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内蒙古赤峰二中学年高一上学期期末考试数学试题
内蒙古赤峰二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
评卷人
得分
一、单选题
1．若集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
是钝角，则
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．已知点（a，2）在幂函数
的图象上，则函数f（x）的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．1B．3C．5D．7
7．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．德国著名的天文学家开普勒说过：
“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为
的等腰三角形（另一种是两底角为
的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，
．根据这些信息，可得sin54°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设集合
，函数
，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．（
，
）
C．
D．（
，1]
11．已知函数
的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．
B．f（x）的图象关于直线
对称
C．f（x）在[－
，－
]上单调递减
D．该图象向右平移
个单位可得
的图象
12．已知函数
，若方程
有8个相异实根，则实数b的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
评卷人
得分
二、填空题
13．已知半径为3的扇形面积为
，则这个扇形的圆心角为________．
14．计算：
______.
15．若函数
是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．
16．已知函数
，若存在
，使得f（
）＝g（
），则实数a的取值范围为___．
评卷人
得分
三、解答题
17．若集合
，
，
.
（1）求
；
（2）若
，求实数
的取值范围.
18．已知
．
（1）化简
；
（2）若
，求
的值．
19．已知函数
．
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（3）如果
，求x的取值范围.
20．已知函数
.
（1）求
的对称中心的坐标；
（2）若
，
，求
的值.
21．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：
元/10kg）与上市时间t（单位：
天）的数据情况如下表：
上市时间（t）
50
110
250
种植成本（Q）
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系并求出函数关系式．
；
；
；
．
（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本．
22．已知函数
．
（1）若
，求实数a的值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
解方程，再求并集.
【详解】
故选：
D.
2．D
【解析】
【分析】
由
求出
，结合不等式性质即可求解.
【详解】
，
，
在第四象限.
故选：
D
3．A
【解析】
【分析】
由幂函数的定义解出a，再把点代入解出b.
【详解】
∵函数
是幂函数，∴
，即
，
∴点（4，2）在幂函数
的图象上，∴
，故
．
故选：
A.
4．A
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】
原式
.
故选：
A
5．D
【解析】
【分析】
根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.
【详解】
将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则函数解析式变为
；
向左平移
个单位得
，
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：
，k∈Z，
k＝1时，
.
故选：
D.
6．C
【解析】
【分析】
先根据偶函数求出a、b的值，得到解析式，代入直接求解.
【详解】
因为偶函数的定义域关于原点对称，则
，解得
.又偶函数不含奇次项，所以
，即
，所以
，所以
.
故选：
C
7．C
【解析】
【分析】
由
结合正切函数的性质即可求解.
【详解】
．
故选：
C.
8．B
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与3比较即可．
【详解】
解：
，
，
，
．
故选：
B．
9．C
【解析】
【分析】
先求出
，再借助倍角公式求出
，通过诱导公式求出sin54°.
【详解】
正五边形的一个内角为
，则
，
，
，所以
．
故选：
C.
10．B
【解析】
【分析】
按照分段函数先求出
，由
和
解出
的取值范围即可.
【详解】
，则
，
∵
，解得
，又
．
故选：
B.
11．C
【解析】
【分析】
先根据图像求出
即可判断A，利用正弦函数的对称轴及单调性即可判断BC，通过平移变换即可判断D.
【详解】
根据函数
的部分图象，可得
所以
，故A正确；
利用五点法作图，可得
，可得
，所以
，令x
，求得
，为最小值，故函数
的图象
关于直线
对称，故B正确：
当
时，
，函数f（x）没有单调性，故C错误；把f（x）的图象向右平移
个单位
可得
的图象，故D正确．
故选：
C.
12．B
【解析】
【分析】
画出
的图象，根据方程
有
个相异的实根列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】
画出函数
的图象如图所示，
由题意知，当
时，
；当
时，
.
令
，则原方程化为
.
∵方程
有8个相异实根，
∴关于t的方程
在
上有两个不等实根.
令
，
，
∴
，解得
.
故选：
B
13．
【解析】
由扇形的面积公式直接求解.
【详解】
由扇形面积公式
，
可得圆心角
，
故答案为：
.
【点睛】
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
14．
【解析】
利用对数的运算性质、指数的运算性质可计算出所求代数式的值.
【详解】
原式
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
按照指数函数的单调性及端点处函数值的大小关系得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】
由题知
．
故答案为：
.
16．
【解析】
【分析】
先求出
的值域，再求出
的值域，利用
和
得到不等式组求解即可.
【详解】
因为
，所以
，故
，即
．
因为
，依题意得
，解得
．
故答案为：
.
17．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）解不等式求出集合
，
再进行交集运算即可求解；
（2）解不等式求集合
，根据并集的结果列不等式即可求解.
【详解】
（1）
，
，
；
（2）
，
或
，
，
.
即实数
的取值范围为
.
18．
（1）
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式及同角关系式化简即得；
（2）根据
可知
，从而求得结果.
（1）
由诱导公式可得：
；
（2）
由于
，有
，得
，
，可得
．
故
的值为
.
19．
（1）
；
（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据真数大于零列不等式，解得结果，
（2）根据奇函数定义判断并证明结果，（3）根据底与1的大小，结合对数函数单调性分类化简不等式，解得结果.
【详解】
（1）由
，得－3＜x＜3，∴函数
的定义域为（－3，3）．
（2）由
（1）知，函数
的定义域关于原点对称，且h（－x）+h（x）=0，
h（－x）=-h（x）∴函数
为奇函数．
（3）当
时，
，
，结合定义域得
当
时，
，
，结合定义域得
【点睛】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立．
20．
（1）
，
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式及降幂公式将函数化为
，再根据正弦函数的对称中心即可得出答案；
（2）由
，求得
，再利用两角差的余弦公式即可得出答案.
【详解】
解：
（1）
由
，
，得
，
，
即
的对称中心的坐标为
，
.
（2）由
（1）知
，令
，
则
，
所以
，
，
则
.
21．
（1）应选择二次函数
；
（2）当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10kg
【解析】
【分析】
（1）根据数据变化情况可得应选择二次函数
，代入数据即可求出解析式；
（2）根据二次函数的性质可求解.
（1）
由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用所给四个函数中任意一个来反映时都应有
，而函数
，
，
均为单调函数，这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数
．
将表中数据代入
，
可得
解得
所以，芦荟种植成本Q与上市时间t之间的关系式为
．
（2）
当
（天）时，
，
即当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10kg．
22．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据
即可求出实数a的值；
（2）令
，根据由
求得
的值，再根据正弦函数的性质分析
的取值情况，结合题意即可得出答案.
（1）
解：
，
∴
，∴
；
（2）
解：
令
，则
，
由
得
，
∵
在[－
，
]上是增函数，在[
，
]上是减函数，
且
，
∴
时，x有两个值；
或
时，x有一个值，
其它情况，x值不存在，
∴
时
函数f（x）只有1个零点
，
时，
，要f（x）有2个零点，
有
，∴
时，
，要f（x）有2个零点，
有
，
综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是
.
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