直线方程的一般形式Word格式文档下载.docx

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点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；

两点式不能表示与坐标轴平行的直线；

截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。

它们都是二元一次方程．

我们问：

直线的方程都可以写成二元一次方程吗？

反过来，二元一次方程都表示直线吗？

（二）直线方程的一般形式

我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°

时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：

y=kx+b

当α=90°

时，它的方程可以写成x=x0的形式．

由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．

反过来，对于x、y的一次方程的一般形式

Ax+By+C=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）

其中A、B不同时为零．

（1）当B≠0时，方程

（1）可化为

这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．

（2）当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程

（1）可化为

它表示一条与y轴平行的直线．

这样，我们又有：

关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为

Ax+By+C=0

这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．

引导学生思考：

直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？

直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．

（三）例题

解：

直线的点斜式是

化成一般式得

4x+3y-12=0．

把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式

讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：

（1）直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；

（2）直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；

（3）直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．

例2　把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．

将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：

x=-6

根据直线过点A（-6，0）、B（0，3），在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形（图1-28）．

本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：

二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．

例3　证明：

三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上．

证法一　直线AB的方程是：

化简得　y=x+2．

将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．

∴A、B、C三点共线．

∵|AB|+|BC|=|AC|，

∴A、C、C三点共线．

讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．

例4　直线x+2y-10=0与过A（1，3）、　B（5，2）的直线相交于C，

此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标（即满足点C在直线AB上），然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：

解之得　λ=-3．

（四）课后小结

（1）归纳直线方程的五种形式及其特点．

（2）例4一般化：

求过两点的直线与已知直线（或由线）的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线（或曲线）求得．

五、布置作业

1．（1．6练习第1题）由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：

（2）经过点B（4，2），平行于x轴；

（5）经过两点P1（3，-2）、P2（5，-4）；

（6）x轴上的截距是-7，倾斜角是45°

．

（1）x+2y-4=0；

（2）y-2=0；

　（3）2x+1=0；

（4）2x-y-3=0；

　（5）x+y-1=0；

　（6）x-y+7=0．

3．（习题二第8题）一条直线和y轴相交于点P（0，2），它的倾斜角

4．（习题二第十三题）求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．

5．（习题二第16题）设点P（x0，y0）在直线As+By+C=0上，求证：

这条直线的方程可以写成A（x-x0）+B（y-y0）=0．

证明：

将点P（x0，y0）的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A（x-x0）+B（y-y0）=0．

6．过A（x1，y1）、B（x2，y2）的直线交直线l：

Ax+By+C=0于C，

六、板书设计

两条直线的平行与垂直

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

提问、讨论、解答．

（一）特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°

，互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°

，另一条直线的倾斜角为0°

，两直线互相垂直．

（二）斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是

l1：

　y=k1x+b1；

　l2：

　y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．

∴tgα1=tgα2．

即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°

≤α1＜180°

，　0°

≤α＜180°

，

∴α1=α2．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；

反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

eq\x（

）

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；

乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；

丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°

+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°

，所以α2≠0°

可以推出　α1=90°

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；

反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

例1　已知两条直线

　2x-4y+7=0，　L2：

　x-2y+5=0．

求证：

l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：

（1）两直线斜率相等；

（2）两直线不重合．

把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

例2求过点　A（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即　2x+3y+10=　0．

解法2　因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A（1，-4）代入有m=10，故所求直线方程为

2x+3y+10=0．

例3　已知两条直线

　2x-4y+7=0，　l2：

　2x+y-5=0．

∴l1⊥l2．

例4　求过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

解法1　已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是

就是　x-2y=0．

解法2　因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1）代入方程得m=0，所求直线的方程是

x-2y=0．

（1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；

（3）与已知直线平行的直线的设法；

（4）与已知直线垂直的直线的设法．

1．（1．7练习第1题）判断下列各对直线是否平行或垂直：

（1）y=3x+4和2x-6y+1=0；

（2）y=x与3x十3y-10=0；

（3）3x+4y=5与6x-8y=7；

（1）平行；

（2）垂直；

（3）不平行也不垂直；

（4）垂直．

2．（1．7练习第2题）求过点A（2，3），且分别适合下列条件的直线方程：

（1）平行于直线2x+5-5=0；

（2）垂直于直线x-y-2=0；

（1）2x+y-7=0；

（2）x+y-5=0．

3．（1．7练习第3题）已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：

（2）垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．

（1）另一条也没有斜率．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；

逆命题成立．

（2）另一条斜率为零．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；

4．（习题三第3题）已知三角形三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3），求这个三角形的三条高所在的直线方程．

也就是　2x+7y-21=0．

同理可得BC边上的高所在直线方程为

3x+2y-12=0．

AC边上的高所在的直线方程为

4x-3y-3=0．