高等代数(绪论).ppt

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高等代数高等代数喀什大学数学与统计学院喀什大学数学与统计学院汪仲文汪仲文汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届喀什师范学院首届喀什师范学院首届喀什师范学院首届“教学名师教学名师教学名师教学名师”。

任课教师任课教师本科，本科，本科，本科，19941994年毕业于喀什师范学院数学系年毕业于喀什师范学院数学系年毕业于喀什师范学院数学系年毕业于喀什师范学院数学系硕士，硕士，硕士，硕士，20062006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院年毕业于新疆大学数学与系统科学学院年毕业于新疆大学数学与系统科学学院年毕业于新疆大学数学与系统科学学院博士，博士，博士，博士，20102010年毕业于南开大学数学科学学院年毕业于南开大学数学科学学院年毕业于南开大学数学科学学院年毕业于南开大学数学科学学院办公地点：

办公地点：

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33号楼号楼号楼号楼210210室室室室办公电话：

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28910052891005电子信箱：

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辅导答疑：

星期五（双周辅导答疑：

星期五（双周辅导答疑：

星期五（双周辅导答疑：

星期五（双周5,65,6）二、代数发展简史二、代数发展简史二、代数发展简史二、代数发展简史三、高等代数的基本内容三、高等代数的基本内容三、高等代数的基本内容三、高等代数的基本内容和特点和特点和特点和特点四、高等代数与其他学科的关系四、高等代数与其他学科的关系四、高等代数与其他学科的关系四、高等代数与其他学科的关系一、课程简介一、课程简介一、课程简介一、课程简介绪绪论论五、五、五、五、学习方法与要求学习方法与要求学习方法与要求学习方法与要求六、六、六、六、课程课程课程课程资源资源资源资源1.1.高等代数是数学系各专业的一门重要必修课，高等代数是数学系各专业的一门重要必修课，高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程以及有关选修课程的基础。

以及有关选修课程的基础。

一、课程简介一、课程简介代数学、几何学、分析数学代数学、几何学、分析数学是数学的三大是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。

本上都是围绕着这三大学科进行的。

大学数学系的主要基础课：

大学数学系的主要基础课：

泛函分析、近世代数、一般拓扑学泛函分析、近世代数、一般拓扑学（新三基）（新三基）数学分析、高等代数、解析几何（老三基）数学分析、高等代数、解析几何（老三基）大学数学系大学数学系的主要基础课的主要基础课数学分析数学分析泛函分析泛函分析高等代数高等代数近世代数近世代数解析几何解析几何一般拓扑学一般拓扑学数学大厦的基石数学大厦的基石-集合代数结构序结构拓扑结构公理化方法康托儿（1845-1918）出生于俄国的德国数学家.创立了现代集合论,作为实数理论和微积分理论体系的基础,以至于成为整个现代数学的基础.但其成果当时得不到认可,并受到众多数学家的攻击,患忧郁症,最后发疯,在德国哈勒大学附属医院去世.大卫.希尔波特:

（1862-1943）出生于德国的数学家,是二十世纪的数学大师.19世纪80年代,数学家创立了集合论并将整个数学建立在此基础上,但集合悖论的出现引起数学危机,他于1925年提出公理化的思想方法,解决了这一危机,开创了现代数学.代数结构代数结构:

集合上研究代数运算集合上研究代数运算-如如:

集合集合RR上上的加的加,减减,乘乘,除运算除运算高等代数高等代数,近世代近世代数等数等;序结构序结构:

集合上的顺序关系集合上的顺序关系,-,-如如:

数的大小数的大小,个子的高矮等个子的高矮等序代数序代数,格论等格论等;拓扑结构拓扑结构:

集合上连续性等集合上连续性等-如如:

曲线与直线的曲线与直线的关系关系数学分析数学分析,点集拓扑点集拓扑,代数拓扑等代数拓扑等三大结构的相互重叠三大结构的相互重叠,组合构成各个不同的组合构成各个不同的数学分支数学分支,构成现代数学这座高楼大厦构成现代数学这座高楼大厦.数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100100多个多个主要分支学科的庞大的主要分支学科的庞大的“共和国共和国”。

大体说来，数学中研究大体说来，数学中研究数数的部分属于的部分属于代数学代数学的范畴；的范畴；研究研究形形的部分，属于的部分，属于几何学几何学的范畴；沟通的范畴；沟通形与数且涉形与数且涉及极限运算及极限运算的部分，属于的部分，属于分析学分析学的范围。

