第五节曲面及其方程Word下载.docx
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J（x_I）」+（y_+（z_3尸=J（x_2尸+（y+1）?
+（乙_4尸
化简得所求方程
2x-6y+2z-7=0
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲而作为点的轨迹时，求曲而方程。
（2）已知坐标间的关系式，研究曲而形状。
定义：
以一条平而曲线绕尖平而上的一条直线族转一周所成的曲面叫做旋转曲而，旋转曲线
和左宜线依次叫旋转曲而的母线和轴。
二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标而上有一已知曲线C,它的方程为
f（y,z）=0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲而，设MJOjmJ为曲线C上
的任一点，那么有
f（yj,zj）=0
（2）
当曲线C绕z轴旋转时，点Mi也绕z轴旋转到列一点M（x,y,z）,这时保持不变，且点M到z轴的距离
“=ylx~+y~=|”|
将zi=z,y,=±
yjx2+y2代入
（2）式，就有螺旋曲面的方程为
/（±
Jx'
+y2,Z）=0
旋转曲而图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完
全平方根的形式。
常用旋转曲面：
锥而（直线绕直线旋转，两直线的夹角&
（0°
<
«
<
90°
））,方程为：
Z2=a2（x2+y2）
其中a=cota
三、柱面
1.定义：
平行于左直线并沿曲线左曲线C移动的宜线厶形成的轨迹叫做柱而。
定曲线C：
准线动直线厶母线
2.特征：
a-,y,z三个变量中若缺其中之一（例如刃则表示母线平行于y轴的柱而。
3：
几个常用的柱面：
b）圆柱面：
x2+y2=R2（母线平行于？
轴）
c）抛物柱面：
）F=2尤（母线平行于z轴）
小结：
曲而方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱而的概念（母线、准线）。
作业：
作业卡P74
第六节空间曲线及其方程
介绍空间曲线的各种表示形式。
第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
1.空间曲线的一般表示形式
2.空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲而联立方程组形式来表示曲线。
F（x,y,Z）=O
G（x,y,z）=O
特点：
曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点的坐标表示为参数/的函数：
X=x（t）
y=W）
z=z（/）
当给茴=A时，就得到曲线上的一个点3」杼），随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
F（x,y,z）=O
G（x,”z）=O
消去英中一个变量（例如z）得到方程
H（x,y）=O（4）
曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱而）上。
此柱而（垂直于xoy平而）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy而上的投影曲线，简称投影，用方程表示为
[H（x,y）=0
Z=0
同理可以求出空间曲线C在其它坐标而上的投影曲线。
在重积分和曲而枳分中，还需要确左立体或曲而在坐标而上的投影，这时要利用投影柱
而和投影曲线。
设一个立体由上半球而Z=j4_/_y2和锥而z=j3（/_y2）所用成，见右图,
求它xoy而上的投影。
半球面与锥而交线为c：
r=v，4~r~v~[z=fyx2+y2）
消去Z并将等式两边平方整理得投影曲线为：
「2,21
x+y=1
即xoy平而上的以原点为圆心、1为半径的圆。
立体在xoy平而上的投影为圆所用成的部分:
x2+y2<
1
x=x（r）>
'
=y（z）z=z（r）
1•空间曲线的一般方程.参数方程：
fF（x,y,z）=O〔G（x,y,z）=O
2.空间曲线在坐标而上的投影
{H（x,y）=0z）=0/T（x,z）=0
[z=o\x=o[y=o
第七节平面及其方程
介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
1.平面方程的求法
2.两平面的夹角
平面的儿种表示及其应用
一、平面的点法式方程
1.平面的法线向屋定义：
垂直于一平而的非零向量叫做平面的法线向量。
（1）
平而内的任一向量均与该平而的法线向量垂直。
2.平面的点法式方程
已知平而上的一点儿,）和它的一个法线向
gW={A,B,C）,对平而上的任一点M（x,y,z）,有向呈
M（）M丄〃,即
代入坐标式有:
A（x-x（））+-儿）+C（z-5）=0
此即平而的点法式方程。
例1：
求过三点（2,-1,4）、AZ?
