电子课文第九章 机械振动要点Word文档格式.docx

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通过学生实验八我们知道，在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，即

F=-kx

式中负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．这个关系在物理学中叫做胡克定律，式中的常数k叫做劲度系数，简称劲度．

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动．

根据牛顿第二定律可知，做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置．

简谐运动是最简单、最基本的机械振动，图9－2给出了简谐运动的几个实例．

电子课文●二 

振幅、周期和频率

各种不同的机械运动都需要用位移、速度、加速度等物理量来描述，但是不同的运动具有不同的特点，需要引入不同的物理量表示这种特点．描述圆周运动就引入了角速度、周期、转速等物理量．描述简谐运动也需要引入新的物理量，这就是振幅、周期和频率．

振动物体总是在一定范围内运动的．在图9-1中，振子在水平杆上的A点和A′点之间做往复运动，振子离开平衡位置的最大距离为OA或者OA′．振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅．在图9-1中，OA或OA′的大小就是弹簧振子的振幅．振幅是表示振动强弱的物理量．

简谐运动具有周期性．在图9-1中，如果振子由A点开始运动，经过O点运动到A′点，再经过O点回到A点，我们就说它完成了一次全振动．此后振子不停地重复这种往复运动．实验表明，弹簧振子完成一次全振动所用的时间是相同的．

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期．单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率．

周期和频率都是表示振动快慢的物理量．周期越短，频率越大，表示振动越快．用T表示周期，用f表示频率，则有

在国际单位制中，周期的单位是秒，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz．1Hz=1s-1．

上面我们说过，振子完成一次全振动所用的时间是相同的．如果改变弹簧振子的振幅，弹簧振子的周期或频率是否改变呢？

观察弹簧振子的运动可以发现，开始拉伸（或压缩）弹簧的程度不同，振动的振幅也就不同，但是对同一个振子，振动的频率（或周期）却是一定的．可见，简谐运动的频率与振幅无关．

简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定．如弹簧振子的频率由弹簧的劲度和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，因此又称为振动系统的固有频率．

电子课文●三 

简谐运动的图象

物体运动的位移和时间的关系，可以用公式表示，也可以用图象表示．在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=vt，运动的位移图象是过原点的一条直线．在初速度为零的匀变

速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=

系，也可以用公式来表示，但较为复杂，所以我们先研究简谐运动的图象．

简谐运动的图象 

图9-4是用频闪照相的办法拍下的一个弹簧振子的振动情况．甲图是振子静止在平衡位置时的照片．乙图是振子被拉伸到左侧距平衡位置20mm处，放手后，在向右运动的1/2周期内的频闪照片．丙图是振子在接下来的1/2周期内的频闪照片．已知频闪的频率为9.0Hz，即相邻两次闪光的时间间隔t0=0.11s，振动的周期T=1.33s．照片上记录的是每隔时间t0振子所在的位置．

简谐运动是以平衡位置为中心的往复运动，它的位移是指对平衡位置的位移．在图9-4中，取水平向右的方向为位移的正方向，则振子在平衡位置右方时位移为正值，在左方时位移为负值．下表是由照片得到的数据．

第一个1/2周期（T=1.33s）

第二个1/2周期

以纵轴表示位移x，横轴表示时间t，根据上表的数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，我们得到一条余弦曲线（图9-5）．

简谐运动的位移-时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线．理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．

振动图象表示出振子的位移随时间变化的规律，它可以告诉我们振子在任一时刻对平衡位置的位移，还可以表示出振幅和周期（图9-6）．所以认识振动图象对于学习简谐运动是十分有益的．

振动曲线可以用上面介绍的描点法画出，也可以用在振动物体上固定一个记录装置的办法画出．例如在弹簧振子的小球上安置一枝记录用的笔P，在下面放一条白纸带（图9-7），当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔P就在纸带上画出一条振动曲线．纸带的运动应该是匀速的，这样，纸带运动的距离就可以代表时间（为什么？

