中mathematics工具箱使用Word格式文档下载.docx
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SolvesTheseKindsofProblems（求解问题）
Method（方法）
ode45
Nonstiffdifferentialequations（非刚性微分方程）
Runge-Kutta
ode23
ode113
Nonstiffdifferentialequations（非刚性微分方程）
Adams
ode15s
StiffdifferentialequationsandDAEs（非刚性微分-代数方程）
NDFs（BDFs）
ode23s
Stiffdifferentialequations（刚性微分方程）
Rosenbrock
ode23t
ModeratelystiffdifferentialequationsandDAEs
（中等刚性微分方程和代数方程）
Trapezoidalrule
ode23tb
Stiffdifferentialequations（刚性微分方程）
TR-BDF2
ode15i
Fullyimplicitdifferentialequations（全隐式微分方程）
BDFs
EvaluationandExtension（赋值和延拓）
YoucanusethefollowingfunctionstoevaluateandextendsolutionstoODEs.
你能应用如下函数对ODE的数值解解进行赋值和延拓。
Function
Description
deval
EvaluatethenumericalsolutionusingtheoutputofODEsolvers
（用ODE输出对数值解进行赋值）
odextend
ExtendthesolutionofaninitialvalueproblemforanODE
对ODE初值问题的解进行延拓
SolverOptions（求解器选项）
AnoptionsstructurecontainsnamedpropertieswhosevaluesarepassedtoODEsolvers,andwhichaffectproblemsolution.Usethesefunctionstocreate,alter,oraccessanoptionsstructure.
选项结构包含署名属性，其值传递给ODE求解器以影响问题求解。
用这些函数可以创建，改变和接受选项结构。
Function（函数）
Description（描述）
odeset
CreateoralteroptionsstructureforinputtoODEsolver.（创建和改变选项）
odeget
Extractpropertiesfromoptionsstructurecreatedwithodeset.（提取属性选项）
OutputFunctions（输出函数）
Ifanoutputfunctionisspecified,thesolvercallsthespecifiedfunctionaftereverysuccessfulintegrationstep.YoucanuseodesettospecifyoneofthesesamplefunctionsastheOutputFcnproperty,oryoucanmodifythemtocreateyourownfunctions.
如果输出函数被指定，则求解器在每步积分后调用该函数进行输出。
你能够用odeset指定这些例子函数之一作为OutputFcn属性，或创建自己的函数对其进行修改。
odeplot
Time-seriesplot（时间序列图形）
odephas2
Two-dimensionalphaseplaneplot（2-维相平面图形）
odephas3
Three-dimensionalphaseplaneplot（3-维相平面图形）
odeprint
Printtocommandwindow（打印到命令窗）
FirstOrderODEs（一阶ODEs）
Anordinarydifferentialequation（ODE）containsoneormorederivatives
ofadependentvariableywithrespecttoasingleindependentvariablet,
usuallyreferredtoastime.Thederivativeofywithrespecttotisdenoted
asy′,thesecondderivativeasy′′,andsoon.Ofteny（t）isavector,having
elementsy1,y2,...,yn.
MATLABsolvershandlethefollowingtypesoffirst-orderODEs:
•ExplicitODEsoftheformy′=f（t,y）
形如y′=f（t,y）的显式ODEs
•LinearlyimplicitODEsoftheformM（t,y）y′=f（t,y）,whereM（t,y）is
amatrix
形如M（t,y）y′=f（t,y）的线性隐式ODEs
•FullyimplicitODEsoftheformf（t,y,y′）=0（ode15ionly）：
形如f（t,y,y′）=0的全隐式ODEs
HigherOrderODEs（高阶ODEs）
MATLABODEsolversacceptonlyfirst-orderdifferentialequations.Touse
thesolverswithhigher-orderODEs,youmustrewriteeachequationasan
equivalentsystemoffirst-orderdifferentialequationsoftheform
y′=f（t,y）
Youcanwriteanyordinarydifferentialequation
y（n）=f（t,y,y′,...,y（n−1））
asasystemoffirst-orderequationsbymakingthesubstitutions
y1=y,y2=y′,...,yn=y（n−1）
y1=y,y2=y’,...,yn=y（n−1）
Theresultisanequivalentsystemofnfirst-orderODEs.
