上海市静安区届高三上学期期末考试数学文试题.docx

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上海市静安区届高三上学期期末考试数学文试题

静安区2019学年高三年级第一学期期末

数学理试卷

（试卷满分150分考试时间120分钟）2019.1

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合，，则.

2．（理）已知，，则的值是.

3．当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是.

4．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为.

5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种.（结果用数值表示）

6．（理）不等式的解集是.

7．若（其中、为有理数），则.

8．（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是.

9．（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为.

10．设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为.

11．（理）已知，且，则的值用表示为.

12．（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为.

13．（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为.

14．（理）已知不等式的解集为，则，且的值为.

 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．（理）“”是“直线与直线互相垂直”的（）

A．充要条件；　　　　　　　　B．充分不必要条件；

C．必要不充分条件；　　　　　D．既不充分也不必要条件.

16．已知命题：

如果，那么；命题：

如果，那么；命题：

如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（）

①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.

②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.

③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.

A．①③；B．②；C．②③D．①②③

17．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）

A．；B．；C．；D．.

18．（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）

A．或；B．0；C．0或；D．0或.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：

弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与

（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？

（结果保留两位小数）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

（理）

（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；

（2）设为正数，且，求证：

.

21．（理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知双曲线（其中）.

（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；

（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．

（1）求证：

数列（）为等比数列；

（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；

（3）（理）若

（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.

（理）已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：

.

2019学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准

 1．；2．（理）；3．

4．；5．（理）；　　6．（理）；

7．169；8．（理）；9．（理）12；

10．或.11．（理）；

12．（理）；　　13．（理）；

14．（理）4；

15．（理）B；16．A．17．C18．D

19解：

（1）扇形半径，………………………2分

扇形面积等于………………………5分

弧田面积=（m2）………………………7分

（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得

（弦矢+矢2）=.………………………10分

平方米………………………12分

 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.

20（理）

（1）解法1：

==………………3分

因为、是不全为零的实数，所以，即。

………………………6分

解法2：

当时，；………………………2分

当时，作差：

；

又因为、是不全为零的实数，所以当时，。

综上，。

………………………6分

（2）证明：

当时，取得等号3。

………………………7分

作差比较：

>0

所以， ………………………14分

（文）证明：

（1）………………………3分

 ………………………6分

（2）由

（1）得

（）……………………8分

 可得

………10分

 ………………………12分

 即.

 ………………………14分

21（理）

（1）设点在双曲线上，由题意得：

。

由双曲线的性质，得。

……………1分

（i）若，则当时，有最小值。

最小值，所以。

……………3分

（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。

……………6分

（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………7分

直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………8分

设，

解法1：

将代入双曲线方程，整理得：

，即

………………………10分

所以，………………………11分

=.……………14分

 解法2：

将代入双曲线方程，整理得：

，………………………10分

，，………………………11分

点到直线距离，

 △的面积

 =.……………14分

 21文：

（1）解法1：

设直线方程为，

代入双曲线方程得：

，…2分

由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：

，…4分

 所以，即得点的坐标所满足的方程.…………5分

注：

或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.

 解法2：

设、两点坐标分别为、，则有，，两式相减得：

（*）.……2分

又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得

.……4分

代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.………………5分

（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………6分

直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………7分

设，

解法1：

将代入双曲线，整理得：

，即

………………………9分

所以，………………………10分

=.………………………13分

 所以，.

 ………………………14分

解法2：

参见理科解法2。

22

（1）由已知，有，

当时，；………………………2分

 当时，有，

两式相减，得，即，

综上，，故数列是公比为的等比数列；…………4分

（2）由

（1）知，，则，

于是数列是公差的等差数列，即，……………………7分

则

=……………………10分

（3）（理）由解得：

。

………………………12分

………………………14分

，当时，，函数的值域为。

………………………16分

（3）（文）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则．………………………14分

………………………16分

23（理）

（1）转化为求函数在上的值域，

 该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。

所以的取值范围为

。

………………………4分

（2）的定义域为，………………………5分

 定义域关于原点对称，又，，所以函数为奇函数。

………………………6分

下面讨论在上函数的增减性.

任取、，设，令，则，，所以

因为，，，所以

.………………………7分

又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.………………………8分

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.……………………9分

（3）；……………………10分

因为，，所以，。

……11分

 设，时，则，………12分

且，………13分

 由二项式定理，……………………14分

所以，

从而。

……………………18分

23（文）：

（1）………………………4分

（2）由

（1），定义域为.………………………5分

讨论在上函数的单调性.

任取、，设，令，则，，所以

因为，，，所以，，

所以.………………………7分

 又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是增函数.………………………8分

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是增函数.……………………9分

（3）当时，要使的值域是，则，所以，即，………………………11分

而，上式化为，又，所以当时，；当时，；………………………13分

因而，欲使的值域是，必须，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以解得，. ………………………18分

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