初中数学中考总复习冲刺代几综合问题知识讲解基础Word文件下载.docx

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2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．

3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．

4．解几何综合题应注意以下几点：

（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；

（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；

（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；

（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．

【典型例题】

类型一、方程与几何综合的问题

1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°

，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°

，若AE＝10，则CE的长为_________.

【思路点拨】

过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．

【答案与解析】

解：

过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，

∴∠AMB=90°

，

∵AD∥CB，∠DCB=90°

∴∠D=90°

∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°

∴四边形BCDM为矩形．

∵BC=CD，

∴四边形BCDM是正方形，

∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，

∴Rt△BEC≌Rt△BGM．

∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，

∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°

，且∠ABE=45°

∴∠CBE+∠ABM=45°

∴∠ABM+∠GBM=45°

∴∠ABE=∠ABG=45°

∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．

设CE=x，则AM=10-x，

AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，

在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，

∴100=（x+2）2+（12-x）2，

即x2-10x+24=0；

解得：

x1=4，x2=6．

故CE的长为4或6．

【总结升华】

本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．

类型二、函数与几何问题

2．如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．

（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．

（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，

（1-2）2+m=0，

1+m=0，

m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．

当x=0时，y=4-1=3，

故C点坐标为（0，3），

由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），

令y=3，有（x-2）2-1=3，解得

x=4或x=0．

则B点坐标为（4，3）．

设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b中，得

，解得

则一次函数解析式为y=x-1；

（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），

∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．

本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B点坐标是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，二次函数

的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求△MCB的面积．

【答案】

（1）设抛物线的解析式为

，根据题意，得　

，　解之，得

．

∴所求抛物线的解析式为

（2）∵C点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令

，则

∴B点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵

，∴顶点M坐标为（2，9）．

过点M作MN⊥AB于点N，则ON＝2，MN＝9．

∴

.

类型三、动态几何中的函数问题

3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；

（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？

若存在，求点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可；

（2）根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM的最小值.

（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；

②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；

③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.

（1）由OB=2，可知B（2，0），

将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得

解得：

∴抛物线的函数表达式为y=

（2）由y=

=

可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．

∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB,

作AC⊥x轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=

∴MO+MA的最小值为

答：

MO+MA的最小值为

（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．

②如图2，若OA∥BP，

设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．

设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，

∴直线BP的表达式为y=2x-4.

由

解得x1=-4，x2=2（不合题意，舍去）,

当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．

③如图3，若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则

解得

∴AB的表达式为y=x-2．

∵AB∥OP，

∴直线OP的表达式为y=x．

得

x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．

综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．

本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．

【变式】如图，直线

与x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？

若存在，求出对应的t值；

若不存在，请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

（1）证明：

y=

∵当x=0时，y=4；

当y=0时，x=3，

∴B（3，0），C（0，4），

∵A（-2，0），

由勾股定理得：

BC=

∵AB=3-（-2）=5，

∴AB=BC=5，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：

①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，

∴sin∠B=

过N作NH⊥x轴于H．

∵点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，

又∵AB=BC=5，

∴当t=5秒时，同时到达终点，

∴△MON的面积是S=

∴S=

②点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形．理由如下：

∵C（0，4），B（3，0），BC=5，

根据题意得：

∵S=4，

∴|t-2|×

0.4t=4，

∵点M在线段OB上运动，OA=2，

∴t-2＞0，

即（t-2）×

0.4t=4，化为t2-2t-10=0，

∴点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t是（

）秒．

③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，

∴cos∠B=

分为三种情况：

I、当∠NOM=90°

时，N在y轴上，即此时t=5；

II、当∠NMO=90°

时，M、N的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：

t=3.125，

III、∠MNO不可能是90°

即在运动过程中，当△MON为直角三角形时，t的值是5秒或3.125秒．

类型四、直角坐标系中的几何问题

4．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC∥A0，四个顶点坐标分别为A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，O）．一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；

同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t秒．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，PB与AQ互相平分；

（3）连接PQ，设△PAQ的面积为S，探索S与t的函数关系式．求t为何值时，S有最大值？

最大值是多少？

（1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式．

（2）根据PB与AQ互相平分可以得出四边形BQPA是平行四边形，得出QB=PA建立等量关系可以求出t值．

（3）是一道分段函数，分为Q点在AB上和在BC上讨论，根据三角形的面积公式表示出S与t的关系式，就可以求出答案.

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），代入A、B、C三点的坐标，得

∴y=

（2）∵PB与AQ互相平分，

∴四边形BQPA是平行四边形，

∴BQ=PA，

∴2t-5=4-t，

t=3．

∴当t为3时，PB与AQ互相平分.

（3）由已知得AB=5，CB=1．

①当0＜t＜

时，点Q在线段AB上运动，

设P（xP，0），Q（xQ，yQ），∠OAB=θ，sinθ=

∴当t=2时，S△PAQ有最大值为

②当

，点Q在线段BC上运动，则S△PAQ=

∴当t=

时，S△PAQ有最大值为3．

综上所述，当t=2时，S△PAQ有最大值为

【总结升华】本题是一道二次函数综合题.考察了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的求解等.

类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题

5．一个质点在第一象限及

轴、

轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到

，然后接着按图中箭头所示方向运动,即

，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.

1

2

3

x

y

…

由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．

质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．

此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.

【变式】如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．

设粒子从原点到达An、Bn、Cn时所用的时间分别为an、bn、cn，则有：

a1=3，a2=a1+1，

a3=a1+12=a1+3×

4，a4=a3+1，

a5=a3+20=a3+5×

4，a6=a5+1，

a2n-1=a2n-3+（2n-1）×

4，a2n=a2n-1+1，

∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，

a2n=a2n-1+1=4n2，

∴b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，

b2n=a2n+2×

2n=4n2+4n，

c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n，

c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，

∴cn=n2+n，

∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间，再加上44-16=28（s），

所以t=442+447+28=2008（s）．