人教版数学八年级上册期末压轴题培优全等三角形含答案Word格式.docx
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∵AB∥DE,
∴AB=DE,
故答案为:
AB∥DE.
2.小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD,BE,当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直放入时,直角顶点C正好在水平线DE上,锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
由题意得:
AC=BC,∠ACB=90°
,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
,∠ACD+∠DAC=90°
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,
∴DE=DC+CE=20(cm),
答:
两堵木墙之间的距离为20cm.
3.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一
条岸边B点,选对岸正对的一棵树A:
②沿河岸直走20m有一树C.继续前行20m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的
方向行走,当到达A树正好被C树
遮挡住的E处停止行走;
④测得DE的长为5米.
(1)河的宽度是 5 米.
(2)请你说明他们做法的正确性.
证明:
(1)由题意知,DE=AB=5米,即河的宽度是5米.
故答案是:
5.
(2)如图,由题意知,在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)
∴AB=ED.
即他们的做法是正确的.
4.小明想知道一堵墙上点A的高度(AO⊥OD),但又没有直接测量的工具,于是设计了下面的方案,请你先补全方案,再说明理由.
第一步:
找一根长度大于OA的直杆,使直杆靠在墙上,且顶端与点A重合,记下直杆与地面的夹角∠ABO;
第二步:
使直杆顶端竖直缓慢下滑,直到∠ OCD =∠ ABO .标记此时直杆的底端点D;
第三步:
测量 OD 的长度,即为点A的高度.
说明理由:
OCD,ABO,OD;
理由:
在△AOB与△DOC中,
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OA=OD.
OCD,ABO,OD.
5.如图,点C、E分别在直线AB、DF上,小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补,但是他没有带量角器,只带了一副三角板,于是他想了这样一个办法:
首先连结CF,再找出CF的中点O,然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B,经过测量,他发现EO=BO,因此他得出结论:
∠ACE和∠DEC互补,而且他还发现BC=EF.小华的想法对吗?
为什么?
∵O是CF的中点,
∴CO=FO(中点的定义)
在△COB和△FOE中
∴△COB≌△FOE(SAS)
∴BC=EF(对应边相等)
∠BCO=∠F(对应角相等)
∴AB∥DF(内错角相等,两直线平行)
∴∠ACE和∠DEC互补(两直线平行,同旁内角互补),
6.如图,操场上有两根旗杆间相距12m,小强同学从B点沿BA走向A,一定时间后他到达M点,此时他测得CM和DM的夹角为90°
,且CM=DM,已知旗杆AC的高为3m,小强同学行走的速度为0.5m/s,则:
(1)请你求出另一旗杆BD的高度;
(2)小强从M点到达A点还需要多长时间?
(1)∵CM和DM的夹角为90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠DBA=90°
∴∠2+∠D=90°
∴∠1=∠D,
在△CAM和△MBD中,
∴△CAM≌△MBD(AAS),
∴AM=DB,AC=MB,
∵AC=3m,
∴MB=3m,
∵AB=12m,
∴AM=9m,
∴DB=9m;
(2)9÷
.5=18(s).
小强从M点到达A点还需要18秒.
7.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20m有一树C,继续前行20m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;
求:
(1)河的宽度是多少米?
(2)请你证明他们做法的正确性.
(1)解:
河的宽度是5m;
(2)证明:
由作法知,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°
在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA),
∴AB=E
D,
8.某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动,在营地看到一池塘,同学们想知道池塘两端的距离.有一位同学设计了如下测量方案,设计方案:
先在平地上取一个可直接到达A,B的点E(AB为池塘的两端),连接AE,BE,并分别延长AE至D,BE至C,使ED=AE,EC=BE.测出CD的长作为AB之间的距离.他的方案可行吗?
请说明理由.若测得CD为10米,则池塘两端的距离是多少?
在△AEB和△D
EC
中
∴△AEB≌△DEC(SAS);
∴AB=CD=10米(全等三角形的对应边相等).
答;
池塘两端的距离是10米.
9.如图,一条河流MN旁边有两个村庄A,B,AD⊥MN于D.由于有山峰阻挡,村庄B到河边MN的距离不能直接测量,河边恰好有一个地点C能到达A,B两个村庄,与A,B的连接夹角为90°
,且与A,B的距离也相等,测量C,D的距离为150m,请求出村庄B到河边的距离.
