正比例和反比例教案Word文档下载推荐.docx
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填表
时间变化,路程也随着变化，我们就说时间和路程是两个相关联的量。
根据计算，你发现了什么?
相对应的两个数的比的比值一样或固定不变,在数学上叫做一定。
用式子表示他们的关系是:
路程/时间=速度（一定）
（2）小结：
同学们通过填表，交流,知道时间和路程是.两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化.时间扩大,路程随着扩大;
时间缩小，路程也随着缩小。
即：
路程/时间=速度（一定）
2、例2：
（1
（2）观察图表,发现规律
用式子表示它们的关系：
总价/米数=单价（一定）
3、正比例的意义
（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系怎样用字母表示出来？
x/y=k（一定）
PS:
三个要素：
第一、两种相关联的量；
第二、其中一个量增加，另一个量也增加；
一个量减少，另一个量也减少。
第三、两个量的比值一定。
相对应的点一定在这条直线上。
（作图）
练习
一、观下图表，回答问题：
（）和（）是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化的，（时间和米数是（）的量。
作图：
二、判断下面各题中的两种量是不是成正比例关系，并说理。
1、白糖单价一定，白糖数量和总价；
2、稻谷的出米率一定，碾成大米重量和稻谷重量；
3、一个人的身长和体重；
4、长方形的长一定，宽和面积；
5、长方形的面积一定，长和宽。
三、练习：
1、请举出成正比例关系的量。
⑴、圆周长与圆半径；
⑵、圆面积与圆半径；
⑶、正方形的周长与边长。
2、说一说成正比例关系的量的变化特征。
）一定，
正比例和反比例的意义
二、成反比例的量
成反比例的量：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积（一定），
反比例关系的式子可以表示为X?
Y=K（一定）
2．生活中还有哪些成反比例的量？
举例
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
反比例关系也可以用图像来表示。
表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来是一条曲线。
图像特征不要求掌握。
4．小结。
说一说成反比例关系的量的变化特征。
例1、（反比例的意义）下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种
分析与解：
（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；
从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20X12=240，30X8=240，40X6=240?
而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算，我们发现：
每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：
每小时加工零件的个数X加工的时间=零件的总个数（一定）。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
点评：
判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；
二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；
满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=K（一定）。
例2、（判断是否成反比例）总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？
为什么？
根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量X公顷数=总产量（一定）所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例3、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。
像这样的还有：
人的跳高高度和身高；
减数一定，被减数和差等。
例4、（综合题1）
（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？
（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？
判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
（1）因为长方形的长X宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。
（2）长方形的周长=（长+宽）X2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。
例5、（综合题2）分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
（1）因为每天吃的千克数X天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
（2）因为大米的总千克数=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天
天数
数成正比例。
（3）因为大米的总千克数=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正
每天吃的千克数
比例。
练习：
1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？
有什么关系？
表格1
表格2
表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。
如果要装订500本，每本有X页。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；
当高一定时，（）与（）成（）比例；
当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成反比例；
6、当aXb＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。
（）一定，（）与（）成（）比例；
正比例和反比例的意义⑤⑥
1根据你的经验，判断下面各题中的两个量是否成正比例，是的打“√”，不是的打“X”。
（1）汽车行驶的路程和时间。
（）
（2）人的年龄和身高。
（）1
（3）x与y的比值是x与y。
（）（4）被除数一定，除数和商。
（）
5（5）做一项工程，工作效率与完成的时间。
2根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。
（1）总价＝单价X数量。
（2）长方形面积＝底X高。
（）一定，（）和（）成正比例。
（）一定，（）和（）成正比例。
（3）xy＝z。
