高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》含答案Word下载.docx

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4．将35°

角的终边按顺时针方向旋转60°

所得的角度数为________，将35°

角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

任意角的概念

[典例]　下列命题正确的是（　　）

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°

≤β<

180°

范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°

的角是锐角

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

[活学活用]

如图，射线OA绕端点O旋转90°

到射线OB的位置，接着再旋转－30°

到OC的位置，则∠AOC的度数为________．

终边相同角的表示

[典例]　写出与75°

角终边相同的角β的集合，并求在360°

1080°

范围内与75°

角终边相同的角．

1．终边落在直线上的角的集合的步骤

（1）写出在0°

～360°

范围内相应的角；

（2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合；

（3）根据条件能合并一定合并，使结果简洁．

2．终边相同角常用的三个结论

（1）终边相同的角之间相差360°

的整数倍．

（2）终边在同一直线上的角之间相差180°

（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°

分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

象限角的判断

[典例]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

（1）－75°

；

（2）855°

（3）－510°

.

象限角的判定方法

（1）根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°

之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．

（2）将角转化到0°

范围内．在直角坐标平面内，在0°

范围内没有两个角终边是相同的．

若α是第四象限角，则180°

－α一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

角

，nα（n∈N*）所在象限的确定

[典例]　已知α是第二象限角，求角

所在的象限．

[一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．

2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角

是第几象限角？

倍角、分角所在象限的判定思路

（1）已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．

（2）已知角α终边所在的象限，确定

终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：

k被n整除；

k被n除余1；

k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．

层级一　学业水平达标

1．－215°

是（　　）

A．第一象限角　B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

2．下面各组角中，终边相同的是（　　）

A．390°

，690°

B．－330°

，750°

C．480°

，－420°

D．3000°

，－840°

3．若α＝k·

＋45°

，k∈Z，则α所在的象限是（　　）

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、四象限D．第三、四象限

4．终边在第二象限的角的集合可以表示为（　　）

A．{α|90°

<

α<

}

B．{α|90°

＋k·

，k∈Z}

C．{α|－270°

－180°

D．{α|－270°

5．将－885°

化为α＋k·

（0°

≤α＜360°

，k∈Z）的形式是（　　）

A．－165°

＋（－2）×

B．195°

＋（－3）×

C．195°

D．165°

6．在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°

④－2000°

是第二象限角．

其中错误说法的序号为______（错误说法的序号都写上）．

7．α满足180°

，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.

8．若角α＝2016°

，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．

9．在0°

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

（1）549°

（2）－60°

（3）－503°

36′.

10．已知角的集合M＝{α|α＝30°

90°

，k∈Z}，回答下列问题：

（1）集合M中大于－360°

且小于360°

的角是哪几个？

（2）写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

层级二　应试能力达标

1．给出下列四个结论：

①－15°

是第四象限角；

②185°

是第三象限角；

③475°

是第二象限角；

④－350°

是第一象限角．其中正确的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

2．若角2α与240°

角的终边相同，则α＝（　　）

A．120°

，k∈Z

B．120°

C．240°

D．240°

3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在（　　）

A．x轴的非负半轴上

B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上

D．y轴的非正半轴上

4．设集合M＝{α|α＝45°

，k∈Z}，N＝{α|α＝90°

45°

，k∈Z}，则集合M与N的关系是（　　）

A．M∩N＝∅B．MNC．NMD．M＝N

5．从13：

00到14：

00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．

6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．

7．试写出终边在直线y＝－

x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°

≤α<

的元素α写出来．

8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

（1）终边落在射线OB上；

（2）终边落在直线OA上；

（3）终边落在阴影区域内（含边界）．

参考答案

1．答案：

（1）√　

（2）√　（3）×

2．答案：

D

3．答案：

A

4．答案：

－25°

　395°

[典例][解析]　终边与始边重合的角还可能是360°

，720°

，…，故A错；

终边和始边都相同的两个角可能相差360°

的整数倍，如30°

与－330°

，故B错；

由于在90°

范围内的角β包含90°

角，所以不一定是钝角，C正确；

小于90°

的角可以是0°

，也可以是负角，故D错误．

[答案]　C

解析：

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°

＋（－30°

）＝60°

答案：

60°

[典例]　

[解]　与75°

角终边相同的角的集合为

S＝{β|β＝k·

＋75°

，k∈Z}．

当360°

时，即360°

≤k·

，

解得

≤k<

2

.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.

