届高三高考数学一轮复习讲义全套打包下载可编辑第10章 圆锥曲线Word文件下载.docx

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（2）已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.

1．概念辨析

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（　　）

（2）方程mx2＋ny2＝1（m>

0，n>

0且m≠n）表示的曲线是椭圆．（　　）

（3）椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）．（　　）

（4）＋＝1（a>

0）与＋＝1（a>

0）的焦距相同．（　　）

答案　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）√

2．小题热身

（1）椭圆＋＝1的离心率是（　　）

A.B．

C．D．

答案　B

解析　由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.

（2）直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）B．（1,3）∪（3，＋∞）

C．（3，＋∞）D．（0,3）∪（3，＋∞）

解析　把y＝x＋2代入＋＝1得3x2＋m（x＋2）2＝3m，整理得（3＋m）x2＋4mx＋m＝0，

由题意得Δ＝（4m）2－4m（3＋m）＝12m（m－1）>

0且3＋m≠0，

又因为m>

0且m≠3，所以m>

1且m≠3，所以m的取值范围是（1,3）∪（3，＋∞）．

（3）（2015·

全国卷Ⅰ）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

答案　2＋y2＝

解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点（4,0），（0,2），（0，－2），设圆心为（a,0），其中a>

0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.

（4）已知动点P（x，y）的坐标满足＋＝16，则动点P的轨迹方程为________．

答案　＋＝1

解析　由已知得点P到点A（0，－7）和B（0,7）的距离之和为16，且16>

|AB|，所以点P的轨迹是以A（0，－7），B（0,7）为焦点，长轴长为16的椭圆．

显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.

题型　椭圆的定义及应用

1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为（　　）

A．8B．4

C．4D．2

答案　A

解析　因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，

∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝（AF1＋AF2）＋（BF1＋BF2）＝4a＝8.

2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A（1,1），B（0，－1），则|PA|＋|PB|的最大值为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

解析　如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B（0，－1）和B′（0,1），连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋（4－|PB′|）＝4＋（|PA|－|PB′|）．

∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，

∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.

当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．

综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.

3．已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>

0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°

，S△PF1F2＝3，则b＝________.

答案　3

解析　设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，则由椭圆的定义可得t1＋t2＝2a，①

在△F1PF2中∠F1PF2＝60°

，

所以t＋t－2t1t2·

cos60°

＝4c2，②

由①2－②得3t1t2＝4a2－4c2＝4b2，

所以S△F1PF2＝t1t2·

sin60°

＝×

b2×

＝3，所以b＝3.

利用定义求焦点三角形及最值的方法

1．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，则|y1－y2|＝（　　）

A．3B．6

C．9D．12

解析　画出图形如图所示．

∵椭圆方程为＋＝1，

∴a＝3，b＝，c＝2.

又△ABF2的内切圆的面积为π，

∴△ABF2内切圆的半径r＝1，

∴S△ABF2＝×

（|AB|＋|BF2|＋|AF2|）×

r

4a×

r＝2ar＝6，

又S△ABF2＝×

|y1－y2|×

2c＝2|y1－y2|，

∴2|y1－y2|＝6，∴|y1－y2|＝3.

2．（2018·

安徽皖江模拟）已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：

0）的左、右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．

答案　2

解析　解法一：

∵△PF1F2的面积为|PF1||PF2|·

sin∠F1PF2≤2＝a2.又∵2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为2.

解法二：

由题意可知2a＝4，解得a＝2.当P点到F1F2距离最大时，S△PF1F2最大，此时P为短轴端点，

S△PF1F2＝·

2c·

b＝bc.

又∵a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤＝2，

∴当b＝c＝时，△PF1F2面积最大，为2.

题型　椭圆的标准方程及应用

1．“2<

m<

6”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　方程＋＝1表示椭圆⇔

解得2<

6且m≠4，

所以“2<

6”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是（－，0），则椭圆的标准方程为________．

解析　由题意得，该椭圆的焦点在x轴上，

c＝，2a＋2b＝10，即a＋b＝5，

又因为a2－b2＝c2＝5，

所以a－b＝1，解得a＝3，b＝2.

所以椭圆的标准方程是＋＝1.

