苏教版九年级数学下二次函数期末复习练习与三角形存在性问题Word文档格式.docx

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解决二次函数中直角三角形存在性问题的方法：

1．找点：

在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点；

以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；

以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点．

三、二次函数与直角三角形

解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：

（1）假设结论成立，分情况讨论。

探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目）或涉及到动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，从而分情况讨论；

（2）确定分类标准：

在分类时，先要找出

分类的标准，看两个三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据

其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；

若没有，则分别按三种角来分类讨论；

（3）建立关系式并计算。

由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标；

五、二次函数与三角形的存在性问题

5.1.等腰三角形的存在性问题

练习1.

如图,抛物线

的顶点为E,该抛物线与x轴交于A（−1,0）、B（3,0）两点,与y轴交于点C,直线

与y轴交于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：

△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形?

若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；

若不存在，请说明理由。

练习2.

如图甲,直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B.点C,经过B. 

C两点的抛物线

与x轴的另一个交点为A，顶点为P.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形?

若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）当0<

x<

3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）.

5.2.直角三角形的存在性问题

如图,已知抛物线

与x轴交于B,E两点,与y轴交于点A,抛物线的对称轴是直线x=1,其顶点为D.

（1）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P使△PAE为直角三角形？

若存在，求出t的值；

若不存在，说明理由

（2）若抛物线

与一直线交于点B,D（2,3）连接AB，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使∠EBD=∠BAO，若存在，请求出点E的坐标；

如图所示,将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中,其顶点A. 

B均落在坐标轴上,一抛物线过点A. 

B,且顶点为P（1,4）

（2）点M为抛物线上一点,恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；

（3）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形?

若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；

5.3.等腰直角三角形的存在性问题

经过A（4,0）,B（1,3）两点，点B. 

C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

（2）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形?

若存在，请求出点M、N的坐标；

如图，已知直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线

经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;

同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒

个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒。

（2）问：

当t为何值时，△APQ为等腰直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：

是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?

若存在，请求出t的值；

5.4.全等三角形的存在性问题

如图,已知直线y=kx−6与抛物线

相交于A,B两点,且点A（1,−4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。

（2）在

（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等?

若存在，求出点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。

5.5.相似三角形的存在性问题

如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. 

C,经过B. 

与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2.

（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；

（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似?

若存在，求出点Q的坐标；

如图，抛物线

与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.

（1）试求点A，B，C的坐标；

（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°

，得到△BAD.

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使以B，M，P为顶点的三角形与△BAD相似？

若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；

若不存在，请说明理由.

练习3.

已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（−3,0）和点B（1,0）,与y轴相交于C（0,−3m）（m>

0），顶点为点D.

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图②，当m取何值时，以A.D. 

C三点为顶点的三角形与△OBC相似?

练习4.

与x轴交于A（−1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C，点M为该抛物线的顶点，连接BC、CM、BM.

（2）△BCM是直角三角形吗?

请说明理由；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A. 

C为顶点的三角形与△BCM相似?

若存在，请求出点P的坐标；