高考数学理一轮复习文档 第六章 不等式 第3讲 基本不等式 Word版含答案.docx

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高考数学理一轮复习文档第六章不等式第3讲基本不等式Word版含答案

第讲　基本不等式

．基本不等式≤

（）基本不等式成立的条件：

≥，≥．

（）等号成立的条件：

当且仅当＝时取等号．

．算术平均数与几何平均数

设>，>，则，的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

．利用基本不等式求最值问题

已知>，>，则

（）如果积是定值，那么当且仅当＝时，＋有最小值是．（简记：

积定和最小）

（）如果和＋是定值，那么当且仅当＝时，有最大值是．（简记：

和定积最大）

．辨明两个易误点

（）使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可．

（）连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

．活用几个重要的不等式

＋≥（，∈）；＋≥（，同号）；

≤（，∈）；≤（，∈）．

．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

．若，∈，且>，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

．＋>．＋≥

＋>＋≥

　因为＋－＝（－）≥，所以错误．对于，，当<，<时，明显错误．

对于，因为>，

所以＋≥＝.

．（·郑州模拟）设>，>，若＋＝，则＋的最小值是（　　）

．

．．

　由题意＋＝＋＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝＝时，取等号，所以最小值为.

．若>，则＋的最小值为．

＋＝－＋＋≥＋＝.

当且仅当－＝，即＝时等号成立．

若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是．

设矩形的长为，宽为，则＋＝，

所以＝≤＝，当且仅当＝＝时取等号．

　利用基本不等式求最值（高频考点）

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．

高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：

　　（）知和求积的最值；

（）知积求和的最值；

（）求参数的值或范围．

　（）（·高考湖南卷）若实数，满足＋＝，则的最小值为（　　）

．

．．

（）（·甘肃定西通渭榜罗中学期末）已知＞，＞，且（＋）＝，则＋的最小值是．

（）（·高考重庆卷）设，＞，＋＝，则＋的最大值为．

【解析】　（）由＋＝知>，>，

所以＝＋≥，即≥，

当且仅当即＝，＝时取“＝”，

所以的最小值为.

（）因为（＋）＝，所以＋＝，

又因为＞，＞，

所以＋＝（＋）＝＋＋

≥＋＝.

当且仅当＝，即＝＝时取“＝”．

（）令＝＋，则＝＋＋＋＋＝＋≤＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝，

当且仅当＋＝＋时取等号，此时＝，＝.

所以＝＝.

【答案】　（）　（）　（）

利用基本不等式求最值需满足的三个条件

（）“一正”就是各项必须为正数；

（）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；

（）“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．　

角度一　知和求积的最值

．设＞，＞，且＋＝，则的最大值为（　　）

．．

．．

≤＝＝，当且仅当＝＝时等号成立，故选.

角度二　知积求和的最值

．设等差数列{}的公差是，其前项和是，若＝＝，则的最小值是（　　）

．＋．－

　因为＝＋（－）＝，＝，

所以＝＝

≥＝，当且仅当＝时取等号．

所以的最小值是，故选.

角度三　求参数的值或范围

．（·福建四地六校联考）已知函数（）＝＋＋的值域为（－∞，]∪由题意可得＞，①当＞时，（）＝＋＋≥＋，当且仅当＝时取等号；②当＜时，（）＝＋＋≤－＋，当且仅当＝－时取等号．所以解得＝，故选.

　利用不等式解决实际问题

　某人准备在一块占地面积为平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为米的小路（如图中阴影部分所示），大棚占地面积为平方米，其中∶＝∶.

（）试用，表示；

（）若要使的值最大，则，的值各为多少？

【解】　（）由题意可得，＝，＝，则＝＋＋＝＋，

所以＝（－）＋（－）＝（－）＝（－）＝－－（＞，＞）．

（）法一：

＝－－×

＝－≤－

＝－＝，

当且仅当＝，即＝时等号成立，取得最大值，此时＝＝，

所以当＝，＝时，取得最大值．

法二：

设＝（）＝－（＞），

则′（）＝－＝，

令′（）＝，则＝，

当＜＜时，′（）＞；当＞时，′（）＜.

所以当＝时，取得最大值，此时＝，

所以当＝，＝时，取得最大值．

　某商品每件成本价为元，售价为元，每天售出件．若售价降低成（成＝），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．

（）设该商店一天的营业额为，试求与之间的函数关系式＝（），并写出定义域．

（）若要求该商品一天营业额至少为元，求的取值范围．

（）由题意得＝·.

因为售价不能低于成本价，所以－≥，得≤.所以＝（）＝（－）（＋），定义域为．

（）由题意得（－）（＋）≥，化简得－＋≤.解得≤≤.所以的取值范围是.

——忽视最值取得的条件致误

　（）已知＞，＞，且＋＝，则＋的最小值是．

（）函数＝－－（＜）的最小值为．

【解析】　（）因为＞，＞，

所以＋＝（＋）

＝＋＋≥＋（当且仅当＝时取等号），

所以当＝＋，＝＋时，（＋）＝＋.

（）因为＜，所以＝－－＝＋（－）＋≥＋＝＋，当且仅当＝－时取等号，故的最小值为＋.

【答案】　（）＋　（）＋

　利用基本不等式求最值的注意事项

（）在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．如本例（）易忽视＜.

（）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件是否一致．在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

　.（·合肥市第二次质量检测）若，都是正数，则的最小值为（　　）

．．

．．

　因为，都是正数，所以＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝时取等号，选项正确．

．当＜＜时，函数＝的最大值为．

＝

＝

＝－＋

≤－＋＝.

当且仅当＝，

即＝时，＝.

