实验报告书Word文档下载推荐.docx
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0.5
1.0
1.5
-4.45
-0.45
0.55
-0.44
0.54
4.55
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合,并求平方误差,作出离散函数(
)和拟合函数的图形。
实验四数值微积分实验
1、复化求积公式计算定积分:
用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分,要求绝对误差为
,并将计算结果与精确解进行比较:
(1)
,
(2)
三、实验原理(将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出。
)
拉个朗日插值原理:
经过个点,构造一个n次多项式,形
使得成立。
其中为插值基
函数。
拟合多项式原理:
假设给定数据点
(i=0,1,…,m),
为所有次数不超过
的多项式构成的函数类,现求一
使得
(1)
当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式
(1)的
称为最小二乘拟合多项式。
特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。
显然
为
的多元函数,因此上述问题即为求
的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件,得
(2)
即
(3)
(3)是关于
的线性方程组,用矩阵表示为
(4)
式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。
可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。
从式(4)中解出
(k=0,1,…,n),从而可得多项式
(5)
可以证明,式(5)中的
满足式
(1),即
为所求的拟合多项式。
我们把
称为最小二乘拟合多项式
的平方误差,记作
由式
(2)可得
(6)
四、实验内容(列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验设备(硬件和软件)。
实验步骤:
1、先编写好matlabM文件,然后在命令窗口编辑程序并运行;
2、运行,观察结果;
3、根据运行结果进行结果分析。
实验三
各个实验在matlab窗口输进的主要程序如下:
拉格朗日插值:
x=-5:
1:
5;
y1=1./(1+x.^2);
y2=atan(x);
y3=x.^2./(1+x.^4);
L1=malagr(x,y1,x);
L2=malagr(x,y2,x);
L3=malagr(x,y3,x);
plot(x,y1,'
r'
x,y2,'
g'
x,y3,'
b'
x,L1,'
rp'
x,L2,'
gd'
x,L3,'
b*'
);
xlabel('
x'
ylabel('
y'
legend('
y1'
'
y2'
y3'
L1'
L2'
L3'
拟合多项式:
作三次多项式拟合的程序:
x=[-1.5-1.0-0.500.51.01.5];
y=[-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55];
y1=mafit(x,y,3)
作五次次多项式拟合的程序:
y2=mafit(x,y,5)
求平方误差,作出离散函数
和拟合函数的图形,程序为:
%sanciniheduoxiangshidexishu
y2=[-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55];
y=mafit(x,y,3);
p1=2.0000.*x.^3-0.0014.*x.^2-1.5007.*x+0.0514
y2=mafit(x,y,5);
p2=0.0120.*x.^5+0.0048.*x.^4+1.9650.*x.^3-0.0130.*x.^2-1.4820.*x+0.0545
norm(p1-y)
norm(p2-y)
plot(x,y,'
s'
x,p1,'
d'
x,p2,'
p'
p1'
p2'
%sfangxing;
dlingxing;
pwujiaoxing
实验四
复化求积公式计算定积分
用复化梯形公式相关的程序和相关的注释如下:
%numericalintegrateformulation1
(1)f2=diff('
2/3*x^3*exp(x^2)'
2)%求对变量x的二阶偏导数
%f2=4*x*exp(x^2)+28/3*x^3*exp(x^2)+8/3*x^5*exp(x^2)=exp(x^2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)
x=2;
a=4*x*exp(x^2)+28/3*x^3*exp(x^2)+8/3*x^5*exp(x^2)%求2的函数值
f=inline('
1/12*h^2*(9.1725e+003)-0.5e-008'
h'
%复化梯形余项减去误差
h=fzero(f,0)%求满足精度的h值
n=abs(1/h);
%求满足精度的n值
fun=inline('
2/3.*x.^3*exp(x.^2)'
T=matrap(fun,1,2,n)%T=54.5979
b=exp(4)%exp(4)=54.5982
(2)
f2=diff('
2*x/(x^2-3)'
%f2=-12/(x^2-3)^2*x+16*x^3/(x^2-3)^3
a=-12/(x^2-3)^2*x+16*x^3/(x^2-3)^3%求f2的函数值
1/12*h^2*104-0.5e-008'
%复化梯形余项减去误差
h=fzero(f,0)%求满足精度的h值