）．

像图9-7这种记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪（图9-8），监测地震的地震仪（图9-9）等，都是用这种方法记录振动情况的．

简谐运动虽然是一种理想化的情况，但研究它具有重要的实际意义和理论意义．某些实际的振动，在振幅很小的情况下，可以近似地作为简谐运动来处理．一切复杂的振动都不是简谐运动，但它们都可以看做是由若干个振幅和频率不同的简谐运动合成的．在图9-10中，最下方的曲线表示某个复杂的非简谐运动，它虽然具有周期性，但振动图象不是正弦或余弦曲线，它是由图中上方两条曲线所示的两个简谐运动合成的．

电子课文●四 

单摆

单摆 

在生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内做摆动（图9-17），摆动属于一种什么运动呢？

在图9-18中，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．

摆球静止在O点时，悬线竖直下垂，摆球所受重力G和悬线的拉力F′彼此平衡，O点是单摆的平衡位置．拉开摆球，使它偏离平衡位置，然后放开，摆球所受的重力G和拉力F′不再平衡，在这两个力的共同作用下，摆球将沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧AA′做往复运动，这就是单摆的振动．

在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力．当摆球运动到任一点P时（图9-18），重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F=G1=mgsinθ．在偏角θ很小时，

其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移

上式可以写成

可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动．

单摆做简谐运动，也可以从单摆的振动图象看出来．

现在我们用实验显示单摆的振动图象．如图9-19所示，把漏斗吊在支架上，下方放一块硬纸板，纸板上画一条直线OO′，漏斗静止不动时正好在直线OO′的正上方．在漏斗里装满细砂，让漏斗摆动，同时沿着跟摆动方向垂直的方向匀速拉动硬纸板．因为每一时刻都从漏斗漏出细砂，所以落在硬纸板上的细砂就记录下各个时刻摆球的位置，显示出一条曲线．这条曲线就是以横轴OO′表示时间，以纵轴表示位移的单摆的振动图象．

单摆振动的周期 

单摆的周期跟哪些因素有关呢？

我们用实验研究这个问题．

取一个摆长约1m的单摆，在偏角很小（如10°

）的情况下（图9-20），测出它振动一定次数（如50次）所用的时间，算出单摆的周期．在偏角更小的情况下，同样测出单摆的周期．实验表明，两次测出的周期是相等的．大量实验表明，单摆的周期跟单摆的振幅没有关系，这种性质叫做单摆的等时性．

取摆长不同的单摆，分别测出它们的周期．实验表明，摆长越长，周期越大．

换用大小相同、质量不同的摆球，重做测定周期的实验．实验表明，单摆的周期跟摆球的质量没有关系．

荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式①：

摆在实际中有很多应用．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便（图9-21）．单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度．

电子课文●五 

相位

相位 

有并列悬挂的两个等长的单摆，把它们拉起同样的角度后同时放开，它们做简谐运动．因为最初拉起的角度相同，所以它们的振幅相同；

又由于摆长相同，所以它们的周期（或频率）也相同．两个简谐运动在同一方向同时达到位移的最大值，也同时经过平衡位置，它们总是这样“步调一致”地运动．

还是这两个单摆，还是拉起同样的角度，但是先把第一个放开，然后再放第二个．这种情况下尽管两个单摆的振幅和周期还都是相等的，但它们运动的步调不再一致了．例如当第一个摆球到达平衡位置时再放开第二个，那么当第一个到达另一方的最高点时，第二个还刚刚到达平衡位置，而当第二个到达另一方的最高点时，第一个摆球又已经返回平

看来，要详尽地描述简谐运动，只有周期（或频率）和振幅是不够的．在物理学中我们用不同的相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的不同阶段。