3．已知A，B是圆2＋y2＝4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．

答案　x2＋y2＝1

解析　如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>

|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.

1．定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：

（1）b2＝a2－c2；

（2）椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；

（3）椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.

2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤

提醒：

当椭圆的焦点位置不明确时，可设为＋＝1（m>

0，m≠n），也可设为Ax2＋By2＝1（A>

0，B>

0，且A≠B）．可简记为“先定型，再定量”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．与圆C1：

（x＋3）2＋y2＝1外切，且与圆C2：

（x－3）2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．

解析　设动圆的半径为r，圆心为P（x，y），则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.

所以|PC1|＋|PC2|＝10>

|C1C2|，

所以点P的轨迹是以C1（－3,0），C2（3,0）为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为＋＝1.

2．已知中心在坐标原点的椭圆过点A（－3,0），且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．

答案　＋＝1或＋＝1

解析　若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.

题型　椭圆的几何性质

1．已知椭圆C1：

＋＝1，C2：

＋＝1，则（　　）

A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等

答案　D

解析　由两个椭圆的标准方程可知：

C1的顶点坐标为（±

2，0），（0，±

2），长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；

C2的顶点坐标为（±

4,0），（0，±

2），长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.

全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°

，则C的离心率为（　　）

解析　依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°

可得P点的坐标为（2c，c）．

又因为kAP＝，即＝，所以a＝4c，e＝，故选D.

条件探究　将举例说明2中点P满足的条件改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2＝90°

”，求C的离心率的取值范围．

解　解法一：

椭圆上存在点P使∠F1PF2＝90°

⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点⇔b≤c，如图，由b≤c，得a2－c2≤c2，即a2≤2c2，解得e＝≥，又0<

e<

1，故椭圆C的离心率的取值范围是.

设P（x0，y0）为椭圆上一点，则＋＝1.

＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0），

若∠F1PF2＝90°

，则·

＝x＋y－c2＝0.

∴x＋b2＝c2，∴x＝.

∵0≤x≤a2，∴0≤≤1.

∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<

1.

1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧

（1）注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．

（2）利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．

2．求椭圆离心率的方法

（1）直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．

（2）由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．如举例说明2.

（3）由椭圆的定义求离心率．e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．（2018·

长沙模拟）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（　　）

A.＋＝1B．＋y2＝1

C.＋＝1D．＋＝1

答案　C

解析　易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.

2．已知F是椭圆＋＝1（a>

0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是________．

答案　

解析　根据椭圆几何性质可知|PF|＝，|AF|＝a＋c，所以＝（a＋c），即4b2＝3a2＋3ac.又因为b2＝a2－c2，所以有4（a2－c2）＝3a2＋3ac，整理可得4c2＋3ac－a2＝0，两边同除以a2，得4e2＋3e－1＝0，所以（4e－1）·

（e＋1）＝0，由于0<

1，所以e＝.

题型　直线与椭圆的综合问题

角度1　椭圆与向量的综合问题

六安舒城中学模拟）设椭圆C：

0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°

，＝2.则椭圆C的离心率是________．

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1<

0，y2>

0.

直线l的方程为y＝（x－c），其中c＝.

联立

得（3a2＋b2）y2＋2b2cy－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2.

即＝2·

.

得离心率e＝＝.

角度2　弦长及弦中点问题

2．

（1）斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B．

（2）直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为________．

答案　

（1）C　

（2）－

解析　

（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t，

由

消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

Δ＝（8t）2－4×

5×

4（t2－1）>

0，得t2<

5.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

当t＝0时，|AB|max＝.

（2）解法一：

由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，

∴－＝，解得m＝－.

由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－.

设线段的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则2x＋y＝2,2x＋y＝2.两式相减得

2（x1－x2）（x1＋x2）＋（y1－y2）（y1＋y2）＝0.

把＝1，x1＋x2＝代入上式，得＝－，则中点的纵坐标为－.

角度3　直线与椭圆的位置关系及综合问题

3．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是（　　）

A．m>

1B．m>

C．0<

5且m≠1D．m≥1且m≠5

解析　直线y＝kx＋1恒过定点（0,1），

若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，

则点（0,1）在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，

所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>

0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.