．已知，都是正实数，函数＝＋的图象过点（，），则＋的最小值是．

依题意得＋＝＋＝，＋＝·（＋）＝＋≥＋＝＋，当且仅当＝，即＝－，＝－时取等号，所以＋的最小值是＋.

＋

．当＞时，函数（）＝有（　　）

．最小值　　　　　　　．最大值

．最小值．最大值

（）＝≤＝.

当且仅当＝，＞即＝时取等号．

所以（）有最大值.

．设非零实数，，则“＋≥”是“＋≥”成立的（　　）

．充分不必要条件

．必要不充分条件

．充要条件

．既不充分也不必要条件

　因为，∈时，都有＋－＝（－）≥，即＋≥，而＋≥⇔>，所以“＋≥”是“＋≥”的必要不充分条件．

．（·安徽省六校联考）若正实数，满足＋＝，且≥恒成立，则的最大值为（　　）

．．

．．

　因为正实数，满足＋＝，

所以≤＝＝，所以≥；

又≥恒成立，所以≤，即的最大值为.

．若（＋）＝，则＋的最小值是（　　）

．＋．＋

．＋．＋

　由题意得所以

又（＋）＝，

所以（＋）＝（），

即＋＝，故＋＝.

所以＋＝（＋）＝＋＋

≥＋＝＋.

当且仅当＝时取等号．故选.

．一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为（　　）

．

　设菜园的长为，宽为，则＋＝，面积＝，

因为＋≥.

所以≤＝.

当且仅当＝＝，

即＝，＝时，

＝，故选.

．不等式＋<＋对任意，∈（，＋∞）恒成立，则实数的取值范围是（　　）

．（－，）．（－∞，－）∪（，＋∞）

．（－，）．（－∞，－）∪（，＋∞）

　根据题意，由于不等式＋<＋对任意，∈（，＋∞）恒成立，则＋<，因为＋≥＝，当且仅当＝时等号成立，所以＋<，求解此一元二次不等式可知－<<，所以的取值范围是（－，）．

．已知，∈（，＋∞），若＝，则＋的最小值为；若＋＝，则的最大值为．

由基本不等式得＋≥＝，当且仅当＝＝时取到等号；≤＝，当且仅当＝＝时取到等号．

．（·郑州市第二次质量检测）已知正数，满足＋－＝，则＋的最小值是．

由题意得，＝，所以＋＝＋＝＝≥，当且仅当＝＝时，等号成立．

．若实数，满足－－＋＝（＞），则（＋）（＋）的最小值是．

因为－－＋＝，所以＝＝＋.

又因为＞，所以＞.

所以（＋）（＋）＝＋＋＋＝＋＋＝（－）＋＋.

因为－＞，

所以（－）＋＋≥＋＝.

当且仅当（－）＝（＞），即＝时取等号．

．（·厦门模拟）若当>－时，不等式≤＋恒成立，则的取值范围是．

设（）＝＋＝（＋）＋－，

因为>－，所以＋>，

故（）≥－＝－，

当且仅当＝－时等号成立，

所以的取值范围是（－∞，－]．

（－∞，－]

．已知>，>，且＋－＝，求

（）的最小值；

（）＋的最小值．

（）由＋－＝，

得＋＝，

又>，>，则＝＋≥＝.

得≥，

当且仅当＝，＝时，等号成立．

所以的最小值为.

（）由＋－＝，得＋＝，

则＋＝·（＋）

＝＋＋≥＋＝.

当且仅当＝且＝时等号成立，

所以＋的最小值为.

.

行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离（）与汽车的车速（）满足下列关系：

＝＋（为常数，且∈），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中

（）求的值；

（）要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？

（）由试验数据知，＝＋，＝＋，

所以解之得.

又∈，所以＝.

（）由（）知，＝＋，≥.

依题意，＝＋≤，

即＋－≤，解得－≤≤.

因为≥，所以≤≤.

故行驶的最大速度为.

．（·湖南省东部六校联考）如图所示，已知点是△的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且＝，＝，则＋的最小值为（　　）

．

　由已知可得＝×（＋）＝＋＝＋，又、、三点共线，故＋＝，所以＋＝，则＋＝（＋）··＝≥（当且仅当＝时取等号）．故选.

．已知集合＝{－－＞}，＝{＋＋≤}，若∩＝{＜≤}，∪＝，则＋的最小值为．

因为－－＞，所以＜－或＞，

因为∩＝{＜≤}，∪＝，所以＝{－≤≤}，所以－和是＋＋＝的根，

所以－＋＝－，（－）×＝，

所以＝－，＝－，且＞，

所以＋≥＝＝＝，

当且仅当＝时取等号．

．已知>，>，且＋＝.

求：

（）＝＋的最大值；

（）＋的最小值．

（）因为>，>，

所以由基本不等式，得＋≥.

因为＋＝，所以≤，≤，

当且仅当＝时，等号成立．

因此有解得

此时有最大值.

所以＝＋＝（）≤＝.

所以当＝，＝时，＝＋有最大值.

（）因为>，>，

所以＋＝·

＝≥

＝.

当且仅当＝时，等号成立．

由解得

所以＋的最小值为.

．（·苏州一模）如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为°，，的长度均大于米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．

（）若围墙，总长度为米，如何围可使得三角形地块的面积最大？

（）已知段围墙高米，段围墙高米，造价均为每平方米元．若围围墙用了元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

设＝米，＝米．

（）则＋＝，△的面积＝·°＝.所以≤＝.

当且仅当即＝＝时取“＝”．

（）由题意得×（＋）＝，即＋＝.要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，所以＝＋－°＝＋＋＝（－）＋＋（－）＝－＋＝＋，当＝时，有最小值，此时＝.