13轴对称教案1Word格式文档下载.docx

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2013年10月日

13.1.1轴对称

一、教学目标

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．

二、教学重点：

轴对称图形的概念．

三、教学难点：

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．

四、教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！

初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：

轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．

Ⅱ．导入新课

出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

小结：

对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

我们的黑板、课桌、椅子等．

我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

如课本的图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？

窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．

结论：

如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？

与同伴进行交流．

位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．

由此可以得到轴对称图形的特征：

一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

结果：

图

（1）有四条对称轴；

图

（2）有四条对称轴；

图（3）有无数条对称轴；

图（4）有两条对称轴；

图（5）有七条对称轴．

（1）

（2）（3）（4）（5）

投影展示，大家想一想，你发现了什么？

像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

Ⅲ．随堂练习：

课本P30练习和P31练习．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．

Ⅴ．作业：

课本P36习题12．1第1、2、6、7、8题．

Ⅵ．活动与探究：

课本P31思考．

成轴对称的两个图形全等吗？

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？

这两个图形对称吗？

过程：

在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．

成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．

教学反思：

13.1.2轴对称的性质

一、教学目标

1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

2．探究线段垂直平分线的性质．

3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．

二、教学重点

1．轴对称的性质．

2．线段垂直平分线的性质．

三、教学难点

体验轴对称的特征．

上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

今天继续来研究轴对称的性质．

观看投影并思考．

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．

AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°

．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．

归纳图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

[探究1]

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

证明．

证法一：

利用判定两个三角形全等．

如下图，在△APC和△BPC中，

△APC≌△BPC

PA=PB.

证法二：

利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

带着探究1的结论我们来看下面的问题．

[探究2]

如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

活动：

1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．

2．讨论：

要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？

探究过程：

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．

2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

Ⅲ．随堂练习：

课本P121练习1、2．

Ⅳ．课时小结

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

Ⅴ．课后作业：

课本习题14．1─3、4、9题．

13.1.3线段垂直平分线的性质

1、探究线段垂直平分线的性质.

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

1、线段垂直平分线的性质及其应用.

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答实际问题.

（一）新课学习

[探究1]课本P33用平面图形将上述问题进行转化．

作线段AB，取其中点P，过P作直线L，在直线L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．

图甲图乙

讨论：

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB．

2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB．当AP2=BP2时，亦然．

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究1]中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

通过探究可以得到：

与一条线段两个端点，在这条线段的.所以，线段的垂直平分线可以看成是.

能用我们已有的知识来证明这个结论吗？

小组讨论给出证明．

已知条件：

推出结论：

证明：

做一做：

图形

已知条件

推出结论

直线L⊥AB,垂足为C,AC=CB，点P在L上

点P在直线L上，AP=PB

区分线段垂直平分线的性质与判定．

（二）例题教学

【例】给出以下两个定理：

①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

　　应用上述定理进行如下推理，如图3，直线L是线段MN的垂直平分线．

　　∵点A在直线L上，

　　∴AM=AN（　　　）．

　　∵BM=BN，

　　∴点B在直线Ll上（　　　）．

∵CM≠CN.

∴点C不在直线L上．

　　这是因为如果点C在直线L上，那么CM＝CN（　　　）．

　　这与条件CM≠CN矛盾．

　　以上推理中各括号内应注明的理由依次是（　　）

A．②①①　　B．②①②　　C．①②②　　D．①②①

（三）课堂小结

这节课探究了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

（四）课外作业

1、已知：

如图，五边形ABCDE中，AB=AE，

BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．

求证：

AF⊥CD．

13.1.4对称轴的画法

1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴.

2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.

作出轴对称图形的对称轴．

探索轴对称图形对称轴的作法．

（一）知识回顾

1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线．

（二）学习新知

思考：

有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？

归纳：

作轴对称图形的对称轴的方法是：

找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．

如何作出线段的垂直平分线？

你能说出其中的道理吗？

【例】如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?

已知：

线段AB（如图）．

求作：

线段AB的垂直平分线．

作法：

1．分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．

议一议：

在上述作法中，为什么要以“大于

AB的长”为半径作弧？

（三）课堂练习

1、如图，在五角星上作出一条对称轴．

2、画出下图甲中的各图的对称轴．

3、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半．

第3题

3、如图，已知两条公路AO、BO交于O，有两个村庄M、N,要修建一座仓库，使仓库到两条公路的距离相等，并且到两个村庄的距离相等，试在图中找到位置并标出．

4、如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：

（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

5、如图，△ABC是轴对称图形，且B与C是对应点，作出这个三角形的对称轴．

（要求尺规作图，并写出作法）

（四）课堂小结

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：

找出轴对称图形的任意一对，连结这对，作出连线的，该就是这个轴对称图形的一条对称轴．

13.2.1作轴对称图形

1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．

2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．

1．轴对称变换的定义．

2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

三、教学难点

1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．

2．利用轴对称进行一些图案设计．

Ⅰ．设置情境，引入新课

在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．

将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．

准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．

Ⅱ．导入新课

由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案。

对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．

下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？

改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？

同学们互相交流一下．

结论：

由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；

新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；

连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．

取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．

（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？

相间的两个图案又有什么关系？

说说你的理由．

（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？

三个图案为一组呢？

（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？

它是轴对称图形吗？

先猜一猜，再做一做．

注：

为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．

（三）回顾本节课内容，然后小结．

Ⅳ．课时小结

本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．

Ⅴ．动手并思考

（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°

角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．

（1）你会得怎样的图案？

（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？

应用学过的轴对称的知识试一试．

（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？

（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？

3次呢？

（二）自己设计并制作一个花边．

五、作业：

P45习题12.2第1、5题

12.3.2用坐标表示对称轴

1.在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系.

2.再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形.

用坐标表示轴对称.

利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点.

（一）复习轴对称图形的有关性质

（二）新授

1．学生探索：

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标（x,－y）；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标（－x,y）；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标（－x,－y）.

2．例3四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5,1）、B（－2,1）、C（－2,5）、D（－5,4），分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．

（1）归纳：

与已知点关于y轴或x轴对称的点的坐标的规律.

（2）学生画图.

（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．

3.探究问题

分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系.

（2）若△P

Q

R

中P

（x

y

）关于x=1（记为m）轴对称的点的坐标P

），则

，y

=y

.

若△P

）关于y=－1（记为n）轴对称的点的坐标P

），则x

=x

，

=n．

（三）练习：

课本P44第1、2、3题

（四）作业：

课本P45第2、3、4、6题