新课标最新人教版九年级数学上学期《二次函数的图像与性质》同步测试题及解析精品试题.docx

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新课标最新人教版九年级数学上学期《二次函数的图像与性质》同步测试题及解析精品试题

《22.1.2二次函数的图象和性质》

（1）

一、选择题

1．抛物线y=﹣2（x﹣1）2+

的顶点坐标为（　　）

A．（﹣1，

）B．（1，

）C．（﹣1，﹣

）D．（1，﹣

）

2．关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）

A．顶点坐标为（﹣3，2）B．对称轴为直线y=3

C．当x≥3时，y随x增大而增大D．当x≥3时，y随x增大而减小

3．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）

A．y=（x+2）2+3B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x+2）2﹣3D．y=（x﹣2）2﹣3

4．抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2可由抛物线y=﹣2x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）

A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

5．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移

个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x+1）2﹣1B．y=（x+1）2+1C．y=（x﹣1）2+1D．y=（x﹣1）2﹣1

6．设A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）是抛物线y=﹣

上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1

7．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）

A．m=lB．m＞lC．m≥lD．m≤l

8．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

二、填空题：

9．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣1的对称轴是______，顶点坐标是______；当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小，当x______时，y取最______值为______．

10．抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，则有h，k满足h______0，k______0．

11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1______y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

12．抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量的x增大而减小，那么x的取值范围为______．

13．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______．

14．将抛物线y=﹣x2先沿x轴方向向______移动______个单位，再沿y轴方向向______移动______个单位，所得到的抛物线解析式是y=﹣（x﹣3）2+1．

15．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是______．

16．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；

将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．

17．抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点为（3，﹣2），且与抛物线y=﹣

的形状相同，则a=______，h=______，k=______．

18．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=

（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；

②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4

④2AB=3AC．

其中正确结论是______．

三、解答题：

19．若二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，5），且经过点（1，2），求出二次函数的解析式．

20．若抛物线经过点（1，1），并且当x=2时，y有最大值3，则求出抛物线的解析式．

21．已知：

抛物线y=

（x﹣1）2﹣3．

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y有最大值还是最小值？

并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．

22．在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况；

（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点．

23．如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）

（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=

S△MAB？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

《22.1.2二次函数的图象和性质》

（1）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．抛物线y=﹣2（x﹣1）2+

的顶点坐标为（　　）

A．（﹣1，

）B．（1，

）C．（﹣1，﹣

）D．（1，﹣

）

【解答】解：

抛物线y=﹣2（x﹣1）2+

的顶点坐标为（1，

），

故选：

B．

2．关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）

A．顶点坐标为（﹣3，2）B．对称轴为直线y=3

C．当x≥3时，y随x增大而增大D．当x≥3时，y随x增大而减小

【解答】解：

顶点坐标为（3，2），故A选项错误；

对称轴为x=3，故选项B错误；

因为二次项系数为2＞0，故函数图象开口向上对称轴为x=3，

故当x≥3时，y随x增大而增大，故C选项正确；D选项错误，

故选C．

3．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）

A．y=（x+2）2+3B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x+2）2﹣3D．y=（x﹣2）2﹣3

【解答】解：

将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y=（x﹣2）2+3，

故选：

B．

4．抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2可由抛物线y=﹣2x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）

A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

【解答】解：

抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因为点（0，0）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点（﹣1，﹣2），所以把抛物线y=﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2．

故选D．

5．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移

个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x+1）2﹣1B．y=（x+1）2+1C．y=（x﹣1）2+1D．y=（x﹣1）2﹣1

【解答】解：

∵A在直线y=x上，

∴设A（m，m），

∵OA=

，

∴m2+m2=（

）2，

解得：

m=±1（m=﹣1舍去），

m=1，

∴A（1，1），

∴抛物线解析式为：

y=（x﹣1）2+1，

故选：

C．

6．设A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）是抛物线y=﹣

上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1

【解答】解：

∵此函数的对称轴为x=

，且开口向下，

∴x＞

时，是减函数，

∵A（﹣1，y1）对应A′（2，y1），

∴y3＜y1＜y2，

故选：

C．

7．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）

A．m=lB．m＞lC．m≥lD．m≤l

【解答】解：

二次函数y=（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x=﹣m，

∵当x≤l时，y随x的增大而减小，

∴m≥1，

故选C．

8．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

【解答】解：

∵抛物线的顶点在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，

故选C．

二、填空题：

9．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣1的对称轴是　直线x=﹣3　，顶点坐标是　（﹣3，﹣1）　；当x　＜﹣3　时，y随x的增大而增大，当x　＞﹣3　时，y随x的增大而减小，当x　=﹣3　时，y取最　大　值为　﹣1　．

【解答】解：

抛物线y=﹣2（x+3）2﹣1的对称轴是直线x=﹣3，顶点坐标是（﹣3，﹣1）；当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，当x=﹣3时，y取最大值为﹣1．

