届高考数学文一轮复习讲义 第1章12 命题及其关系充分条件与必要条件Word文档下载推荐.docx

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B．若a>

b，c>

d，则ac>

bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2>

0，则x>

1”的逆否命题

答案　A

3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_________________________．

答案　两直线不平行，同位角不相等

4.“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

题组三　易错自纠

5．设x>

0，y∈R，则“x>

y”是“x>

|y|”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　x>

y⇏x>

|y|（如x＝1，y＝－2），

但当x>

|y|时，能有x>

y.

∴“x>

|y|”的必要不充分条件．

6．已知p：

x>

a是q：

2<

x<

3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，2]

解析　由已知，可得{x|2<

3}{x|x>

a}，∴a≤2.

题型一　命题及其关系

1．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的

，则其体积缩小到原来的

；

②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝

相切．

其中真命题的序号是________．

答案　①③

2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福

答案　D

3．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为________．（填写所有真命题的序号）

答案　①②③

解析　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；

②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；

③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；

④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．

4．设m∈R，命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_________．

答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

思维升华

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二　充分、必要条件的判定

例1

（1）已知α，β均为第一象限角，那么“α>

β”是“sinα>

sinβ”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　取α＝

，β＝

，α>

β成立，而sinα＝sinβ，sinα>

sinβ不成立．

∴充分性不成立；

取α＝

，sinα>

sinβ，但α<

β，必要性不成立．

故“α>

sinβ”的既不充分也不必要条件．

（2）已知条件p：

1或x<

－3，条件q：

5x－6>

x2，则¬

p是¬

q的（　　）

解析　由5x－6>

x2，得2<

3，即q：

3.

所以q⇒p，p⇏q，所以¬

p⇒¬

q，¬

q⇏¬

p，

所以¬

q的充分不必要条件，故选A.

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

跟踪训练1

（1）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（　　）

A．充要条件B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件D．必要不充分条件

解析　非有志者不能至，是必要条件；

但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

（2）设向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），则“a∥b”是“tanθ＝

成立”的______________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　必要不充分

解析　a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝

，所以“a∥b”是“tanθ＝

成立”的必要不充分条件．

题型三　充分、必要条件的应用

例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

跟踪训练2

（1）若“x>

2m2－3”是“－1<

4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________．

答案　[－1,1]

解析　依题意，可得（－1,4）（2m2－3，＋∞），

所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.

（2）设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

利用充要条件求参数范围

逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．

例已知条件p：

2x2－3x＋1≤0，条件q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若¬

q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　方法一　命题p为

，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

¬

p对应的集合A＝

，

q对应的集合B＝{x|x>

a＋1或x<

a}．

∵¬

q的必要不充分条件，

或

∴0≤a≤

.

方法二　命题p为A＝

命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．

∴p是q的充分不必要条件，即AB.

素养提升　例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．

1．命题“若a>

－3，则a>

－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；

其逆命题为“若a>

－6，则a>

－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．

2．已知命题p：

“正数a的平方不等于0”，命题q：

“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．否定

解析　命题p：

“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

3．（2018·

天津）设x∈R，则“

<

”是“x3<

1”的（　　）

解析　由

，得0<

1，则0<

x3<

1，即

“

”⇒“x3<

1”；

由x3<

1，得x<

1，当x≤0时，

≥

，即“x3<

1”⇏“

”．

所以“

1”的充分不必要条件．

故选A.

4．（2018·

抚顺模拟）设a，b∈R，则“（a－b）a2<

0”是“a<

b”的（　　）

A．充分不必要条件B．充要条件

解析　由（a－b）a2<

0可知a2≠0，则一定有a－b<

0，即a<

b；

但a<

b即a－b<

0时，有可能a＝0，所以（a－b）a2<

0不一定成立，故“（a－b）a2<

b”的充分不必要条件，故选A.