（—1,3,-2）和（0,2,3）的平而方程。
先找出这平而的法向虽"
，
iJk
w=M,M2xM1M3=-34-6=14i+9j-^
-23-1
由点法式方程得平而方程为
14（x—2）+9（y+l）-（乙一4）=0
14x+9y—z-15=0
二、平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平而的一般方程为：
Ax+By+Cz+D=0
几个平而图形特点：
1）D=0：
通过原点的平而。
2）A=0：
法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平而。
同理：
B=0或C=0：
分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A=B=0：
方程为Cz+D=0,法线向量{0,0,C},方程表示一个平行于my而的
平而。
Ax+D=0和BY+D=0分别表示平行于yoz,ifil和xoz面的平面。
4）反之：
任何的三元一次方程，例如：
5x+6y-7z+ll=0都表示一个平而，该平
面的法向量为n={5,6,-7}
设平而过原点及点（6,-3,2）,且与平面4x-y+2^=8垂直，求此平而方程。
设平而为Ax+By+Cz+D=0t由平面过原点知£
）=0
由平而过点（6-3,2）知6A—33+2C=0,
2
vn±
{4-1,2}/.4A-B+2C=0=>
A=B=一一C
所求平而方程为2x+2y-3z=0三.两平面的夹角
两平面法向量之间的夹角称为两平而的夹角。
设平面口]:
4x+Bj+C]Z+D]=0,口」：
A2x+B2y+C2z+D-,=0
瓦={n2={A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
C0S0=I皿2+角〃2+CGI
Ja：
+B：
+c：
•执2+町+
三、几个常用的结论
设平而1和平而2的法向量依次为®
={A，d，G}和/J={A2,B2,C2）
1）两平面垂直：
^2+8}82+^2=0（法向量垂直）
\BC
2）两平面平行：
丄丄=_L=_L（法向量平行）
A.B.C.
■■■
3）平面外一点到平面的距离公式：
设平而外的一点/（"
，儿亡。
），平而的方程为
Ax+By+Cz+D=09则点到平而的距离为
#_pUo+3yo+Czo+q
（Ja2+b2+c2
例3：
研究以下各组里两平而的位宜关系：
（1）—x+2y—乙+1=0,
（2）2x-y+?
—1=0,-4x+2y—2?
—1=0
（3）2x-y-z+\=0,-4x+2y+2?
-2=0
解:
（l）cos^=iOMxl—lx—=亠
7（-1）2+22+（-1）2->
/l2+32V60
两平而相交，夹角^=arccos-=倆
2-11〃i={2,_l,l},弘={—4,2,—2}弓—=—=—
--42-2
两平面平行•••M（l,l,0）eri]M（1,1,0）倉口2
2-1-1
两平而平行但不重合。
（3）v—=—=—
y+3z-l=0
两平面平行
-422
v^（1,1,0）en,M（l,l,0）e口2所以两平而重合小结:
平而的方程三种常用表示法：
点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平而的夹角以及点到平面的距离公式。
作业卡P75
第八节空间直线及其方程
介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
1.直线方程
2.直线与平面的综合题
1.直线的儿种表达式
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。
故苴一般方程为：
A{x+B{y+C忆+D=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条宜线的方向向量。
已知直线上的一点M（）（Xo，y（），G）和它的一方向向量s={nijup},设直线上任一点为M（x,y,z）,那么刈加与s平行，由平行的坐标表示式有：
tnnp
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）
如设
x-x（）_y一儿_z-G
[
mnp
就可将对称式方程变成参数方程（I为参数）
x=x（）+mt
y=Jo+皿
&
=Zo+/M
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
在直线上任取一点（兀,儿,Zo）,取Xo=1=>
1^137^-6^0解得
儿=0,6=—2,即直线上点坐标（1,0-2）
因所求直线与两平而的法向量都垂宜取5=m;
x/i2={4-1-3）对称式方程为:
x=1+4/
参数方程：
\y=-t例2—直线过点人（2,-3,4）,且和y轴垂直
z=—2—3/
相交，求其方程解：
因为直线和y轴垂直相交，所以交点为〃（0,-3,0）s=BA={2Q4},
所求直线方程：
—=—两直线的夹角
204
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线L,和L2的方向向量依次为S|={叫,和S2={加2，勺，卩2}，两直线的夹
角可以按两向量夹角公式来计算
”丫心+n}n.+
COS（P=：
、Jr—]r1、
+Fl：
+p；
•yjm；
+n；
两直线厶和厶2垂直：
m\m2+,l\n2+P\P1=0（充分必要条件）
求过点（一3,2,5）且与两平而x-4z=3和2x—y—5z=1的交线平行的直线方程
设所求直线的方向向量为s={m.n,p},根据题意知直线的方向向量与两个平而的法向
x+3v—27—5
量都垂直，所以可以取/=w；
X心=（-4-3-1）所求直线的方程—=—=—
3.直线与平面的夹角
当直线与平而不垂直时，直线与它在平而上的投影直线的夹角（p（Q＜（p＜壬）称为直线与平面的夹角，当直线与平而垂直时，规泄直线与平面的夹角为兰。
设直线厶的方向向虽为$={〃?