例如，对于同时放开的两个单摆，我们说它们的相位相同，而对于上面所说的不同时放开的两个单摆，我们说第二个单摆的相位落后于第一个的相位．

用三角函数式表示简谐运动既然简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线（或余弦曲线）来表示，那么若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，根据数学课中三角函数的知识，x和t的函数关系就可以写成

x=Asin（ωt+

）

式中A代表振幅，ω叫做圆频率，它等于频率f的2π倍，即ω=2π“ωt+

”这个量就是简谐运动的相位．可以看出，由于时间t是变量，所以相位也在不断变化，t=0时的相位

叫做初相位，简称初相．

实际上经常用到的，是两个具有相同频率的简谐运动的相位差．例如某两个简谐运动的圆频率都是ω，但初相分别为

1和

2，它们的相位差就是

（ωt+

2）-（ωt+

1）=

2-

1

当相位ωt+

从零增加到2π再增加到4π再到6π……时，函数值x依次取一遍所有可能的值，或者说，相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．由于这个原因，我们说到相位差时常常说，相位差是

【例题1】两个简谐运动分别为

求它们的振幅之比、各自的频率，以及它们的相位差．

解 

振幅之比是

它们的频率相同，都是

它们的相位差是

【例题2】图9-23是A、B两个弹簧振子的振动图象，求它们的相位差．

这两个振动的周期相同（都是0.4s），所以它们有确定的相位

到最大位移，所以A的相位比B的相位超前．相位差是

这里要特别注意的是，两个振动达到最大位移的时间差并不是相位差，相位指的是“ωt+

”这个量．

电子课文●六 

简谐运动的能量 

阻尼振动

简谐运动的能量 

弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断地发生转化．在平衡位置时，动能最大，势能最小；

在位移最大时，势能最大，动能为零．在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能．弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的，如果不考虑摩擦和空气阻力，只有弹力或重力做功，那么振动系统的机械能守恒．振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大．

对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去．简谐运动是一种理想化的振动．

阻尼振动 

实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用．系统克服阻尼的作用做功，系统的机械能就要损耗．系统的机械能随着时间逐渐减少，振动的振幅也逐渐减小，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了．这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动．图9-27是阻尼振动的振动图象．

振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快．阻尼过大时，系统将不能发生振动．阻尼越小，振幅减小得越慢．图9-27所示的阻尼振动当阻尼很小时，在一段不太长的时间内看不出振幅有明显的减小，就可以把它作为简谐运动来处理，前面关于简谐运动的演示就属于这种情形．

电子课文●七 

受迫振动 

共振

受迫振动 

阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能得到持续的周期性振动呢？

最简单的办法是用周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫做驱动力，物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动．跳板在人走过时发生的振动，机器底座在机器运转时发生的振动，都是受迫振动的实例．

受迫振动的频率跟什么有关呢？

我们用图9-29所示的装置研究这个问题．匀速地转动把手时，把手给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．这个驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的．用不同的转速匀速地转动把手，可以看到，振子做受迫振动的周期总等于驱动力的周期．

实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系．

共振 

虽然物体做受迫振动的频率跟物体的固有频率无关，但是当驱动力的频率接近系统的固有频率或与固有频率相差很大时，振动的情况却大为不同．下面我们用图9-30所示的装置研究这个问题．

如图9-30所示，在一根张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B、C的摆长相等．当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．这个驱动力的频率等于A摆的频率．其他各摆的固有频率决定于摆长．实验表明：

固有频率跟驱动力频率相等的B摆和C摆，振幅最大；

固有频率跟驱动力频率相差最大的D摆，振幅最小．

图9-31的曲线表示受迫振动的振幅A与驱动力的频率f的关系．可以看出：

驱动力的频率f等于振动物体的固有频率f′时，振幅最大；

驱动力的频率f跟固有频率f′相差越大，振幅越小．

驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振．

声音的共鸣

如图9-32所示，取两个频率相同的音叉A和B，相隔不远并排放在桌上，打击音叉A的叉股，使它发声．过一会儿，用手按住音叉A的叉股，使它停止发声，可以听到没有被敲响的音叉B发出了声音．

