量守恒质心匀速直线运动
（或静止）
质点系x向分动量守恒
质心在x向匀速直线运动（或静止）
你是否已看出引进质心概念的好处?
用质心的运动代替整个质点系的运动。
练习：
如前所述，
质点系的动量=质心的动量。
问:
是否也有
质点系的动能=质心的动能?
请证明二者是否相等，并导出两者的
关系式。
*三.质心参考系（center-of-massframe）
1.质心参考系
是固定在质心C上的参考系，
且以c相对于惯性系平动。
2.质心参考系的特点：
在质心参考系中，
质点系的总动量恒为零。
质心系---零动量系。
在质心系中看，质点系的总动量为
p=mii
i是质点mi相对于质心的速度
因为i=i+c
mi对惯性系mi对cc对惯性系
0
所以
（1）如一质点系只含两个质点，则在
质心系中看
质心系中看来，此二
质点在任一瞬时都具
有大小相等而方向相
反的动量。
（2）质心系不一定是惯性系
如，则质心相对惯性系作匀速
直线运动，
此质心系也是惯性系。
如，则质心系不是惯性系，
但仍是零动量系。
（3）一质点系的复杂运动通常可分解为
质点系整体随质心的运动；
各质点相对于质心的运动。
前者即讨论质心的运动，后者就是在
质心系中考察质点系的运动。
（4）在质心系中讨论问题常常很方便。
在讨
论天体运动及碰撞问题时经常用到。
[例]实验室中，两质点质量均为m
（m1=m2=m），速率均为（1=2=），
运动方向如图。
（1）c，
（2）质心系中两质点的动量
c=0
（1）求c
1x=cos,1y=-sin,
2x=cos,2y=sin
M=m1+m2=2m
2m
c=cx=cos
*c=（cos）i
（2）求质心系中两质点的动量
对任一质点i有i=i+c
i=i-c,即ix=ix-cx
iy=iy-cy
对m1，1x=1x-cx=0
1y=1y-cy=-sin
对m2，2x=2x-cx=0
2y=2y-cy=sin
质心系中动量
p1=-（msin）j
p2=（msin）j
p1+p2=0
质心系中两质点动量之和为零。
5角动量（angularmomentum）
r
一.质点的角动量
1.定义
质点m在某时刻的动量为p=m
该时刻对某定点o的矢径为r
则此时刻质点m对固定点o的角动量为
L=rp=rm
L大小：
L=rpsin=mrsin
方向：
由矢积确定
单位：
kgm2/s或Js
2.说明
同一质点相对于不同的点，角动量不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
质点作匀速率圆周
运动时，角动量的
大小、方向均不变。
L=mR
二.质点的角动量定理
讨论：
质点对惯性系中某固定点的角动
量的时间变化率和什么因素有关。
由角动量定义L=rp
+r
m
引入力矩概念
（momentofforce）
M=rF
M称为力对固定点o的矩
M=r0F=rFsin
由叉积决定（M矢量的方向并非指
“顺（逆）时针力矩”方向）
于是有角动量定理的微分形式
或Mdt=dL
质点对某定点的角动量的时间变化
率等于质点所受合外力对该点的力矩。
说明：
质点受力矩，角动量将改变
（反之亦然）。
若力矩作用一段时间过程：
初态末态，
则有
反映在一段时间过程内
力矩的积累作用效果
角动量定理的意义：
在一段时间过程中，
质点所受的冲量矩，等于质点角动量的
增量。
三.质点的角动量守恒定律
1.角动量守恒定律
=0
由角动量定理，
如果M=0，则
有L=常矢量
（1）角动量守恒定律是物理学的基本定律之
一。
不仅适用于宏观体系，也适用于微
观系统。
（2）在中心力作用下，质点的角动量守恒。
中心力（有心力）：
质点受力始终指向（或
离开）一个中心（力心）。
中心力对力心的力矩为零，
质点对力心的角动量一定守恒
（但质点受力不为零，动量并不守恒）。
如行星绕太阳运动，对太阳角动量守恒
卫星绕地球，地心
L
电子绕核，核
[例]由角动量守恒定律导出行星运动的开普
勒第二定律（自学教材P161）。
质点的角动
量守恒
Aspiralgalaxyisanonrigid
system.Evenifinternalforces
causethegalaxytochange
shapewhileitrotates,thetotal
angularmomentumis
conserved.
*四.质点对轴的角动量
1.对轴的力矩
将对点定义
的力矩对轴
（如z轴）投影
对o点的力矩
M=rF
M对z轴的投影---力对轴z的矩
Mz=Mk=（rF）k
=[（r+r）（F+F）]k
=（rF+rF
+rF+rF）k
=（rF）k
=rFsin
rsin
2.对轴的角动量
同理，将对点
定义的角动量
对轴（如z轴）
投影。
对o点的角动量
L=rp
L对z轴的投影---对轴z的角动量
同样有
Lz=rpsin
3.质点对轴的角动量定理
由
有
即
质点对轴的角动量定理
若Mz=0则Lz=const.
*五.质点系（对点）的角动量
L=Li
1.质点系（对点）的角动量
（对同一点o）
2.质点系的角动量定理
M外=
（M外、L均对同一点）
3.质点系的角动量守恒
当M外=0则有
L=const.
练习：
模仿质点系动量定理的导出，由质点
的角动量定理导出质点系的角动量定理和角动量守恒定律（为简单，可设质点系内只有两个质点）（可参考教材§
3.9，P163-165）。
o为惯性系
*六.质心系中的角动量定理
1.各角动量的关系
设o为惯性系
C为质心，且
是质心系的原点。
利用
ri=ri+rc
miri=0
i=i+c，mii=0
可证有（教材P167）
L=L+Lc
其中L=ri（mii）
是质点系对o点的角动量
L=ri（mii）
是质点系对质心的角动量
（注意：
这里和书上p167用的符号不同，
书上的Lc即上面的L）
Lc=rc（mi）c=rcpc
是质心对o点的角动量
2.质心系中质点系对质心的角动量定理
=（ri-rc）Fi=riFi=M外
由
---质心系中质点系对质心的角动量定理
可见，尽管质心系不一定是惯性系，但
对质心来说，角动量定理依然成立。
第三章结束
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