比例讲义318知识分享Word格式.docx

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b

a÷

a/b

意义

表示两个数的倍数关系。

是一种运算。

可以表示两个数的倍数关系，还可以是一个数。

联系

①性质相似。

②可以相互转化。

③比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为0。

2.比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

3.求比值和化简比

（1）求比值

求比的前项除以后项所得的商的过程，叫求比值。

比值通常用分数表示，也可以用小数和整数表示。

（2）化简比

比的前项和后项都是整数，并且互质，这样的比就是最简单的整数比。

根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比，这个过程就叫化简比，也叫比的化简。

（3）求比值和化简比的区别

内容\项目

方法

结果

求比值

求用比的前项除以后项所得的商

根据比值的意义，用前项除以后项。

是一个数。

化简比

把比化成最简单的整数比。

根据比的基本性质，前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）。

是一个比。

2、比例的意义

1.比例的意义

（1）比例

表示两个比相等的式子叫比例。

组成比例的四个数，叫比例的项。

两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内项。

（2）比和比例的区别

①比表示两个数相除的关系，有四项，前项和后项不能交换位置。

②比例表示两个比相等的关系，有四项，等号左边和右边可以交换位置。

2.比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

3.解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫解比例。

【例题讲解】

例1把4：

9的前项加8，要使比值不变，后项也要加8。

（）

【考点】考查比的性质。

【解析】根据比的性质，前项加8，变为12，即扩大到原来的3倍，要使比值不变，后项也应扩大到原来的3倍，结果为27，所以后项要加18。

例2甲数的3/4等于乙数的4/5，且甲、乙两数均不为0，则甲数与乙数的比是（）。

【考点】考查比例的基本性质。

【解析】根据题意可列出关系式：

甲数×

3/4=乙数×

4/5。

联系比例的基本性质得出：

甲数：

乙数=4/5：

3/4，化简后得：

乙数=16：

15。

例3在一次数学测验中，甲、乙两同学所得的分数比是5：

4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5：

7.甲、乙原来各得多少分？

【考点】列比例方程。

【方法点拨】设原来甲的得分是5X分，那么乙的得分是4X分，根据得分变化，可列出比例方程为：

（5X-22.5）：

（4X+22.5）=5：

7，再按解比例的方法，可求出X的值。

最后分别求出甲、乙两同学原来的分数。

【解析】设原来甲的得分是5X分，那么乙的得分是4X分，依题意：

7

（5X-22.5）×

7=（4X+22.5）×

5

35X-157.5=20X+112.5

15X=270

X=18

所以，甲同学原来的得分：

18×

5=90（分），乙同学原来的得分：

4=72（分）

【课堂练习】

1.把3/5吨：

400千克化成最简的整数比是（），比值是（）。

2.在一个比例中，已知两个内项互为倒数，其中一个外项是2.5，一个内项是3，则另一个外项是（），组成的比例式是（）。

3.将比的前项乘以2，后项除以1/2，比值将（）

A.乘2B.乘4C.除以1/2D.不变

4.甲把自己的钱的1/3给了乙以后，甲、乙两人的钱数相等，甲、乙原有钱数的比是（）。

A.1：

3B.3：

1C.3：

5D.5：

3

5.X：

3/8=8：

3/51/4：

1/7=1/3：

（4-X）

6.小华看一本书，第一天看了全书的1/3，第二天看了18页，这时已看的页数和剩下的页数之比是7：

5。

那么小华第一天看了多少也？

7.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：

2：

3．某人走各段路所用时间之比依次是4：

5：

6．已知他上坡时速度为每小时3千米．路程全长50千米．问：

此人走完全程用了多少时间？

正比例和反比例

1、正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。

若用字母X和Y表示两种相关联的量，用k（k≠0）表示它们的比值（一定），则正比例关系可以用式子Y/X=k表示。

2、反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。

若用字母X和Y表示两种相关联的量，用k（k≠0）表示它们的乘积（一定），则反比例关系可以用式子XY=k表示。

3、正、反比例的联系与区别

名称\项目

相同点

不同点

特征

关系式

正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

两种量中，相对应的两个数的比值一定。

Y/X=k（非0定值）

反比例

两种量中，相对应的两个数的积一定。

XY=k（非0定值）

例1下列各选项中，相关联的两种量成正比例关系的是（）.

A.等边三角形的周长和任意一边的长度B.圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高

C.正方体的棱长一定，正方体的体积和底面积D.利息和利率

【方法点拨】判断两种相关联的量是否成正比例，就看它们是不是比值一定，若比值一定，则成，否则，就不成；

据此逐项进行分析后再选择．

【答案详解】

A、因为等边三角形周长÷

边长=3（一定），所以等边三角形的周长和边长成正比例．

B、圆锥的底面积×

高=体积×

3（一定），是乘积一定，圆锥的底面积和高成反比例．

C、体积÷

底面积=高（一定），是比值一定，所以正方体的体积和底面积成反比例.