的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

科。

2.2.设置本课程的目的：

设置本课程的目的：

开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的概概念，理论念，理论和和方法方法，同时还对学生进行的，同时还对学生进行的“三个基本三个基本”训练和训练和“一个初步一个初步”训练，即：

训练，即：

代数学基本思想代数学基本思想的训的训练、练、代数学基本方法代数学基本方法的训练、的训练、代数学基本计算代数学基本计算的训练的训练以及以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步的初步训练。

训练。

学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的学习，研究和应用具有重要的作用。

学习，研究和应用具有重要的作用。

“代数代数”一词最初来源于公元一词最初来源于公元99世纪阿拉伯数学家、世纪阿拉伯数学家、天文学家天文学家阿尔阿尔花拉子米花拉子米（约（约780780850850，唐朝），唐朝）一本著一本著作的名称，书名的阿拉伯文是作的名称，书名的阿拉伯文是“ilmal-jabrwailmal-jabrwallmuquabalahmuquabalah”，直译，直译为为还原与对消的科学还原与对消的科学al-al-jabrjabr意为意为“还原还原”或或“移项移项”，这里指把负项移到方程，这里指把负项移到方程另一端另一端“还原还原”为正项；为正项；muquabalahmuquabalah意即意即“对消对消”或或“化化简简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项在，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项在翻译中把翻译中把“al-jabral-jabr”译为拉丁文译为拉丁文“aljebraaljebra”，拉丁文，拉丁文“aljebraaljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作一词后来被许多国家采用，英文译作“algebraalgebra”。

阿尔阿尔花拉子米的花拉子米的代数学代数学也可以看成是也可以看成是“方程的科学方程的科学”。

二、代数发展简史二、代数发展简史18591859年，我国数学家李善兰（年，我国数学家李善兰（1811181118821882）首次）首次把把“algebraalgebra”译成译成“代数代数”。

后来清代学者。

后来清代学者华蘅芳华蘅芳和英国和英国人人傅兰雅傅兰雅合译英国合译英国瓦里斯瓦里斯的代数学，卷首有的代数学，卷首有“代代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：

，亦即：

代数，就是代数，就是运用文字符号来代替数字运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图（古希腊数学家丢番图（Diophantus:

Diophantus:

约公元约公元246-246-330330年年,）用文字缩写来表示未知量，）用文字缩写来表示未知量，在三世纪中叶在三世纪中叶丢丢番图写了一本数学巨著算术。

其中他引入了未知番图写了一本数学巨著算术。

其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。

故有想。

故有“代数学之父代数学之父”的称号。

的称号。

代数代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。

印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。

发展至今，它包含发展至今，它包含算术算术、初等代数初等代数、高等代数高等代数、数论数论、抽象代数抽象代数五个部分五个部分。

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的进而讨论二元及三元的一次方程组一次方程组，另一方面研究二另一方面研究二次以上及可以转化为二次的次以上及可以转化为二次的高次方程高次方程。

沿着这两个方。

沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组组（线性线性方程组方程组）的同时，还研究次数更高的一元方）的同时，还研究次数更高的一元方程程。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

次数增加，一元次数增加，一元nn次方程，多项式代数次方程，多项式代数元数增加，元数增加，nn元一次方程组，线性代数元一次方程组，线性代数人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。

程的求解方法。

关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通王孝通所编所编的的缉古算经缉古算经就有叙述。

到了十三世纪，宋代数就有叙述。

到了十三世纪，宋代数学家学家秦九韶秦九韶在在他所著的他所著的数书九章数书九章这部书的这部书的“正负正负开方术开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般解法。

解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式Cardan公式。

公式。

在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从1496到到1526年在意大利的波伦亚（年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教）大学当教授的授的ScipionedelFerro.他发现的精确年代并不知道，他发现的精确年代并不知道，但是我们知道在但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里年前不久，意大利数学家塔塔里亚亚（NiccoloTartaglia）或许已知道有或许已知道有delFerro的解但又的解但又独自地发现了它。

独自地发现了它。

后来被米兰地区的数学家后来被米兰地区的数学家卡尔达诺卡尔达诺（GerolamoCardano15011576）骗到了这个三次方程的解的公骗到了这个三次方程的解的公式，在式，在大术大术（ArsMagna）（1545）中公开发表，就是中公开发表，就是通常所说的解三次方程的通常所说的解三次方程的“Cardan公式公式”。

塔塔里亚发现的塔塔里亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如y3+py+q=0的三次方程。

的三次方程。

假设方程的解假设方程的解y可以写成可以写成y=a+b的形式，这里的形式，这里a和和b是待定的参数。

是待定的参数。

代入方程，我们就有代入方程，我们就有