汉江安康站最大最小泾流量的数学模型.docx
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汉江安康站最大最小泾流量的数学模型
汉江安康站最大、最小泾流量的数学模型
第三组-第十队组员：
颜琴、谢飞平、苏林伟
摘要
此模型通过对各年的汉江安康站1943-1997年最大、最小泾流量统计表所给的数据，进行单因素回归分析从而得到最大、最小泾流量与年份的关系，对回归模型进行合理性检验。
通过查找资料，从而得到不同的气候特点与汉江安康站最大、最小泾流量的关系。
再根据年份的气候特征预测相对应的最大、最小泾流量。
关键字:
泾流量，非线性回归，回归分析
1.问题的重述
气候是重要的环境因素，研究我国干旱和半干旱地区的气候变化规律，对确定陕西的经济发展战略，制定发展规划具有重要意义。
问题一：
根据陕南汉江安康站统计的最大、最小泾流量的统计表，分析最大、最小泾流量与年份之间的关系；
问题二：
建立最大、最小泾流量适当的数学模型，并检验模型的合理性；
问题三：
利用所建立的模型，对1998，1999，2000，2001，2002年汉江安康站的最大、最小泾流量进行预报，并与实际情况进行比较。
表一：
汉江安康站1943-1997年最大、最小泾流量统计表
年份
最大泾流量
最小泾流量
1943
6000
71.30
1944
3890
83.30
1945
9310
44.00
1946
12800
10.50
1947
5680
97.00
1948
16900
97.00
1949
1400
100.00
1950
8720
116.00
1951
18000
67.60
1952
15300
89.70
1953
9570
90.00
1954
8110
106.00
1955
19900
51.60
1956
15100
86.00
1957
11700
84.00
1958
16600
60.50
1959
4190
108.00
1960
18500
63.10
1961
8390
95.90
1962
10800
83.30
1963
16900
76.80
1964
13700
120.00
1965
20400
90.00
1966
3550
72.50
1967
11800
74.60
1968
19700
92.00
1969
6640
75.00
1970
7630
94.50
1971
7300
95.40
1972
7600
44.90
1973
12500
51.80
1974
23400
56.10
1975
15300
55.30
1976
8130
77.50
1977
9120
43.20
1978
16000
48.00
1979
16000
48.80
1980
14700
50.80
1981
15400
50.80
1982
15000
63.10
1983
31000
62.50
1984
19200
181.40
1985
11300
69.90
1986
6760
54.60
1987
17500
36.00
1988
4790
36.20
1989
10300
12.50
1990
8040
6.09
1991
4800
5.76
1992
7560
4.51
1993
7960
8.50
1994
5110
9.40
1995
5500
5.93
1996
5420
6.30
1997
2450
2.80
2.问题分析
针对问题一：
径流量与年份存在明显的非线性关系，因此采用一元多项式七次拟合模型得出他们之间的关系。
针对问题二：
对模型进行回归分析，运用F检验其合理性。
针对问题三：
根据拟合出的函数关系式对1998，1999，2000，2001，2002进行预测，并与实际情况进行比较。
名词解释：
径流水量称为径流量，指的是一段时间内河流某一过水断面过水量，径流量反映某一地区水资源的丰歉程度。
3.模型的假设与符号说明
1、假设数据来源真实可靠。
2、假设测量方式不存在较大的误差。
3、假设气候对水流量的影响持续平稳。
4、Q小为最小泾流量，Q大为最大泾流量。
5、t为年份。
4.模型的建立
（1）根据表一的数据，作出相关的最小泾流量的散点图。
最小的泾流量散点图如图一所示。
图一：
汉江安康站1943-1997年最小泾流量散点图
由于最小散点图难以分析其分布规律，故做折线图。
最小的泾流量折线图如图二所示。
图二：
汉江安康站1943-1997年最小泾流量折线图
根据最小净流量折线图的分布，假设出拟合函数。
用一元多项式拟合函数模型。
拟合曲线如图三所示：
图三：
汉江安康站1943-1997年最小泾流量拟合曲线
运用matlab得到最小泾流量
与年份t的关系为：
对模型进行线性化：
两边取对数得，log（Q小）=log（1.3726*10^4）+3log（t）
根据表中的数据，作出相关的最大泾流量的散点图。
最大的泾流量散点图如图三所示。
图四：
汉江安康站1943-1997年最大泾流量散点图
由于最大泾流量散点图难以分析其分布规律，故做折线图。
最大的泾流量折线图如图五所示。
图五：
汉江安康站1943-1997年最大径流折线图
根据最大泾流量折线图的分布，假设出拟合函数。
用一元多项式拟合函数模型。
拟合曲线如图六所示：
图六：
汉江安康站1943-1997年最大泾流量拟合曲线
运用matlab得到最小泾流量
与年份t的关系为：
对模型进行线性化：
两边取对数得，log（Q大）=log（3.3154*10^4）+3log（t）
（2）利用
（1）中所建立的模型，用matlab软件对1998，1999，2000，2001，2002年汉江安康站的最大、最小泾流量进行预报，得到的预测情况如表二所示：
表二：
1998-2002预测最大、最小泾流量
预测泾流量
年份
最大泾流量
最小径流量
1998
7002
12.5938
1999
10407
26.5313
2000
15436
47.6406
2001
22563
77.1953
2002
32078
117.0859
数据分析：
表三：
预测值与真实值的对比情况表
年份
预测最大泾流量
实际最大泾流量
预测最小泾流量
实际最小泾流量
1943
6429
6000
67.5703