4．（2018·

全国卷Ⅰ）设椭圆C：

＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2,0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：

∠OMA＝∠OMB.

解　

（1）由已知得F（1,0），直线l的方程为x＝1.

由已知可得，点A的坐标为或.

所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.

（2）证明：

当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1<

，x2<

，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.

由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得

kMA＋kMB＝.

将y＝k（x－1）代入＋y2＝1，得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－2＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k＝＝0.

从而kMA＋kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补，

所以∠OMA＝∠OMB.

综上，∠OMA＝∠OMB.

1．解决椭圆中与向量有关问题的方法

（1）将向量条件坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．

（2）利用向量关系转化成相关的等量关系．

（3）利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．

2．弦中点问题的解决策略

（1）根与系数的关系：

直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数的关系表示中点坐标．

（2）点差法：

利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率的关系．

3．求解直线与椭圆相交的弦长问题的步骤

（1）设直线Ax＋By＋C＝0与椭圆mx2＋ny2＝1（m>

0，m≠n）的两个交点坐标分别为E（x1，y1），F（x2，y2）．

（2）把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程．

（3）利用根与系数的关系，得到x1＋x2与x1x2或y1y2与y1＋y2.

（4）把与E，F有关要求的量（如弦长|EF|、直线与椭圆相关的图形面积等）用E，F的坐标表示出来，并变形为只含x1＋x2与x1x2（或y1＋y2与y1y2）的形式．

（5）将（3）中所得的含有参数的式子等量代入（4）中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果．

4．重要结论

（1）椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为.

（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝|x1－x2|＝·

或|AB|＝·

|y1－y2|＝·

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

解　

（1）由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20（m2－1）≥0，解得－≤m≤.

（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由

（1）知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝（m2－1），

所以|AB|＝＝

＝＝

＝.

所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.

沈阳质检）已知P点坐标为（0，－2），点A，B分别为椭圆E：

0）的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．

解　

（1）由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B（2,0）．

设Q（x0，y0），则由＝，得

代入椭圆方程得b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.

消去y并整理得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0.（*）

因直线l与E有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，

故Δ＝（－16k）2－48（1＋4k2）>

0，解得k2>

设M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系得

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以·

>

0，即x1x2＋y1y2>

0，

又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1－2）（kx2－2）

＝（1＋k2）x1x2－2k（x1＋x2）＋4

＝（1＋k2）·

－2k·

＋4>

解得k2<

4，综上可得<

k2<

4，

则<

k<

2或－2<

－.

则满足条件的斜率k的取值范围为∪.

高频考点　求椭圆的离心率问题

考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：

一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；

另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．

[典例1]　从椭圆＋＝1（a>

0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

解析　由题意可设P（－c，y0）（c为半焦距），kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝.

[典例2]　（2018·

芜湖模拟）已知椭圆E：

0）的右焦点为F（c,0）．圆C：

（x－c）2＋y2＝1上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB＝θ，θ∈，则椭圆C的离心率为（　　）

A．2－B．3－2

C.－D．－1

解析　圆C：

（x－c）2＋y2＝1的圆心为右焦点F（c,0），半径为1，

（1）当M位于椭圆的右顶点（a,0）时，|MF|取得最小值a－c，此时|MA|取得最小值，

即有∠AMB＝，sin＝，可得a－c＝，①

（2）当M位于椭圆的左顶点（－a,0），|MF|取得最大值a＋c.此时|MA|取得最大值，即有∠AMB＝，

sin＝，可得a＋c＝2，②

由①②解得a＝1＋，c＝1－，

则e＝＝＝3－2.

第2讲　双曲线

[考纲解读]　1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．（重点）

2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．（难点）

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考会考查：

①双曲线定义的应用与标准方程的求解；

②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.

对应学生用书P149

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2（|F1F2|＝2c>

0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>

0，c>

0：

（1）当a<

c时，P点的轨迹是双曲线；

（2）当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

（3）当a>

c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

3．必记结论

（1）焦点到渐近线的距离为b.

（2）等轴双曲线：

实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：

x2－y2＝λ（λ≠0）．

（3）等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±

x相互垂直．

（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．（　　）

（2）双曲线方程－