数学建模计算实验chenWord文档下载推荐.docx

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）;

k=lsqcurvefit（fun,[20,140],v,s）

Optimizationterminated:

relativefunctionvalue

changingbylessthanOPTIONS.TolFun.

k=

0.65220.0853

于是s=0.6522v+0.0853v^2;

模型应用：

因为在实际中k2=1/2a则a=5.86166v=at1，其中t1为刹车时间，又k1为反应时间，即最终时间：

t=k1+t1。

v=[20406080100120140]/3.6;

a=5.86166;

t0=0.6522;

s=0.6522.*v+0.0853.*v.^2

s=

6.256017.777534.564456.616883.9346116.5178154.3664

t=t0+v./a

t=

1.60002.54783.49554.44335.39116.33897.2866

根据车速的不同刹车时间t如下表：

6.2560

17.7775

34.5644

56.6168

83.9346

116.5178

154.3664

刹车时间（秒）

1.6000

2.5478

3.4955

4.4433

5.3911

6.3389

7.2866

后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出：

0—10

10-60

60—100

100-140

t（秒）

1

2

4

6

则根据车速的快慢，随着车速越快的时候，刹车时间越久所以2秒准则是不合理的。

实例2：

根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

表1美国人口统计数据

年份

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

人口（×

106）

3.9

5.3

7.2

9.6

12.9

17.1

23.2

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

31.4

38.6

50.2

62.9

76.0

92.0

106.5

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

123.2

131.7

150.7

179.3

204.0

226.5

251.4

问题分析最简单的人口增长模型：

记今年人口为x

，k年以后人口为x

，年增长率为r，则x

=x

（1+r）

——

（1）其中年增长率

保持不变.

模型建立

模型一：

记时刻t的人口为x（t），当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x（t）是一个很大的整数，我们将x（t）视为连续、可微的函数，记t=0初始时刻的人口为x

，假设人口年增长率

为常数.考虑t到t+

t时间内人口的增量，显然，有x（t+

t）-x（t）=rx（t）

t

令

t→0，得到x（t）满足微分方dx/dt=rx,x（0）=

x

（2）,由方程

（2）解得x（t）=x

e

——（3）

当r>

0时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.

模型求解用matlab进行数据拟合，程序有：

假设美国人口增长率是一个常数则可用指数增长模型来对该题求解y=a

（1）*exp（a

（2）*t），其中a

（1）为初始人口，a

（2）为人口增长常数，t为从1790年开始增长的10的倍数。

建立f1.m函数文件：

functionx=f1（a,t）

x=a

（1）*exp（a

（2）*t）;

在Matlab中输入有：

t=1:

20;

x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];

a

（1）*exp（a

（2）*t）'

a'

t'

a=lsqcurvefit（fun,[0,1],t,x）

Warning:

Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.

Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.855975e-017.

a=

10.88490.1545

t1=23;

x1=f1（a,t1）

x1=

380.0098

则其结果为：

y=10.8849*e

，将t=23代入（3）由以上结果预测2010年的人口为380.0098

模型二：

当人口增长到一定数量后，由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，人口增长率就会下降，且随着人口的增加，阻滞作用越来越大.。

所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用于体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r（x）,则它应是减函数。

于是方程dx/dt=r（x）x，x（0）=

。

对r（x）的一个最简单的假定是，设r（x）为x的线性函数，即r（x）=r-sx（r>

0,s>

0）。

这里r称固有增长，表示人口很少时（理论上是x=0）的增长。

为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x

，称人口容量。

当x=x

时人口不再增长，即增长率r（x

）=0，代入r（x）=r-sx（r>

0）得s=r/x

，于是r（x）=r（1-x/x

），这个式子的另一个解释是，增长率r（x）与人口尚未实现部分的比例（x

-x）/x

成正比，比例系数为固有增长率r。

故，有dx/dt=rx（1-x/x

）,x（0）=x

（3）方程右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子（1-x/x

）则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。

用分离变量法求解得到：

x（t）=x

/（1+（x

/x

-1）e

）

模型求解

建立f2.m文件：

functionx=f2（a,t1）

x=a

（1）./（1+（a

（1）./3.9-1）.*exp（-a

（2）.*（t1-1790）./10））;

用matlab进行数据拟合，程序有：

x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];

t1=1790:

10:

1990;

a=lsqcurvefit（@f2,[100,0.5],t1,x）

311.95190.2798

f2（a,2010）

ans=

267.1941

x（t）=311.9523/（1+（311.9523/3.9-1）e

）—（4）

将t=2010代入（4）由以上结果预测2000年的人口为x（2010）=267.1941.

拟合效果图程序如下：

t=0:

1:

p=polyfit（t,x,2）;

ti=1:

0.01:

xi=polyval（p,ti）;

subplot（1,2,1）

plot（t,x,'

*r'

ti,xi,'

g'

）

title（'

x对t的拟合图'

p=polyfit（t1,x,2）;

t1i=1790:

xi=polyval（p,t1i）;

subplot（1,2,2）

plot（t1,x,'

ob'

t1i,xi,'

x对t1的拟合图'

实例3、（录像机计数器的用途）计时器读数n与录像带转过的时间t之间的关系为

利用下表的数据确定两个参数a、b的值。

t（分）

10

30

50

70

90

n

0000

0617

1141

1601

2019

2403

2760

3096

3413

3715

110

130

150

160

170

184

4004

4280

4545

4803

5051

5291

5525

5752

6061

由题意已知，用最小二乘法求解，则程序有：

t=[0102030405060708090100110120130140150160170184];

n=[0000061711411601201924032760309634133715400442804545480350515291552557526061];

a

（1）*n.^2+a

（2）*n'

n'

a=lsqcurvefit（fun,[0617,6061],n,t）

first-orderoptimalitylessthanOPTIONS.TolFun,

andnonegative/zerocurvaturedetectedintrustregionmodel.

