高考研究报告--函数零点.doc

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函数零点问题的探究

近年来，江苏高考始终保持对函数与导数部分的重点考查.函数的零点问题几乎是必考内容.高考中涉及到零点问题的有2013年江苏第19题，2014江苏第13题，2015年第13和第19题，2016年第19题，2017年第20题.此外还有2016年山东第15题，天津第14题，全国（II）第12题，全国（I）第21题，北京第20题，广东第19题，北京第14题，湖南第15题，天津第14题等.考题多以偏难或难题形式呈现.突破这一难点成为我们考得高分的有力保障.经过搜集、研究、思考与总结，我把自己对这一类问题研究的方法介绍给大家，为大家在高考中解决这类问题提供力所能及的一点帮助.

一、引题

（2013江苏高考）设函数，，其中为实数．

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

二、借助高等数学，分离参数，数形结合

例题1（改编2013江苏高考）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为

分析：

分离参数得，转化为研究函数与函数的交点有两个时，求的取值范围.画出函数的图像，采用数形结合的方法.

一个认识：

当，时，，比如常见.

这里，用到了高等数学中一个重要的法则——罗比塔法则（L'Hopital）

设函数和满足下列条件：

①时，；

②在点的某去心邻域内和都可导，且的导数不等于0；

③时，存在或为无穷大.则时，.

注：

（1）本定理所有条件中，对的情况，结论依然成立.

（2）本定理第一条件中，时，结论依然成立.

罗比塔法则的简要运用：

如果，，，那么.或者，

如果，，，那么.

变式1.（市摸底第20题改编）若对于任意，恒成立，则的取值范围为

变式2.（周练十一第23题改编）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为

试一试：

已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为

当然我们也可以采用其它的办法（如数形结合，零点存在性定理等）.

三、巧用放缩，轻松使用零点存在性定理

解答题中，使用数形结合不得分或少得分的问题摆在我们面前.比如：

例题2已知函数，试讨论函数的零点的个数.

分析：

数形结合简单，如图,可以看出共有两个零点.

那么，解答题中我们应该如何处理呢？

解：

由题意得，

（1）时，

先减后增，，解得或（舍）即，故在上有一个零点；

（2）时，

①时，无零点；

②时，

先减后增，，所以，，令得，即，故在上有一个零点；

综上可知，共有两个零点.

下面我们利用放缩法研究含有参数的函数零点问题.

先熟悉一个常用不等式.并记住它！

例题3已知函数，试讨论函数的零点的个数，并说明理由.

解：

由题意得，

（1）时，在上无零点；

（2）时，在上单调递增，，

当，令解得使得，故此时函数有一个零点；

（3）时，

所以，函数在单调递减，在上单调递增，

①时，无零点；

②时，一个零点；

③时，，又，上一个零点，

当时，，令，，，

所以，在也有一个零点.综上可知，时函数有2个零点.

例题4已知函数有两个零点，求实数的取值范围.

解：

在这里，为了切合主题，我们研究的情况.

（1）当时，函数在单调递减，在上单调递增，而，还需要说明什么？

（2）当时，，

令，即，则，方程的根为，取小根恰好在之间，必有

所以，函数在上有一个零点.综上，.

例题5已知函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.

解：

令,分离参数得，，设函数，则原题等价于在上有且只有一个零点，求的取值范围.

，在上单调递减，单调递增，上单调递减，,

当时，，故，令得即取有，所以在上有一个零点.

所以，必有，解得.

回到开始的问题，你能解决吗？

已知函数有两个零点，求实数的取值范围.

方法总结：

（1）找特殊值；

（2）找关于的适合范围的数：

如等等；

（3）利用常见不等式放缩，如.

再试一试：

已知，讨论f（x）的零点的个数.