5．有下列命题：

①“若x＋y>

0且y>

0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m>

1，则mx2－2（m＋1）x＋m＋3>

0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确的是（　　）

A．①②③B．②③④

C．①③④D．①④

解析　①的逆命题“若x>

0，则x＋y>

0”为真，故否命题为真；

②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；

③的逆命题为“若mx2－2（m＋1）x＋m＋3>

0的解集为R，则m>

1”．

因为当m＝0时，解集不是R，

所以应有

即m>

1.所以③是真命题；

④原命题为真，逆否命题也为真．

6．（2018·

包头模拟）“log2（2x－3）<

1”是“4x>

8”的（　　）

解析　由log2（2x－3）<

1⇒0<

2x－3<

2⇒

，4x>

8⇒2x>

3⇒x>

，所以“log2（2x－3）<

8”的充分不必要条件，故选A.

7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>

0”是“S4＋S6>

2S5”的（　　）

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，

∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.

若d>

0，则21d>

20d,10a1＋21d>

10a1＋20d，

即S4＋S6>

2S5.

若S4＋S6>

2S5，则10a1＋21d>

即21d>

20d，

∴d>

0.∴“d>

2S5”的充分必要条件．

故选C.

方法二　∵S4＋S6>

2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>

2（S4＋a5）⇔a6>

a5⇔a5＋d>

a5⇔d>

0.

∴“d>

8．“直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（　　）

A．－1≤k<

3B．－1≤k≤3

C．0<

k<

3D．k<

－1或k>

3

解析　直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于

，解得k∈

（－1,3）．四个选项中只有（0,3）是（－1,3）的真子集，故充分不必要条件可以是“0<

3”．

9．有下列几个命题：

①“若a>

b，则a2>

b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<

4，则－2<

2”的逆否命题．

答案　②③

解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；

②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．

10．设p：

实数x，y满足x>

1且y>

1，q：

实数x，y满足x＋y>

2，则p是q的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

解析　当x>

1，y>

1时，x＋y>

2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>

2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，

故p是q的充分不必要条件．

11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>

sinB”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充要

解析　因为cosA>

sinB，所以cosA>

cos

因为角A，B均为锐角，所以

－B为锐角，

又因为余弦函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，

所以A<

－B，所以A＋B<

在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>

所以△ABC为钝角三角形；

若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，

则C>

，所以A＋B<

－B，所以cosA>

即cosA>

sinB.

故“cosA>

sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．

12．已知集合A＝

，B＝{x|－1<

m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案　（2，＋∞）

解析　因为A＝

＝{x|－1<

3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1>

3，即m>

2.

13．已知α，β∈（0，π），则“sinα＋sinβ<

”是“sin（α＋β）<

”的______________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

解析　因为sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ<

sinα＋sinβ，所以若sinα＋sinβ<

，则有sin（α＋β）<

，故充分性成立；

当α＝β＝

时，有sin（α＋β）＝sinπ＝0<

，而sinα＋sinβ＝1＋1＝2，不满足sinα＋sinβ<

，故必要性不成立．所以“sinα＋sinβ<

”的充分不必要条件．

14．已知不等式|x－m|<

1成立的充分不必要条件是

，则m的取值范围是_______．

解析　解不等式|x－m|<

1，得m－1<

m＋1.由题意可得

（m－1，m＋1），故

且等号不同时成立，解得－

≤m≤

15．已知p：

实数m满足3a<

m<

4a（a>

0），q：

方程

＋

＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．

解析　由2－m>

m－1>

0，解得1<

，即q：

1<

.因为p是q的充分条件，

所以

解得

≤a≤

，所以实数a的取值范围是

16．已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥2}，p：

x∈A，q：

x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．

∪

解析　由y＝x2－

x＋1＝

2＋

，0≤x≤2，

得

≤y≤2，∴A＝

又由题意知A⊆B，

∴2－m2≤

，∴m2≥

∴m≥

或m≤－