71.30
1944
6609
3890
65.6563
83.30
1945
7145
9310
65.9922
44.00
1946
7931
12800
67.9375
10.50
1947
8848
5680
70.8984
97.00
1948
9788
16900
74.4063
97.00
1949
10703
1400
78.1797
100.00
1950
11565
8720
81.8594
116.00
1951
12297
18000
85.0703
67.60
1952
12873
15300
87.8984
89.70
1953
13347
9570
90.0391
90.00
1954
13633
8110
91.6484
106.00
1955
13794
19900
92.5781
51.60
1956
13814
15100
92.8281
86.00
1957
13699
11700
92.375
84.00
1958
13504
16600
91.5
60.50
1959
13246
4190
90.1484
108.00
1960
12924
18500
88.4141
63.10
1961
12569
8390
86.4531
95.90
1962
12221
10800
84.2656
83.30
1963
11904
16900
81.9531
76.80
1964
11606
13700
79.6797
120.00
1965
11369
20400
77.625
90.00
1966
11213
3550
75.5781
72.50
1967
11165
11800
73.8672
74.60
1968
11183
19700
72.3125
92.00
1969
11289
6640
71.0938
75.00
1970
11508
7630
70.1094
94.50
1971
11801
7300
69.4922
95.40
1972
12157
7600
69.1797
44.90
1973
12615
12500
68.9922
51.80
1974
13107
23400
68.9063
56.10
1975
13596
15300
69.0625
55.30
1976
14111
8130
69.1484
77.50
1977
14609
9120
69.1875
43.20
1978
15035
16000
69.0781
48.00
1979
15441
16000
68.5938
48.80
1980
15688
14700
67.8359
50.80
1981
15830
15400
66.5625
50.80
1982
15808
15000
64.7109
63.10
1983
15632
31000
62.2344
62.50
1984
15255
19200
59.0313
181.40
1985
14652
11300
55.1094
69.90
1986
13899
6760
50.4766
54.60
1987
12917
17500
45.1719
36.00
1988
11806
4790
39.1953
36.20
1989
10514
10300
32.7266
12.50
1990
9152
8040
26.0703
6.09
1991
7741
4800
19.3828
5.76
1992
6416
7560
12.9766
4.51
1993
5207
7960
7.3828
8.50
1994
4316
5110
2.9766
9.40
1995
3830
5500
0.4375
5.93
1996
3984
5420
0.6172
6.30
1997
4971
2450
4.3047
2.80
为了使数据更加直观，故做预测最大、最小泾流量与真实泾流量比较图如图七，八所示。
图七：
预测最大泾流量与真实泾流量比较图
图八：
预测最小泾流量与真实泾流量比较图
对建立的最小泾流量与年份关系模型做F检验，得回归分析表如下：
方差分析：
单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数
求和
平均
方差
年份
55
108350
1970
256.6667
最小泾流量
55
3478.29
63.24164
1341.657
方差分析
差异源
SS
df
MS
F
P-value
Fcrit
组间
99982505
1
99982505
125109.2
2.6E-167
3.929011
组内
86309.46
108
799.1617
总计
1E+08
109
拒绝域：
F比>
由表可知：
P值=2.6
，F比=3.929011。
在显著水平
0下，P值<0.10;
查表得
，因为
3.929011，落入拒绝域。
所以可以认为已建立的回归模型较合理。
对建立的最大泾流量与年份关系模型做F检验，得回归分析表如下：
方差分析：
单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数
求和
平均
方差
年份
55
108350
1970
256.6667
最大泾流量
55
620050
11273.64
38137901
方差分析
差异源
SS
df
MS
F
P-value
Fcrit
组间
2.38E+09
1
2.38E+09
124.827
1E-19
3.929011
组内
2.06E+09
108
19069079
总计
4.44E+09
109
拒绝域：
F比>
由表可知：
P值=10
，F比=3.929011。
在显著水平
0下，P值<0.10，落入拒绝域。
查表得
，因为
3.929011，落入拒绝域。
所以可以认为已建立的回归模型较合理。
模型的评价：
参考文献：
[1]姜启源，谢金星.数学模型，高等教育出版，2007年
[2]费浦生，羿旭明.数学建模及其基础知识详解[M],湖北：
武汉大学出版社，2006.5
[3]高百宁.经济预测与决策[M],上海：
上海财经大学出版社，2009,10
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