高考数学导数专题.doc

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导数

（选修2－2P18A7改编）曲线y＝在x＝处的切线方程为（　　）

A.y＝0 B.y＝

C.y＝－x＋ D.y＝x

解析　∵y′＝，∴y′|x＝＝－，

当x＝时，y＝，

∴切线方程为y－＝－，即y＝－x＋.

（2016·天津卷）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________.

解析　因为f（x）＝（2x＋1）ex，

所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，

所以f′（0）＝3e0＝3.

（2017·西安月考）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝________.

解析　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，

所以a＝3.

（2017·威海质检）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（　　）

A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0

C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0

解析　∵点（0，－1）不在曲线f（x）＝xlnx上，

∴设切点为（x0，y0）.

又∵f′（x）＝1＋lnx，∴

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为（1，0），∴f′

（1）＝1＋ln1＝1.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

（2015·全国Ⅱ卷）已知曲线y＝x＋lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝________.

解析　法一　∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.

∴曲线y＝x＋lnx在点（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.

∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，

∴a≠0（当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行）.

由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切于点（x0，ax＋（a＋2）x0＋1）.

∵y′＝2ax＋（a＋2），∴y′|x＝x0＝2ax0＋（a＋2）.

由解得

答案　8

（2017·西安质测）曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为（　　）

A.（1，3） B.（－1，3）

C.（1，3）和（－1，3） D.（1，－3）

解析　f′（x）＝3x2－1，令f′（x）＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P（1，3）或（－1，3），经检验，点（1，3），（－1，3）均不在直线y＝2x－1上，故选C.

（2015·天津卷）已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，＋∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′

（1）＝3，则a的值为________.

解析　f′（x）＝a＝a（1＋lnx），由于f′

（1）＝a（1＋ln1）＝a，又f′

（1）＝3，所以a＝3.

（2016·全国Ⅲ卷）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（－x）＋3x，则曲线y＝f（x）在点（1，－3）处的切线方程是________.

解析　设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝lnx－3x，又f（x）为偶函数，f（x）＝lnx－3x，

f′（x）＝－3，f′

（1）＝－2，切线方程为y＝－2x－1.

答案　2x＋y＋1＝0

（2015·陕西卷）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.

解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点（0，1）处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P（m，n），y＝（x＞0）的导数为y′＝－（x＞0），曲线y＝（x＞0）在点P处的切线斜率k2＝－（m＞0），因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为（1，1）.

答案　（1，1）

（2016·北京卷）设函数f（x）＝xea－x＋bx，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间.

解　

（1）∵f（x）＝xea－x＋bx，∴f′（x）＝（1－x）ea－x＋b.

由题意得即

解得a＝2，b＝e.

（2）由

（1）得f（x）＝xe2－x＋ex，

由f′（x）＝e2－x（1－x＋ex－1）及e2－x>0知，f′（x）与1－x＋ex－1同号.

令g（x）＝1－x＋ex－1，则g′（x）＝－1＋ex－1.

当x∈（－∞，1）时，g′（x）<0，g（x）在（－∞，1）上递减；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在（1，＋∞）上递增，

∴g（x）≥g

（1）＝1在R上恒成立，

∴f′（x）>0在R上恒成立.

∴f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）.

（2016·四川卷）已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　）

A.－4 B.－2 C.4 D.2

解析　f′（x）＝3x2－12，∴x<－2时，f′（x）>0，－22时，

f′（x）>0，∴x＝2是f（x）的极小值点.

答案　D

（2016·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝lnx－x＋1.讨论f（x）的单调性；

解　依题意，f（x）的定义域为（0，＋∞）.

f′（x）＝－1，令f′（x）＝0，得x＝1，

∴当00，f（x）单调递增.

当x>1时，f′（x）<0，f（x）单调递减.

（2015·北京卷）设函数f（x）＝－klnx，k>0.求f（x）的单调区间和极值；

解　由f（x）＝－klnx（k>0），得x＞0且f′（x）＝x－＝.由f′（x）＝0，解得x＝（负值舍去）.

f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的变化情况如下表：

x

（0，）

（，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）





所以，f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，＋∞）.

f（x）在x＝处取得极小值f（）＝.

（2017·西安调研）定积分（2x＋ex）dx的值为（　　）

A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1

解析　（2x＋ex）dx＝（x2＋ex））＝1＋e1－1＝e.故选C.

（2015·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）.讨论f（x）的单调性；

解　f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a.

若a≤0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.

若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0；

当x∈时，f′（x）＜0，

所以f（x）在上单调递增，在上单调递减.

综上，知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.