Rewritethesecond-ordervanderPolequation
asasystemoffirst-orderODEs.
InitialValues（初值问题）
Generallytherearemanyfunctionsy（t）thatsatisfyagivenODE,and
additionalinformationisnecessarytospecifythesolutionofinterest.In
aninitialvalueproblem,thesolutionofinterestsatisfiesaspecificinitial
condition,thatis,yisequaltoy0atagiveninitialtimet0.Aninitialvalue
problemforanODEisthen
Ifthefunctionf（t,y）issufficientlysmooth,thisproblemhasoneandonlyone
solution.Generallythereisnoanalyticexpressionforthesolution,soitis
necessarytoapproximatey（t）bynumericalmeans.
NonstiffProblems（刚性问题）
Therearethreesolversdesignedfornonstiffproblems:
对于非刚性问题求解有3个求解器。
ode45BasedonanexplicitRunge-Kutta（4,5）formula,theDormand-Princepair.Itisaone-stepsolver–incomputingy（tn）,itneedsonlythesolutionattheimmediatelyprecedingtimepoint,y（tn–1）.Ingeneral,ode45isthebestfunctiontoapplyasa“firsttry”formostproblems.
ode45基于显式Runge--Kutta（4,5）公式，Dormand-Prince对，它是计算y（tn）的单步求解器，只需前一步的解y（tn-1）.一般说来，ode45是对大多数问题的“第一试”的最好的函数。
ode23BasedonanexplicitRunge-Kutta（2,3）pairofBogackiandShampine.Itmaybemoreefficientthanode45atcrudetolerancesandinthepresenceofmildstiffness.Likeode45,ode23isaone-stepsolver.
ode113VariableorderAdams-Bashforth-MoultonPECEsolver.Itmaybemoreefficientthanode45atstringenttolerancesandwhentheODEfunctionisparticularlyexpensivetoevaluate.ode113isamultistepsolver—itnormallyneedsthesolutionsatseveralprecedingtimepointstocomputethecurrentsolution.
StiffProblems（刚性问题）
Notalldifficultproblemsarestiff,butallstiffproblemsaredifficultfor
solversnotspecificallydesignedforthem.Solversforstiffproblemscanbe
usedexactlyliketheothersolvers.However,youcanoftensignificantly
improvetheefficiencyofthesesolversbyprovidingthemwithadditional
informationabouttheproblem.（See“IntegratorOptions”onpage10-9.）
Therearefoursolversdesignedforstiffproblems:
并不是所有困难的问题都是刚性的，但是所有的刚性问题对于非专门为此设计的求解器来说都是困难的。
SolverSyntax（求解语法）
AlloftheODEsolverfunctions,exceptforode15i,shareasyntaxthatmakes
iteasytotryanyofthedifferentnumericalmethods,ifitisnotapparent
whichisthemostappropriate.Toapplyadifferentmethodtothesame
problem,simplychangetheODEsolverfunctionname.Thesimplestsyntax,
commontoallthesolverfunctions,is
求解函数调用
[t,y]=solver（odefun,tspan,y0,options）
wheresolverisoneoftheODEsolverfunctionslistedpreviously.
其中，solver是如前列举的ODE求解函数
Thebasicinputargumentsare
举例：
vanderPolEquation（Nonstiff）
ThisexampleillustratesthestepsforsolvinganinitialvalueODEproblem:
该例说明了求解ODE初值问题的步骤：
1Rewritetheproblemasasystemoffirst-orderODEs.Rewritethe
vanderPolequation（second-order）
1.把高阶方程表示为一阶方程组的等价形式。
vanderPol方程（二阶）
whereμ>
0isascalarparameter,bymakingthesubstitutiony’1=y2.The
resultingsystemoffirst-orderODEsis
为标量常数。
做代换
，得到对应的一阶方程组
2Codethesystemoffirst-orderODEs.Onceyourepresenttheequation
asasystemoffirst-orderODEs,youcancodeitasafunctionthatanODE
solvercanuse.Thefunctionmustbeoftheform
2.对一阶ODE方程组编写ODEfun函数,其形式为
dydt=odefun（t,y）
odefun函数程序
functiondydt=vdp1（t,y）
dydt=[y
（2）;
（1-y
（1）^2）*y
（2）-y
（1）];
3.Applyasolvertotheproblem.（调用求解函数求解）
Decidewhichsolveryouwanttousetosolvetheproblem.Thencallthe
solverandpassitthefunctionyoucreatedtodescribethefirst-ordersystem
ofODEs,thetimeintervalonwhichyouwanttosolvetheproblem,and
aninitialconditionvector.