D、利息÷

（利率×

时间）=本金（一定），是比值一定，所以利息和利率成反比例.

故本题的答案选A。

例2下表中，已知a与b是两种相关联的量。

a

60

X

15

50

（1）当X=200时，a和b成（）比例。

（2）当X=（）时，a和b成反比例。

【方法点拨】该题考查对正比例和反比例的灵活运用，可以结合正、反比例的特征来解答。

【解析】在a与b两种量相关联的情况下，

（1）将X=200代入该表格中，有以下等式60/15=200/50=4，所以a和b成正比例。

（2）根据反比例的特征，a与b的乘积为定值，即50×

X=60×

15，解得X=18。

1.下列各式中a和b（a，b均不为0）成反比例关系的是（）。

A．a×

=1 

B．a×

8= 

C．9a=6b 

D．

=b

2.已知x，y（均不为0）满足 

1/3X= 

1/4Y 

，则X和Y成（ 

）比例关系，并且X:

Y＝（ 

）:

（ 

）.

3.下图表示一辆汽车在公路上行 

驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成（ 

）比例。

照这样计算，5.5小时行驶（ 

）千米。

4.甲加工3个零件用了40分钟，乙加工4个零件用30分钟，甲、乙工作效率之比为（）。

A.3：

4B.4:

3C.9:

16D.16:

9

5.完成一项工作，甲需要10小时，乙需要15小时，甲的工作效率比乙的工作效率高百分之几？

比例尺

1、比例尺的概念

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫这幅图的比例尺，即图上距离：

实际距离=比例尺，或图上距离/实际距离=比例尺。

2、比例尺的分类

1.数值比例尺

为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。

例如1：

100000，15：

1，1/100000。

2.线段比例尺

在图上附有一条表明数量的线段。

例如：

例1在一幅比例尺是1：

1000000的地图上量得甲、乙两地的距离是3.5厘米，甲、乙两地的实际距离是（）千米。

【方法点拨】考查灵活运用“图上距离：

实际距离=比例尺”来解决实际问题。

解：

比例尺1：

1000000表示地图上的1厘米是实际的1000000厘米，则地图上的3.5厘米表示实际距离为3500000厘米，即35千米。

例2在一副比例尺是1：

3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8cm。

在另一幅地图上量得甲、乙两地的距离是6cm，这幅地图的比例尺是多少？

【方法点拨】考查“图上距离/实际距离=比例尺”的灵活运用。

先根据已知地图的比例尺和图上距离，可求得甲、乙两地的实际距离为8÷

（1/3000000）=24000000（cm）；

再利用公式求得该地图的比例尺是6/24000000=1/40000000，即这幅地图的比例尺为1：

4000000。

专题综合测试

一、填空。

（4×

2分）

1.北京到天津的实际距离是120千米，在一幅地图上量得两地的图上距离是2厘米，那么这幅地图的比例尺是（）。

2.一个长方形的周长是130厘米，长与宽的比是3：

2，那么该长方形的面积是（）平方厘米．

3.已知5x=3y，那么x和y成（）比例关系；

若5：

x=y：

3，那么x和y成（）比例关系。

4.若a：

b=1：

3，b：

c=2：

5，且a+b+c=69，则a=（）。

二、判断。

（3×

5.3.5：

0.7的比值是5：

1。

6.比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系。

7.一条长2.5千米的飞机跑道，如果把它画在比例尺是1：

50000的图纸商，这条跑道长0.5厘米。

三、选择。

8.比的前项扩大到原来的3倍，后项除以1/3，比值（）

A.扩大到原来的3倍B.扩大到原来的9倍C.缩小到原来的1/3D.不变

9.《小学生学习报》全国定价每份39.6元，则六

（1）班订阅份数和总钱数（）关系。

A.成正比例B.成反比例C.不成比例D.无法确定

10.在下面各比中，能与1/5：

1/7组成比例的是（）。

A.1/：

1/5B.5：

7C.7：

5D.0.5：

0.7

11.红旗面数是黄旗的5/4倍，那么红旗面数和两种彩旗总数的比是（）。

A.5：

4B.5：

9C.9：

5D.4：

四、计算。

（18分）

12.化简下面各比并求比值。

（6×

0.5：

43/2：

7/42/5：

0.20.7：

0.254.5：

2.75厘米：

1.5厘米

13.解比例。

（2×

3分）

（1）0.6/12=1.5/X

（2）6：

X=1/5：

1/3

五、解决问题。

（1×

8分）

14.有大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯。

如果记号①表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，记号②表示5大杯、4中杯、3小杯容量之和，那么记号①与记号②的容量之比是多少？