高考数学分类汇编专题十四不等式选讲.docx

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不等式选讲

1.（2017·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝－x2＋ax＋4，g（x）＝|x＋1|＋|x－1|.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

2．（2016·新课标全国卷Ⅲ，24）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|.当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

]

3.【2018全国一卷23】已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

4.【2018全国二卷23】设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

5.【2018全国三卷23】设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

6.【2018江苏卷21D】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．

参考答案

解析：

（1）当a＝1时，不等式f（x）≥g（x）等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①

当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；

当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，

从而1＜x≤.

所以f（x）≥g（x）的解集为x－1≤x≤.

（2）当x∈[－1,1]时，g（x）＝2，

所以f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时f（x）≥2.

又f（x）在[－1,1]的最小值必为f（－1）与f

（1）之一，所以f（－1）≥2且f

（1）≥2，得－1≤a≤1.

所以a的取值范围为[－1,1].

解析：

（1）当a＝2时，f（x）＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f（x）≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

（2）当x∈R时，f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，

所以当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞）．

1.解：

（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

2.解：

（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

3.解：

（1）的图像如图所示．

（2）由

（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

4.证明：

由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．