当k＝1时，β＝435°

当k＝2时，β＝795°

综上所述，与75°

角终边相同且在360°

范围内的角为435°

角和795°

角．

解：

（1）在0°

范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°

和180°

，因此，所有与0°

角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°

，k∈Z}，而所有与180°

角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°

，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·

（2）由图形易知，在0°

范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°

和315°

，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°

，k∈Z}∪{β|β＝315°

360，k∈Z}＝{β|β＝135°

，k∈Z}.

[典例][解]　作出各角，其对应的终边如图所示：

（1）由图①可知：

－75°

是第四象限角．

（2）由图②可知：

855°

（3）由图③可知：

－510°

是第三象限角．

选C　∵α与－α的终边关于x轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．

而180°

－α可看成－α按逆时针旋转180°

得到，

∴180°

－α是第三象限角.

[典例][解]　法一：

∵α是第二象限角，

∴k·

＋90°

k·

＋180°

（k∈Z）．

∴

·

当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·

n·

这表明

是第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·

＋225°

＋270°

为第一或第三象限角．

1．解：

720°

2α<

＋360°

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

2．解：

如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角

的终边所在的区域，故角

为第二或第四象限角．

1．解析：

选B　由于－215°

＝－360°

＋145°

，而145°

是第二象限角，则－215°

也是第二象限角．

2．解析：

选B　∵－330°

＋30°

＝720°

∴－330°

与750°

终边相同．

3．解析：

选A　由题意知α＝k·

，k∈Z，

当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·

＝n·

，在第三象限，

当k＝2n，n∈Z，α＝2n·

，在第一象限．

∴α是第一或第三象限的角．

4．解析：

选D　终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°

，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．

5．解析：

选B　－885°

＝195°

，0°

≤195°

，故选B.

6．解析：

①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°

，因而转过的角为－60°

，所以①不正确．

②钝角α的取值范围为90°

，锐角θ的取值范围为0°

θ<

，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．

③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°

，所以③不正确．

＝－6×

＋160°

与160°

终边相同，是第二象限角，所以④正确．

①③

7．解析：

5α＝α＋k·

，k∈Z，∴α＝k·

，k∈Z.又∵180°

，∴α＝270°

270°

8．解析：

∵2016°

＝5×

＋216°

，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°

，k∈Z}，∴最小正角是216°

，最大负角是－144°

.答案：

216°

　－144°

9．解：

＝189°

，而180°

189°

，因此，549°

角为第三象限角，且在0°

范围内，与189°

角有相同的终边．

＝300°

－360°

，而270°

300°

，因此，－60°

角为第四象限角，且在0°

范围内，与300°

36′＝216°

24′－2×

24′<

，因此，－503°

36′角是第三象限角，且在0°

范围内，与216°

24′角有相同的终边．

10．解：

（1）令－360°

30°

，则－

k<

，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°

的角共有8个，分别是－330°

，－240°

，－150°

，－60°

，30°

，120°

，210°

，300°

（2）集合M中的第二象限角与120°

角的终边相同，

∴β＝120°

，k∈Z.

选D　①－15°

②180°

185°

＝360°

＋115°

，而90°

115°

，所以475°

＋10°

是第一象限角，

所以四个结论都是正确的．

选B　角2α与240°

角的终边相同，则2α＝240°

，k∈Z，则α＝120°

，k∈Z.选B.

选A　∵α＝β＋k·

，k∈Z，∴α－β＝k·

∴其终边在x轴的非负半轴上．

选C　对于集合M，α＝45°

＝45°

＋2k·

＝（2k＋1）·

即M＝{α|α＝（2k＋1）·

，k∈Z}；

对于集合N，α＝90°

＝2×

＝（k＋2）·

即N＝{α|α＝（k＋2）·

，k∈Z}＝{α|α＝n·

，n∈Z}．

∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴NM，故选C.

经过一小时，时针顺时针旋转30°

，分针顺时针旋转360°

，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°

，分针转过的角为－360°

－30°

　－360°

由题意知k·

（k∈Z），故k·

（k∈Z），按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n（n∈Z）时，n·

＋n·

（n∈Z），∴α在第一象限；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°

（n∈Z），∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

一或三

7．解：

终边在直线y＝－

x上的角的集合

S＝{α|α＝k·

＋120°

，k∈Z}∪{α|α＝k·

＋300°

，k∈Z}＝{α|α＝k·

，k∈Z}，其中适合不等式－180°

的元素α为－60°

8.解：

（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°

（2）终边落在直线OA上的角的集合为

S2＝{α|α＝30°

（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为

S3＝{α|30°

≤α≤60°