决定用哪个求解函数求解问题，然后调用求解器，把创建的描述方程组的函数，求解区间，和初始条件传递给求解函数。
ForthevanderPolsystem,youcanuseode45ontimeinterval[020]with
initialvaluesy
（1）=2andy
（2）=0.
对于VanderPol系统，你可以用ode45在时间区间[0,20]进行积分，初值条件为y
（1）=2和y
（2）=0,其调用求解函数的方法为
[t,y]=ode45（@vdp1,[020],[2;
0]）;
4Viewthesolveroutput.Youcansimplyusetheplotcommandtoview
thesolveroutput.
4.视图求解输出。
你能够用plot命令视图解输出。
plot（t,y（:
1）,'
-'
t,y（:
2）,'
--'
）
title（'
SolutionofvanderPolEquation,\mu=1'
）;
xlabel（'
timet'
ylabel（'
solutiony'
legend（'
y_1'
y_2'
Asanalternative,youcanuseasolveroutputfunctiontoprocesstheoutput.
ThesolvercallsthefunctionspecifiedintheintegrationpropertyOutputFcn
aftereachsuccessfultimestep.UseodesettosetOutputFcntothedesired
function.SeeSolverOutputProperties,inthereferencepageforodeset,for
moreinformationaboutOutputFcn.
作为选择，你能够用求解器输出处理输出。
vanderPolEquation（Stiff）（刚性vanderPol方程）
Thisexamplepresentsastiffproblem.Forastiffproblem,solutionscan
changeonatimescalethatisveryshortcomparedtotheintervalof
integration,butthesolutionofinterestchangesonamuchlongertimescale.
Methodsnotdesignedforstiffproblemsareineffectiveonintervalswherethe
solutionchangesslowlybecausetheyusetimestepssmallenoughtoresolve
thefastestpossiblechange.
该例表示的是一个刚性问题。
对于刚性问题，解在相对积分区间非常小的时间尺度上变化，感兴趣的解在更大的时间尺度上变化。
不是专为刚性问题设计的方法在解变换缓慢的区间上是无效的，因为它用的时间步长非常小以适应分辨快速变化。
Whenμisincreasedto1000,thesolutiontothevanderPolequation
changesdramaticallyandexhibitsoscillationonamuchlongertimescale.
Approximatingthesolutionoftheinitialvalueproblembecomesamore
difficulttask.Becausethisparticularproblemisstiff,asolverintendedfor
nonstiffproblems,suchasode45,istooinefficienttobepractical.Asolver
suchasode15sisintendedforsuchstiffproblems.
当增加到1000,vdp方程的解急剧变化，在更大时时间尺度上展示振荡。
近似初值问题的解是一个困难的问题。
因为这个特别的问题是刚性的，对于如ode45这样的非刚性求解器实际上是效率非常低的。
象ode15s是适用于刚性问题的。
Thevdp1000functionevaluatesthevanderPolsystemfromtheprevious
example,butwithμ=1000.
vdp1000函数对
的vdp方程组进行赋值。
functiondydt=vdp1000（t,y）
1000*（1-y
（1）^2）*y
（2）-y
（1）];
Nowusetheode15sfunctiontosolvetheproblemwiththeinitialcondition
vectorof[2;
0],butatimeintervalof[03000].Forscalingreasons,plot
justthefirstcomponentofy（t）.
现在用ods15s求解具有初值向量[2;
0]和积分区间[0,3000]上的初值问题。
为尺度原因，仅画出
的第一分量。
[t,y]=ode15s（@vdp1000,[03000],[2;
SolutionofvanderPolEquation
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