高考数学题分类汇编三角函数与三角形.doc

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1.【2015高考福建，文6】若，且为第四象限角，则的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由，且为第四象限角，则，则

，故选D．

【考点定位】同角三角函数基本关系式．

【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在、、三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．

2.【2015高考重庆，文6】若,则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】，故选A.

【考点定位】正切差角公式及角的变换.

【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.

3.【2015高考山东，文4】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）

（A）向左平移个单位  （B）向右平移个单位

（C）向左平移个单位   （D）向右平移个单位

【答案】

【解析】因为，所以，只需要将函数的图象向右平移个单位，故选.

【考点定位】三角函数图象的变换.

【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.

4.【2015高考陕西，文6】“”是“”的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要

【答案】

【解析】，

所以或，故答案选.

【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.

【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开，求出或.2.本题属于基础题，高考常考题型.

【2015高考上海，文17】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】设直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为，因为，

所以，，，即，

因为，所以，所以或（舍去），

所以点的纵坐标为.

【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.

【名师点睛】设直线的倾斜角为，，则，，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.

5.【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由余弦定理得：

，所以，即，解得：

或，因为，所以，故选B．

【考点定位】余弦定理．

【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“”，否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即．

6.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是，最小值是．

【答案】

【解析】

，所以；.

【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.

7.【2015高考福建，文14】若中，，，，则_______．

【答案】

【解析】由题意得．由正弦定理得，则，

所以．

【考点定位】正弦定理．

【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：

（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；

（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．

8.【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.

【答案】4

【解析】由及正弦定理知：

又因为,所以，

由余弦定理得：

，所以;故填：

4.

【考点定位】正弦定理与余弦定理.

【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将转化为3a=2b结合已知即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.

9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x＋Φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为____________.

【答案】8

【解析】由图像得，当时，求得，

当时，，故答案为8.

【考点定位】三角函数的图像和性质.

【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题时，取得最小值，继而求得的值，当时，取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.

【2015高考上海，文1】函数的最小正周期为.

【答案】

【解析】因为，所以，所以函数的最小正周期为.

【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.

【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为，再根据求周期.二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.

10.【2015高考湖南，文15】已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则=_____.

【答案】

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

距离最短的两个交点一定在同一个周期内，.

【考点定位】三角函数图像与性质

【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.

11.【2015高考天津，文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．

【答案】

【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且,所以

【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.

【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:

①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线对称,则或.

12.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.

【答案】－1

【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2

2sinαcosα－cos2α＝

【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.

【名师点睛】同角三角函数（特别是正余弦函数）求值问题的通常解法是：

结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α（＝1）是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.

13.【2015高考安徽，文12】在中，，，，则.

【答案】2

【解析】由正弦定理可知：

【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.

【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力.

14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山

顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此

山的高度_________m.

【答案】.

【解析】在中，，，根据正弦定理知，，

即，所以，故应填

.

【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.

【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.

【2015高考上海，文14】已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为.

【答案】8

【解析】因为函数对任意，，，

欲使取得最小值，尽可能多的让取得最高点，考虑，

按下图取值满足条件，

所以的最小值为8.

【考点定位】正弦函数的性质，最值.

【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数对任意，，是关键.

15.【2015高考北京，文11】在中，，，，则．

【答案】

【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.

【考点定位】正弦定理.

【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即．

16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数．

（I）求的最小正周期；

（II）求在区间上的最小值．

【答案】（I）；（II）.

（Ⅱ）∵，∴.

当，即时，取得最小值.

∴在区间上的最小值为.

考点：

倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.

【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即，，函数（，）的最小正周期是．

17.【2015高考安徽，文16】已知函数

（Ⅰ）求最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为0

【解析】

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，

当时，

由正弦函数在上的图象知，

当，即时，取最大值；

当，即时，取最小值.

综上，在上的最大值为，最小值为.

【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数的性质，以及正弦函数的性质.

【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.

18.【2015高考福建，文21】已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．

（ⅰ）求函数的解析式；

（ⅱ）证明：

存在无穷多个互不相同的正整数，使得．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析．

【解析】（I）因为

．

所以函数的最小正周期．

（II）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象．

又已知函数的最大值为，所以，解得．

所以．

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．

由知，存在，使得．

由正弦函数的性质可知，当时，均有．

因为的周期为，

所以当（）时，均有．

因为对任意的整数，，

所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．

亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．

【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2