（4）铺地面积＝方砖面积X方砖块数。
（5）路程＝速度X时间。
3根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。
（1）
（2）
4小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。
5已知ab＝c，a、b都不为0。
先写两个正比例关系式，再填空。
______（）一定，（）和（）成正比例。
______（）一定，（）和（）成正比例。
6填空：
（1）每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成（）比例。
（2）要修的路程一定，每天修的路程与天数成（）比例。
（3）肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成（）比例。
（4）钱的总数一定，铅笔数量和单价成（）比例。
（5）制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成（）比例。
7下面常用的一些相关联的量成什么比例。
（1）速度X时间＝路程。
速度一定，（）和（）成（）比例。
时间一定，（）和（）成（）比例。
路程一定，（）和（）成（）比例。
（2）单价X数量＝总价。
单价一定，（）和（）成（）比例。
数量一定，（）和（）成（）比例。
总价一定，（）和（）成（）比例。
8选择正确答案的字母填入括号内。
A．成正比例B．成反比例C．不成比例
（1）平行四边形的底一定，高和面积。
（）
（2）积一定，一个因数与另一个数。
（3）一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。
（）（4）工作效率一定，工作总量和工作时间。
9糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：
10判断下面的两种量成不成比例？
成正比例画“○”，成反比例画“△”，不成比例画
“X”。
（1）每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。
（）
（2）一个人的年龄和他的体重。
（3）生产总量一定，每天的生产量和生产天数。
（）（4）正方形的边长和面积。
（）（5）分母一定，分子和分数值。
（）11填空：
（1）物品的总价一定，它的单价和数量成（）比例。
（2）每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成（）比例。
（3）要走的路程一定，已行路程与未行的路程（）比例。
（4）比的后项一定，前项和比值成（）比例。
（5）甲数是乙数的80%，甲数和乙数成（）比例。
（6）圆的半径和它的周长成（）比例。
12填一填。
（1）已知x和y成正比例关系，请完成下列表格。
（2）已知x和y成反比例关系，请完成下表。
13a
b·
c
1（b&
ne;
0，c&
0），那么，当a一定时，b和c成（）比例；
当a和c成（）比例；
当c一定时，a和b成（）比例。
14判断（对的打“√”，错的打“X”）
（1）生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。
（）
（2）出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。
（）（3）汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。
（）（4）三角形的高一定，它的面积和底不成比例。
（）（5）被减数一定，减数和差成反比例。
b一定时，
y
1如果x和y成正比例，并且20。
请完成下表。
x
2在下图中，描出上题中y与相对应的x的点（注意找几个关键点），然后连成线。
1
3一个比例的两个内项之积是20%，则另一个外项为多少？
8
4李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。
（1）李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？
（2）利用图估计，李平20分钟大约行了多少千米？
行20千米大约用了多少分钟？
（答案保留整数）
5用同样的方砖铺地，方砖的边长一定，铺地面积与方砖块数成不成比例？
学科：
数学
教学内容：
正比例和反比例的意义
【知识要点归纳】1．相关的量
在我们学习过的数量关系中：
如路程、时间、速度；
单价、数量、总价；
单产、面积、总产；
工作效率，工作时间和总量；
圆的半径、周长?
它们之间都是相互依存的。
而且，当某一个量发生变化时，另外的某一个量也跟着变化，这样的两种量就叫做相关联的两种量。
2．成正比例的量
前提：
必须是两个相关的量。
（除法关系）
要求：
一种量变化，另一种量也随着变化。
对应数据扩大或缩小的规律相同。
具体表现是：
这两种量中相对应的两个数的比值（即：
商）一定。
结论：
这样的两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
字母表示方法：
设x与y是两种相关联的量（具有相除的关系），k是x与y的比值（定
xy?
k值），则有y（一定）或x＝k（一定）
3．成反比例的量
两种相关联的量。
（乘法关系）
一个量变化，另一个量也随着变化。
扩大或缩小的规律相反，并且，这两个量中相对应两个数的乘积一定。
这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
设x与y是两个相关联的量（具有相乘的关系），k是x与y的乘积（定值一定），即：
x·
y＝k（一定）
4．正、反比例的相同点和不同点
（1）相同点
两个量必须是相关联的量，并且由两个量之间通过乘除一定能产生第三个量，这个量能通过已知条件知道它是定值。
（2）不同点：
成正比例关系的两个量具有除法关系，产生的第三个量是商；
成反比例关系的两个量具有乘法关系，产生的第三量是积。
【典型范例剖析】
例1已知x与y是成正比例的两个量：
请完成下表：
分析：
因为x、y是成正比例的量，所以上表中x与y对应的两数的比值是定值，则我
121x?
们可以由，1.5y，1.54.5，?
来分别求出表中另外几个未知量。
解：
例2判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，是成什么比例？
并说明理由。
（1）订《中国少年报》的份数和所需要的总钱数。
（2）三角形的面积一定、底和高。
（3）长方形的周长一定，长和宽。
（4）圆的面积和半径。
（5）圆的周长和半径。
（6）被减数一定、减数和差。
根据正、反比例关系的判定方法，我们首先判断两个量是不是相关联的量。
具体的说，就是两个量是否具有相乘、除的关系，它们的结果能否通过条件知道是定值，从而判断它们成不成比例或成什么比例。
（1）订《中国少年报》的份数和所需要的总钱数是相关联的量，因为：
总钱数
份数=每份《中国少年报》的钱数。
而《中国少年报》的单价是一个定值，即总钱数与份数的比值是一定的，所以总钱数和份数是成正比例的。
（2）三角形的底和高是相关的量：
因为底X高=2X三角形的面积。
而三角形的面积是一个定值，则其2倍亦是定值，即：
底和高的乘积是一个定值，所以底和高成反比例。
（3）虽然长和宽是相关联的量，根据题意；
它们的关系是：
长+宽=2X周长，即长与
宽不具有商或乘积一定的条件，因此，周长一定时，长方形的长与宽不能成比例。
圆的面积
?