/,〃},平而的法线向量为〃={A,5C},直线与平面
的夹角为0,那么
\Am+Bn+Cp\
sin（p=「i
^A2+B2+C2+n2+p2
arc
直线与平面垂直:
sun相当于--（充分必要条件）
直线与平面平行：
$丄〃相当于Am+Bn+Cp=O（充分必要条件）
平面束方程：
X-}-V—7—1=0
过平面直线£
•的平面束方程为
x-y+2+1=0
（A】x+y+C]z+D]）+A（A2x+B2y+C2z+D2）=0
四、杂例：
求与两平而x-4z=3和2x-y—5z=l的交线平行且过点（一3,2,5）的直线方程。
解：
由于直线的方向向量与两平而的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s—泄与两平面的法线向量垂直，所以
1Jk
s=10-4=-（4i+3j+Ar）
2-1-5
因此，所求直线的方程为
x+3y-2z-5
3F
求过点（2」，3）且与直线菁I=”二吕垂直相交的直线方程
先作一平面过点（2,1,3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的
法线向呈：
），这平而的方程为
3（x—2）+2（y—l）—（z—3）=0
再求已知直线与这平面的交点。
将已知直线改成参数方程形式为
x=・1+3f）=1+2/z=-t
32133
并代入上而的平而方程中去，求得/=-,从而求得交点为
7777
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向疑s即为所求直线的方向向量
$={2一彳,1一罗,3+刖=号{2,一1,4}
故所求直线方程为
x-2_y-\_z-3~2=4
X4*V—Z—1=0
求直线{’在平而x+y+z=0上的投影直线的方程
x—y+Z+1=0
应用平而束的方法
x+v—Z—1=0
设过直线彳’的平而束方程为
x-y+Z+l=0
（x+y—z-1）+A（x一y+z+1）=0
即（l+2）x+（l-A）y+（-l+2）^+2-1=0
这平而与已知平而X+y+z=0垂直的条件是
（1+2）1+（1-2）1+（-1+2）1=0
解之得2=-1
代入平而朿方程中得投影平而方程为
y~z~1=0
所以投影直线为
y_z_1=0
x+y+z=0
本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位這关系），直线与平而的夹角（注总直线与平而的位宜关系）。
作业卡P76
第九节：
二次曲面
介绍儿个常见的二次曲面及描绘二次曲面的截痕法，为下学期的重积分及线面积分做准备。
截痕法
一、二次曲面
三元二次方程表示的曲而叫做二次曲面二、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
3.几种特殊的二次曲面
1.椭球面
方程为
是椭圆。
再看这曲而与平行于坐标而的平面的交线：
椭球而与
・+=1
ci.1•＞、b=•＞、
「r（C■一石）—（C~一Z［）
CC
（IZ|l<
C）,同理与平面x=小和y=”的交线也是椭圆。
椭圆截面的大小随平而位置的变
化而变化。
可知其形状如右上图所示。
抛物面
例：
椭圆抛物而方程为
22
——+—=Z（卩'
jq同号）
2p2q
其形状如右图所示。
旋转抛物而方程为
工+b
:
2〃2p
当p>
0,q>
0时，其形状如图所示。
2.双曲面
单叶双曲而方程为
双叶双曲而方程为
通过本佛勺学习，学生能够知道方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形,是下册重积分、线而积分的基础。
作业卡P77
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