0.00000.0145

即：

a=0.0000,b=0.0145.

实验二：

用Lindo求解线性规划问题

掌握用Lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lindo结果报告。

实例1.一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多的影响顾客。

下表是公司进行市场调研的结果：

电视

网络媒体

杂志

白天

最佳时段

每次做广告费用（千元）

45

86

25

12

受每次广告影响的顾客数

350

880

430

180

受每次广告影响的女顾客数（千人）

260

450

这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：

（1）受广告影响的女性超过200万；

（2）电视广告的费用不超过450（千元）；

（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；

（4）通过网络媒体、杂志做出的广告要重复5到8次。

首先假设用电视做广告白天播出次数、最佳时间播出次数、网络媒体重复广告次数、杂志重复广告的次数分别为x1，x2，x3,x4。

建立模型如下：

MaxZ=350x1+880x2+430x3+180x4%受广告影响的顾客人数

s.t.

45x1+86x2+25x3+12x4≤750%广告费用限制

260x1+450x2+160x3+100x4≥2000%受广告影响的妇女的人数限制

45x1+86x2≤450%电视广告费用限制

x1≥4，x2≥2，5≤x3,x4≤8%其他限制

在Lindo中输入程序并进行分析有程序如下：

Max350x1+880x2+430x3+180x4

s.t.

45x1+86x2+25x3+12x4<

750

45x1+86x2<

260x1+450x2+160x3+100x4>

2000

x3>

5

x4>

x3<

8

x4<

x1>

x2>

end

gin4

结果如下：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP12

OBJECTIVEVALUE=9042.79102

NEWINTEGERSOLUTIONOF8920.00000ATBRANCH1PIVOT17

BOUNDONOPTIMUM:

8920.000

ENUMERATIONCOMPLETE.BRANCHES=1PIVOTS=17

LASTINTEGERSOLUTIONISTHEBESTFOUND

RE-INSTALLINGBESTSOLUTION...

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）8920.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X14.000000-350.000000

X23.000000-880.000000

X38.000000-430.000000

X48.000000-180.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）16.0000000.000000

3）12.0000000.000000

4）2470.0000000.000000

5）3.0000000.000000

6）3.0000000.000000

7）0.0000000.000000

8）0.0000000.000000

9）0.0000000.000000

10）1.0000000.000000

NO.ITERATIONS=17

BRANCHES=1DETERM.=1.000E0

即这家广告公司在电视白天、最佳时段，网络媒体、杂志的广告次数分别为4,3,8,8受广告影响人数最多为8920千人.

求解书本上P130的习题1。

列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。

投资规划问题题目：

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有一下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

证券名称

证券种类

信用等级

到期年限

到期税前收益（%）

A

市政

9

4.3

B

代办机构

15

5.4

C

政府

5.0

D

3

4.4

E

4.5

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？

若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

设投资证券A,B,C,D的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5（百万元），按照规定限制1000万元的资金约束，则线性规划模型为：

%最后收益

%政府及代办机构的证券购进总额限制

%总金额限制

%平均信用等级限制

%平均到期年限限制

在Lindo中输入并要求做灵敏性分析有：

Max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5

x2+x3+x4>

x1+x2+x3+x4+x5<

6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<

4x1+10x2-x3-2x4-3x5<

x5>

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0

1）0.2983637

X12.1818180.000000

X20.0000000.030182

X37.3636360.000000

X40.0000000.000636

X50.4545450.000000

2）3.3636360.000000

3）0.0000000.029836

4）0.0000000.000618

5）0.0000000.002364

6）2.1818180.000000

8）7.3636360.000000

10）0.4545450.000000

NO.ITERATIONS=0

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE

COEFINCREASEDECREASE

X10.0430000.0035000.013000

X20.0270000.030182INFINITY

X30.0250000.0173330.000560

X40.0220000.000636INFINITY

X50.0450000.0520000.014000

RIGHTHANDSIDERANGES

ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

24.0000003.363636INFINITY

310.000000INFINITY4.567901

40.000000105.71428720.000000

50.00000010.00000012.000000

60.0000002.181818INFINITY

70.0000000.000000INFINITY

80.0000007.363636INFINITY

90.0000000.000000INFINITY

100.0000000.454545INFINITY

则

（1）证券A,C,E分别投资2.082，7.364，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元

（2）由OBJECTIVEFUNCTIONVALUE的DUALPRICES中的第二行结果知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元，大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息0.0275百万元，所以应借贷，投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：

证劵A、C、E分别投资2.40百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

（3）由OBJCOEFFICIENTRANGES的ALLOWABLEINCREASE中的x1，ALLOWABLEDECREASE的x3行的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加（0.043000+0.003500）=0.0465即4.65%>

4.5%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；

证券C的税前收益可减（0.025000-0.000560）*2=0.04888，即4.888%（注意按50%的税率纳税），故证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

实验三：

用Lingo求解非线性规划问题

掌握用Lingo求解非线性规划问题的方法。

求解书本上P132的习题6、7。

列出非线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。

P132第6题题目：

某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记作甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品A、B，按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。

已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别不能超过3,1,2,1（%）,销售价格分别为6,16,10,15（千元/吨），产品A、B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），销售价格分别为9,10。

根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；

产品A、B的市场需求量分别为100吨、200吨.问应如何安排生产？

设y1,z1分别是产品A中是来混合池和原料丙的吨数，y2,z2分别是产品B中是来混合池和原料丙的吨数.混