如果在音叉B的叉股上套上一个套管，改变音叉B的固有频率，重做上面的实验，就听不到音叉B发出的声音了．

音叉A的叉股被敲时产生振动，在空气中激起声波，声波传到音叉B，给音叉B以周期性的驱动力，这两个音叉的频率相同，所以这个周期性的驱动力的频率等于音叉B的固有频率，于是音叉B发生共振，发出声音．声音的共振现象通常叫做共鸣．改变音叉B的固有频率，就不会发生共鸣了．

音叉下面所装的空箱，叫做共鸣箱，音叉发声时，共鸣箱发生共鸣，可以使音叉的声音增强．图9-36实验中两个音叉间振动的传播，主要也是通过共鸣箱来实现的．

共振的应用和防止 

共振现象有许多应用．把一些不同长度的钢片装在同一个支架上，可用来制成测量发动机转速的转速计．使转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有显著的振幅．从刻度上读出这个钢片的固有频率，就可以知道机器的转速．

共振筛（图9-33）是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下发生转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，这时筛子发生共振，有显著的振幅，提高了筛除杂物的效率．

在某些情况下，共振也可能造成损害．军队或火车过桥时，整齐的步伐或车轮对铁轨接头处的撞击会对桥梁产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近桥梁的固有频率，就可能使桥梁的振幅显著增大，致使桥梁断裂．因此，部队过桥要用便步，以免产生周期性的驱动力．火车过桥要慢开，使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率．

轮船航行时，如果所受波浪冲击力的频率接近轮船左右摇摆的固有频率，可能使轮船倾覆．这时可以改变轮船的航向和速度，使波浪冲击力的频率远离轮船摇摆的固有频率．

机器运转时，零部件的运动（如活塞的运动、轮的转动）会产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近机器本身或支持物的固有频率，就会发生共振，使机器或支持物受到损坏．这时要采取措施，如调节机器的转速，使驱动力的频率与机器或支持物的固有频率不一致．同样，厂房建筑物的固有频率也不能处在机器振动的频率范围之内．

总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；

在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好．

本书第一册绪言的图0-2，介绍一个用声音将酒杯震碎的实验，想一想，用什么办法能做出这个实验．

共振

如图9-35所示，将一条细绳紧绕在两个桌子腿之间，绳上拴4～5个长度不等的单摆．按课文图9-26所述实验，自已动手做一做，体会一下共振的含义．

本章小结

本章主要学习了最基本、最简单的机械振动——简谐运动．简谐运动是在大小跟位移成正比、方向总指向平衡位置的回复力的作用下的周期性的运动，它的速度、加速度是时刻改变的．简谐运动有自己的特点，需要引入振幅、周期、频率等物理量来表示这种特点．

（1）什么叫机械振动？

什么叫简谐运动？

回复力是根据力的效果命名的，从力的性质来说，水平弹簧振子和单摆的回复力各是由什么力提供的？

（2）什么是简谐运动的振幅、周期和频率？

周期和频率有什么关系？

什么是简谐运动的固有频率？

固有频率跟振幅有没有关系？

（3）在什么条件下单摆做简谐运动？

单摆的周期跟什么因素有关，跟振幅和摆球的质量有没有关系？

写出单摆的周期公式．

（4）以水平弹簧振子和单摆为例，从受力和运动两方面说明简谐运动的特点．再从能量的观点说明简谐运动中能量的转化．

（5）简谐运动的振动图象是什么函数图象？

从振动图象中能得知有关简谐运动的什么信息？

*（6）简谐运动位移与时间的函数表达式是怎样的？

各量的物理含义是什么？

什么叫相位？

（7）什么是阻尼振动？

什么是受迫振动？

受迫振动的频率等于什么？

在什么情况下发生共振？

举出应用和防止共振的几个实例．

我们学过了各种不同的运动：

匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动、简谐运动等．物体做什么运动，是由所受合力和初始条件决定的．

请你系统总结一下，比如按不同的标准分一分类，对比一下产生这些运动的条件，想一想处理这些运动问题的思路和方法．经过自己独立地思考，以求融会贯通．这样才能切实掌握知识，提高运用知识解决问题的能力．