新高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第3节椭圆及其性质模拟创新题理Word格式文档下载.docx

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C.2D.

解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1（b>

0），

则将x＝－y－4代入椭圆方程，

得4（b2＋1）y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，

∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，

∴Δ＝（8b2）2－4×

4（b2＋1）（－b4＋12b2）＝0，

即（b2＋4）·

（b2－3）＝0，

∴b2＝3.长轴长为2＝2.

答案　C

4.（2014·

临沂一模）设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·

|PF2|的值为（　　）

C.3D.2

解析　由题意椭圆焦点在y轴上，可得m＝6，由圆锥曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2＝2，||PF1|－|PF2||＝2，

两式平方作差得|PF1|·

|PF2|＝3.

答案　A

二、填空题

5.（2014·

青岛模拟）设椭圆＋＝1（m>

0，n>

0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________________.

解析　抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.

答案　＋＝1

三、解答题

6.（2016·

福建四地六校第三次联考）已知椭圆的中心在原点，，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：

y＝x＋m交椭圆于不同的两点A、B.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）若直线l不过点M，求证：

直线MA、MB的斜率互为相反数.

（1）解　设椭圆的方程为＋＝1（a>

b>

0），因为e＝，所以a2＝4b2，

又因为M（4，1）在椭圆上，

所以＋＝1，解得b2＝5，a2＝20，

故椭圆方程为＋＝1.

（2）解　将y＝x＋m代入＋＝1并整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，

Δ＝（8m）2－20（4m2－20）＞0，解得－5＜m＜5.

（3）证明　设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1＋k2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

k1＋k2＝＋＝

分子＝（x1＋m－1）（x2－4）＋（x2＋m－1）（x1－4）

＝2x1x2＋（m－5）（x1＋x2）－8（m－1）

＝－－8（m－1）＝0，

所以直线MA、MB的斜率互为相反数.

创新导向题

求椭圆方程及最值问题

7.已知椭圆M：

＋＝1（a＞0）的一个焦点为F（－1，0），左右顶点分别为A，B.

经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点.

（1）求椭圆方程；

（2）当直线l的倾斜角为45°

时，求线段CD的长；

（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值.

解　

（1）因为F（－1，0）为椭圆的焦点，

所以c＝1，又b2＝3，

所以a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.

（2）因为直线的倾斜角为45°

，所以直线的斜率为1，

所以直线方程为y＝x＋1，和椭圆方程联立得到

，消掉y，得到7x2＋8x－8＝0.

所以Δ＝288，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1x2＝－，

所以|CD|＝|x1－x2|＝.

（3）当直线l无斜率时，

直线方程为x＝－1，

此时D，C，

△ABD，△ABC面积相等，|S1－S2|＝0，

当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y＝k（x＋1）（k≠0），

设C（x1，y1），D（x2，y2），

和椭圆方程联立得到，消掉y得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

显然Δ＞0，方程有根，

且x1＋x2＝－，x1x2＝，

此时|S1－S2|＝|2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|

＝2|k（x2＋1）＋k（x1＋1）|

＝2|k（x2＋x1）＋2k|＝

因为k≠0，

上式＝≤＝

＝，（k≠±

时等号成立）

所以|S1－S2|的最大值为.

专项提升测试

模拟精选题

8.（2015·

黄冈质检）F1，F2为椭圆＋＝1（a>

0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°

，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝，

由椭圆的定义得2a＝3，因此e＝＝＝.

9.（2016·

云南师范大学附属中学第七次月考）已知点P（x，y）在椭圆＋＝1，若定点A（5，0），动点M满足||＝1，且·

＝0，则||的最小值是______.

解析　由||＝1可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线，则|PA|2＝|PM|2＋|AM|2；

得|PM|＝|PA|2－1，∴要使得||的值最小，而||的最小值为a－c＝3，此时||＝2.

答案　2

10.（2014·

枣庄模拟）设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0<

b<

1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为________.

解析　由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

答案　

11.（2014·

徐州模拟）设椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2＋＝0.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

（3）在

（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值.

解　

（1）设Q（x0，0）.∵F2（c，0），A（0，b），

则＝（－c，b），＝（x0，－b），

又⊥，∴－cx0－b2＝0，

故x0＝－，又2＋＝0，

∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－＋c，

即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝＝.

（2）∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c，

则F2＝（c，0），Q（－3c，0），A（0，c）.

∴△AQF2的外接圆圆心为（－c，0），半径

r＝|F2Q|＝2c＝a.

∴＝2c，解得c＝1，

∴a＝2，b＝，椭圆方程为＋＝1.

（3）设直线MN的方程为：

x＝my＋1，代入＋＝1得

（3m2＋4）y2＋6my－9＝0.

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴y1＋y2＝－，

y1y2＝－，

|y1－y2|＝

＝.

∴S△PMN＝|PF2|·

|y2－y1|

＝，

令＝λ≥，

∴S△PMN＝＝

≤＝，

∴△PMN面积的最大值为，

此时m＝0.

12.（2016·

广东惠州调研）已知椭圆C：

0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知动直线y＝k（x＋1）与椭圆C相交于A，B两点.

①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；

②已知点M，求证：

·

为定值.

解　

（1）＋＝1（a>

0）满足a2＝b2＋c2，又＝，×

b×

2c＝，解得a2＝5，b2＝，

则椭圆方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

①将y＝k（x＋1）代入＋＝1，

得（1＋3k2）x2＋6k2x＋3k2－5＝0，

∴Δ＝48k2＋20>

0，x1＋x2＝－，

∵AB中点的横坐标为－，

∴－＝－1，解得k＝±

.

②证明　由

（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴·

＝·

＝＋y1y2

＝＋k2

＝（1＋k2）x1x2＋（x1＋x2）＋＋k2

＝（1＋k2）＋＋＋k2

＝＋＋k2

＝（定值）.

椭圆中的定值问题

13.椭圆有两顶点A（－1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当|CD|＝时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A、B两点时，求证：

（1）解　∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），

由已知得b＝1，c＝1，所以a＝，

椭圆的方程为＋x2＝1，

当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y＝kx＋1，C（x1，y1），D（x2，y2），

将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，

则x1＋x2＝－，x1·

x2＝－，

∴|CD|＝

＝

＝＝，

解得k＝±

∴直线l的方程为y＝±

x＋1；

（2）证明　当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y＝kx＋1，（k≠0，k≠±

1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P点的坐标为，

由

（1）知x1＋x2＝－，

x1·

且直线AC的方程为y＝（x＋1），且直线BD的方程为y＝（x－1），将两直线联立，消去y得

∵－1＜x1，x2＜1，∴与异号，

＝（x1＋1）2,y（x2－1）2）＝,2－2x）·

y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝k2＋k＋1

＝－

∴与y1y2异号，与同号，

∴＝，解得x＝－k，

故Q点坐标为（－k，y0），

（－k，y0）＝1，

故·