半径?
圆周率
半径（4）圆的面积和半径是两个相关联的量，但是。
而半径是一个变化的量，则“半径X圆周率”是一个不定值，所以圆的面积和半径不成
周长
2?
半径（5）圆的周长和半径是两个相关联的量，并且。
而?
是圆周率为定值，则其2倍亦为定值，即周长与半径的比值一定，所以周长与半
径是成正比例的量。
（6）被减数一定，减数和差不成比例。
理由同（3）
【解题技巧指点】
1．判断两种量是不是成比例，首先要看这两种量是不是相关联的量。
具体说，就是两种量是相乘或相除的关系。
2．当一种量一定时，它的若干倍或几分之几也是一定的。
如三角形的面积一定，则：
底X高=2X面积（一定）；
是定值，则：
（一定）。
3．判断两种量成不成比例时，一定要看清所给定的条件。
如：
长方形的长和宽。
当面
积一定时，有：
长X宽=面积（一定），则可断定它们成反比例，当周长一定时，有长+宽=2X
周长，则可断定它们不成比例，显然，两种相关联的量在不同的条件下，可以产生不一样的数量关联，选择数量关系时，注意以题意中的第三个量为依据。
4．常见的不成比例的例子：
（1）一个加数一定，和与另一个加数。
（2）被减数一定，减数与差。
面积
（3）正方形的边长与它的面积。
（因为边长=边长）而边长是一个变化的量。
（4）圆的半径与它的面积。
（理同上）（5）正方体的棱长和它的体积。
（理同上）（6）一个人的身高与体重。
（身高与体重没有关系）
【课本难题解答】练习三第8题
根据题意，铺地的总面积应该等于每块砖的面积乘方砖的块数，而每块砖的面积等于方砖的边长的平方。
方砖的面积和块数是两种相关联的量，它们与铺地的总面积具有：
方砖面积X方砖块数=铺地总面积（一定）
所以，当铺地的总面积一定时，铺地的方块面积与方块块数成反比例。
而由“方砖的面积X方砖块数=铺地面积”得（方砖的边长X方砖的边长）X方砖块数=
铺地面积
铺地面积。
进而有：
方砖的边长X方砖的块数=方砖边长。
因为，方砖的边长是一个变化的量，则“方砖边长”也是一个不定值。
所以铺地面积一定时，方砖的面积与需要的块数成反比例；
而方砖的边长与需要的块数不能成比例。
【发散思维导训】
3
导1甲数是乙数的7，那么，
（1）甲与乙的比是（）：
（），
（2）乙是甲的（）
倍，（3）乙比甲多（）％。
本题要通过找出甲数与乙数的对应分率，然后通过各问题的解题方法去解题。
由“甲数是乙数的7”可知：
乙数是单位“1”，平均分成7份，则甲数相当于其
中的3份：
则有：
解：
（1）甲：
乙=3：
7
71
23
（2）乙÷
甲=34?
3（3）（7-3）÷
3=133.33%31
所以，甲是乙的7，那么
（1）甲与乙的比为（3）：
（7）；
（2）乙是甲的（23）倍；
（3）
乙比甲多（&
asymp;
133.33）%。
（
）
），训1已知甲与乙的比是3：
4，则
（1）甲是乙的（
（2）甲比乙少（——）（3）
乙比甲多（——），乙是甲的（）倍。
训2六年级参加摄影小组人数的20％与参加图画小组人数的25％相等。
已知摄影小组的人数是25人，求参加图画小组的有多少人。
（用两种方法解）
训3齿数一定，主动轮比从动轮大2的两个齿轮的转数成不成比例，成什么比例？
【同步达纲练习】
【作业优化设计】1．看表填空。
份数和总价（）（填“是”或“不是”）两种相关联的量，它们的具体关系是（），产生的结果是（）用式子表示为（）。
所以（
）和（）成（）比例。
（2
速度和时间（）（填“是”或“不是”）两种
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