T=matrap(fun,2,3,n)%T=1.7918
b=log(6)%log(6)=1.7918
用复化辛普公式相关的程序和相关的注释如下:
%用复化辛普公式
f2=diff('
4)%求对变量x的4阶偏导数
%f2=80*x*exp(x^2)+200*x^3*exp(x^2)+96*x^5*exp(x^2)+32/3*x^7*exp(x^2)
x=4;
a=80*x*exp(x^2)+200*x^3*exp(x^2)+96*x^5*exp(x^2)+32/3*x^7*exp(x^2)%求f2的函数值
1/2880*h^4*(2.5431e+012)-0.5e-008'
%复化辛普余项减去误差
T=masimp(fun,1,2,n)%T=54.5864
%用复化辛普公式
(2)
%f2=-960/(x^2-3)^4*x^3+240/(x^2-3)^3*x+768*x^5/(x^2-3)^5
a=-960/(x^2-3)^4*x^3+240/(x^2-3)^3*x+768*x^5/(x^2-3)^5%求f2的函数值
1/12*h^2*0.4039-0.5e-008'
T=matrap(fun,2,3,n)%T=1.7915
b=log(6)%log(6)=1.7918
用龙贝格公式相关的程序和相关的注释如下:
(1)T1=maromb(inline('
2./3*x.^3.*exp(x.^2)'
),1,2,0.5e-008)
b=exp(4)
T1=maromb(inline('
2*x./(x.^2-3)'
),2,3,0.5e-008)
b=log(6)
五、实验结果(实验结果应包括试验的原始数据、中间结果及最终结果,复杂的结果可以用表格或图形形式实现,较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。
作三次多项式拟合结果为:
y1=
2.0000-0.0014-1.50070.0514
因此三次拟合函数为:
作五次多项式拟合结果为:
y2=
0.01200.00481.9650-0.0130-1.48200.0545
因此五次次拟合函数为:
和拟合函数的图形,结果如下:
拟合函数图形:
相关数据输出:
p1=
-4.4507-0.44930.55140.0514-0.44930.54934.5472
p2=
-4.4505-0.44870.54650.0545-0.44350.54134.5496
ans=
0.0136
0.0069
由此可知道:
三次拟合离散函数为:
(-1.5,-4.4507),(-1.0,-0.4493),(-0.5,0.5514),(0.0,0.0514),(0.5,-0.4493),
(1.0,0.5493),(1.5,4.5472)
(-1.5,-4.4505),(-1.0,-0.4487),(-0.5,0.5465),(0.0,0.0545),(0.5,-0.4435),
(1.0,0.5413),(1.5,4.5496)
求积公式计算定积分相关的结果:
利用复化梯形公式:
f2=
4*x*exp(x^2)+28/3*x^3*exp(x^2)+8/3*x^5*exp(x^2)
a=
9.1725e+003
h=
-2.5576e-006
fun=
Inlinefunction:
fun(x)=2/3.*x.^3*exp(x.^2)
T=
54.5979
b=
54.5982
f2=
-12/(x^2-3)^2*x+16*x^3/(x^2-3)^3
104
-2.4019e-005
fun(x)=2*x/(x^2-3)
1.6736
1.7918
用复化辛普公式相关的结果如下:
80*x*exp(x^2)+200*x^3*exp(x^2)+96*x^5*exp(x^2)+32/3*x^7*exp(x^2)
2.5431e+012
-4.8781e-005
54.5864
f2=
-960/(x^2-3)^4*x^3+240/(x^2-3)^3*x+768*x^5/(x^2-3)^5
0.4039
-3.8542e-004
1.7915
用龙贝格公式相关的结果如下:
146.50120000000
83.924363.0653000000
62.613255.509555.005800000
56.653554.666954.610854.60450000
55.115454.602754.598454.598254.5982000
54.727754.598454.598254.598254.598254.598200
54.630554.598254.598254.598254.598254.598254.59820
54.606254.598254.598254.598254.598254.598254.598254.5982
T1=
2.50000000000
2.01921.8590000000
1.85641.80221.798400000
1.80881.79291.79221.79210000
1.79611.79181.79181.79181.7918000
1.79281.79181.79181.79181.79181.791800
1.79201.79181.79181.79181.79181.79181.79180
1.79181.79181.79181.79181.79181.79181.79181.7918
1.7918
六、实验结果分析(对实验结果进行认真的分析,进一步明确实验所涉及的算法的优缺点和使用范围。
要求实验结果应能在计算机上实现或演示,由实验者独立编程实现,程序清单以附录的形式给出。
拉格朗日
插值函数的图像经过y=f(x)图像,所以通过一批数据可求得相关的函数表达式。
拟合多项式实验:
离散函数的图像和拟合函数的图像几乎重合,其中三次拟合的平方误差比五次的低,由此可推断多项式拟合在一定的范围里,拟合的次数越高,误差越低。
有实验的数据可知道复化梯形公式的精确度最低,龙贝格公式精确度最高。