故答案为：

直线x=﹣3，（﹣3，﹣1），＜﹣3，＞﹣3，=﹣3，大，﹣1．

10．抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，则有h，k满足h　＞　0，k　＜　0．

【解答】解：

∵抛物线y=4（x+h）2+k的顶点坐标为（﹣h，k），

∴﹣h＜0，k＜0，

∴h＞0，k＜0．

故答案为：

＞，＜．

11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

【解答】解：

∵a=1＞0，

∴二次函数的图象开口向上，

由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，

∵x1＞x2＞1，

∴两点均在对称轴的右侧，

∵此函数图象开口向上，

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∵x1＞x2＞1，

∴y1＞y2．

故答案为：

＞．

12．抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量的x增大而减小，那么x的取值范围为　x＞2　．

【解答】解：

∵抛物线的顶点坐标为P（2，3），且开口向下，若函数值y随自变量的x增大而减小，

∴x＞2．

故答案为：

x＞2．

13．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为　18　．

【解答】解：

∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，

∴AB=2×3=6，

∴等边△ABC的周长=3×6=18．

故答案为：

18．

14．将抛物线y=﹣x2先沿x轴方向向　右　移动　3　个单位，再沿y轴方向向　上　移动　1　个单位，所得到的抛物线解析式是y=﹣（x﹣3）2+1．

【解答】解：

抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1），因为点（0，0）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点（3，1），所以把抛物线y=﹣x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位可得抛物线y=﹣（x﹣3）2+1．

故答案为右，3；上，1．

15．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是　y=（x+2）2﹣2　．

【解答】解：

抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），

向左平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣2．

故答案为：

y=（x+2）2﹣2．

16．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为　y=2（x+1）2+1　；

将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为　y=2（x﹣1）2﹣1　．

【解答】解：

抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x+1）2+1；

抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2﹣1．

故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．

17．抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点为（3，﹣2），且与抛物线y=﹣

的形状相同，则a=　﹣

　，h=　3　，k=　﹣2　．

【解答】解：

∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点为（3，﹣2），且与抛物线y=﹣

的形状相同，

∴a=﹣

，h=3，k=﹣2．

故答案为：

﹣

，3，﹣2．

18．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=

（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；

②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4

④2AB=3AC．

其中正确结论是　①④　．

【解答】解：

①∵抛物线y2=

（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，

∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；

②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=

，故本小题错误；

③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=

（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=

（0+2）2﹣3=﹣

，y2=

（0﹣3）2+1=

，故y2﹣y1=

+

=

，故本小题错误；

④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=

（x﹣3）2+1交于点A（1，3），

∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，

∴B（﹣5，3），C（5，3）

∴AB=6，AC=4，

∴2AB=3AC，故本小题正确．

故答案为：

①④．

三、解答题：

19．若二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，5），且经过点（1，2），求出二次函数的解析式．

【解答】解：

∵二次函数的图象顶点为（﹣1，5）

∴设二次函数的解析式为y=a（x+1）2+5

又∵图象过点（1，2）

∴a（1+1）2+5=2解得a=﹣

∴

．

20．若抛物线经过点（1，1），并且当x=2时，y有最大值3，则求出抛物线的解析式．

【解答】解：

∵x=2时函数y取得最大值3，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，

又∵抛物线经过点（1，1），

∴a（1﹣2）2+3=1，解得a=﹣2，

∴y=﹣2（x﹣2）2+3

21．已知：

抛物线y=

（x﹣1）2﹣3．

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y有最大值还是最小值？

并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．

【解答】解：

（1）抛物线y=

（x﹣1）2﹣3，

∵a=

＞0，

∴抛物线的开口向上，

对称轴为直线x=1；

（2）∵a=

＞0，

∴函数y有最小值，最小值为﹣3；

（3）令x=0，则y=

（0﹣1）2﹣3=﹣

，

所以，点P的坐标为（0，﹣

），

令y=0，则

（x﹣1）2﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

所以，点Q的坐标为（﹣1，0）或（3，0），

当点P（0，﹣

），Q（﹣1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），

则

，

解得

，

所以直线PQ的解析式为y=﹣

x﹣

，

当P（0，﹣

），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，

则

，

解得

，

所以，直线PQ的解析式为y=

x﹣

，

综上所述，直线PQ的解析式为y=﹣

x﹣

或y=

x﹣

．

22．在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况；

（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点．

【解答】解：

（1）∵二次函数的图象顶点为A（1，﹣4），

∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

又∵二次函数图象过点B（3，0）∴a（3﹣1）2﹣4=0解得a=1，

∴y=（x﹣1）2﹣4

（2）∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，

∴当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x＜3，y随x的增大而增大，

（3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点．

23．如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）

（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=

S△MAB？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）

∴

令y=0得（x﹣1）2﹣4=0解得x1=3，x2=﹣1

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=

S△MAB，

∴

，即yP=±5

又∵点P在y=（x﹣1）2﹣4的图象上∴yP≥﹣4

∴

∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．