如图,过点B作BE⊥MN于点E,
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴∠A=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中,
.
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴BE=CD=150m.即村庄B到河边的距离是150米.
10.如图,小明站在乙楼BE前方的点C处,恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点,若B、C相距30米,C、D相距60米,乙楼高BE为20米,小明身高忽略不计,则甲楼的高AD是多少米?
∵AD⊥DC,EB⊥BC,
∴AD∥BE,
∴∠AEF=∠C,
∵B、C相距30米,C、D相距60米,
∴EF=DB=BC=30米,
∵∠AFE=∠EBC=90°
∴△AEF≌△ECB(ASA),
∴AF=BE,
∵DF=BE,
∴AD=2BE=2×
20=40(米).
甲楼的高AD是40米.
11.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需材料的长度为多少?
∵BF=EC,
∴BF+FC=CE+FC,
即BC=EF,
∵在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF,
∵△ABC的周长为24
cm,CF=3cm,
∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×
2﹣3=45cm.
12.如图,某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道,为估计这条隧道的长度需测出这座山A、B间的距离,结合所学知识或方法,设计测量方案你能给出什么好的方法吗?
选择一合适的地点O,连接AO、BO,测出AO和BO的长度,延长AO、BO至A′、B′,使OA′=OA,OB′=OB,连接A′B′
,这样就构成两个三角形,
在△AOB和△A′OB′中,
∴△AOB≌△A′OB′(SAS),
∴AB=A′B′.
13.生活中处处有数学.
(1)如图
(1)所示,一扇窗户打开后,用窗钩AB将其固定,这里所运用的数学原理是 三角形具有稳定性 ;
(2)如图
(2)所示,在新修的小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E,M,F,且BE=CF,点M是BC的中点,在凉亭M与F之间有一池塘,不能直接到达,要想知道M与F之间的距离,只需要测出线段ME的长度,这样做合适吗?
请说明理由.
(1)如图1所示,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是:
三角形的稳定性.
三角形具有稳定性;
(2)合适,理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
∵点M是BC的中点,
∴MB=MC,
在△MEB与△MCF中
∴△MEB≌△MFC(SAS),
∴ME=MF,
∴想知道M与F之间的距离,只需要测出线段ME的长度.
14.如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆,A、B之间有一条小河,小刚想估测这两根电线杆之间的距离,于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处,接着又向前走了20步到达D处,然后他左转90°
直行,当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时,他从D位置走到E处恰好走了100步,利用上述数据,小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离.
(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图;
(2)如果小刚一步大约60厘米,请你求A、B两根电线杆之间的距离.
(1)根据题意画出图形,如图所示.
(2)由题可知∠BAC=∠EDC=90°
,60cm=0.6m,
AC=20×
0.6=12m,DC=20×
0.6=12m,DE=100×
0.6=60m,
∵点E、C、B在一条直线上,
∴∠DCE=∠ACB.
∵∠BAC=∠EDC=90°
,AC=DC,∠DCE=∠ACB,
∴△ABC≌△DEC,
∴AB=DE.
∵DE=60m,
∴AB=60m,
A、B两根电线杆之间的距离大约为60m.
15.
(1)如图1:
在四边形ABC中,AB=AD,∠BAD=120°
,∠B=∠ADC=90°
.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°
.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系并证明.(提示:
延长CD到G,使
得DG=BE)
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°
的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东60°
的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°
的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°
,试求此时两舰艇之间的距离.(可利用
(2)的结论)
(1)EF=BE+DF;
如图1,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
∴△AEF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
(2)EF=BE+DF仍然成立.
如图2,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°
,∠ADC+∠ADG=180°
∴∠B=∠ADG,
(3)如图3,连接EF,延长AE、BF相交于点C,
∵∠AOB=20°
+90°
+(90°
﹣60°
)=140°
∠EOF=70°
∴∠EOF=
∠AOB,
又∵OA=OB,
∠OAC+∠OBC=(90°
﹣20°
)+(60°
+50°
)=180°
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+BF成立,
即EF=1×
(60+80)=140(海里).
此时两舰艇之间的距离是140海里.