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1、0.51.01.5-4.45-0.450.55-0.440.544.55分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数（）和拟合函数的图形。实验四 数值微积分实验1、复化求积公式计算定积分:用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为，并将计算结果与精确解进行比较：（1）， （2）三、实验原理 （将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出。）拉个朗日插值原理：经过 个点 ，构造一个n次多项式，形 使得 成立。其中 为插值基函数。拟合多项式原理：假设给定数据点（i=0,1,m），为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 （1）当拟合函数为

2、多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 （2）即 （3）（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 （4）式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出（k=0,1,，n），从而可得多项式 （5）可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式（2）可得 （6） 四、实验内容 （列出实验的实施方案、步骤、数据准

3、备、算法流程图以及可能用到的实验设备（硬件和软件）。实验步骤：1、 先编写好matlabM文件，然后在命令窗口编辑程序并运行；2、 运行，观察结果；3、 根据运行结果进行结果分析。实验三各个实验在matlab窗口输进的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=1./（1+x.2）;y2=atan（x）;y3=x.2./（1+x.4）;L1=malagr（x,y1,x）;L2=malagr（x,y2,x）;L3=malagr（x,y3,x）;plot（x,y1,r,x,y2,g,x,y3,b,x,L1,rp,x,L2,gd,x,L3,b*）;xlabel（xylabel（ylegend

4、（y1,y2y3L1L2L3拟合多项式：作三次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y1=mafit（x,y,3）作五次次多项式拟合的程序：y2=mafit（x,y,5）求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形，程序为：% san ci ni he duo xiang shi de xi shuy2=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y=mafit（x,y,3）;p1=2.0000.*x.3-0.0014.*x.2-1.5007.*

5、x+0.0514y2=mafit（x,y,5）;p2=0.0120.*x.5+0.0048.*x.4+1.9650.*x.3-0.0130.*x.2-1.4820.*x+0.0545norm（p1-y）norm（p2-y）plot（x,y,s,x,p1,d,x,p2,pp1p2% s fangxing; d lingxing; p wujiaoxing实验四复化求积公式计算定积分用复化梯形公式相关的程序和相关的注释如下：% numerical integrate formulation 1（1） f2=diff（2/3*x3*exp（x2）,2） % 求对变量x的二阶偏导数%f2=4*x*ex

6、p（x2）+28/3*x3*exp（x2）+8/3*x5*exp（x2）=exp（x2）*8/3*x（2*x+1）（x+3）x=2;a=4*x*exp（x2）+28/3*x3*exp（x2）+8/3*x5*exp（x2） %求2的函数值f=inline（1/12*h2*（9.1725e+003）-0.5e-008h%复化梯形余项减去误差 h=fzero（f,0） %求满足精度的h值n=abs（1/h）; %求满足精度的n值fun=inline（2/3.*x.3*exp（x.2）T=matrap（fun,1,2,n） % T= 54.5979b=exp（4） % exp（4）= 54.5982（

7、2） f2=diff（2*x/（x2-3）% f2 =-12/（x2-3）2*x+16*x3/（x2-3）3a=-12/（x2-3）2*x+16*x3/（x2-3）3 %求f2的函数值1/12*h2*104-0.5e-008 %复化梯形余项减去误差h=fzero（f,0） %求满足精度的h值T=matrap（fun,2,3,n） % T= 1.7918 b=log（6） % log（6）= 1.7918用复化辛普公式相关的程序和相关的注释如下： % 用复化辛普公式f2=diff（,4） %求对变量x的4阶偏导数%f2=80*x*exp（x2）+200*x3*exp（x2）+96*x5*exp（

8、x2）+32/3*x7*exp（x2）x=4;a=80*x*exp（x2）+200*x3*exp（x2）+96*x5*exp（x2）+32/3*x7*exp（x2） %求f2的函数值1/2880*h4*（2.5431e+012）-0.5e-008 %复化辛普余项减去误差T=masimp（fun,1,2,n） % T= 54.5864 %用复化辛普公式（2）% f2 =-960/（x2-3）4*x3+240/（x2-3）3*x+768*x5/（x2-3）5a=-960/（x2-3）4*x3+240/（x2-3）3*x+768*x5/（x2-3）5 %求f2的函数值1/12*h2* 0.4039-

9、0.5e-008T=matrap（fun,2,3,n） % T= 1.7915b=log（6） % log（6）= 1.7918用龙贝格公式相关的程序和相关的注释如下： （1）T1=maromb（inline（2./3*x.3.*exp（x.2）,1,2,0.5e-008）b=exp（4） T1=maromb（inline（2*x./（x.2-3）,2,3,0.5e-008）b=log（6）五、实验结果 （实验结果应包括试验的原始数据、中间结果及最终结果，复杂的结果可以用表格或图形形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。作三次多项式拟合结果为：y1 =2.0000 -0.0014

10、-1.5007 0.0514因此三次拟合函数为：作五次多项式拟合结果为：y2 = 0.0120 0.0048 1.9650 -0.0130 -1.4820 0.0545因此五次次拟合函数为：和拟合函数的图形，结果如下：拟合函数图形：相关数据输出：p1 = -4.4507 -0.4493 0.5514 0.0514 -0.4493 0.5493 4.5472p2 = -4.4505 -0.4487 0.5465 0.0545 -0.4435 0.5413 4.5496ans = 0.0136 0.0069由此可知道：三次拟合离散函数为：（-1.5，-4.4507），（-1.0，-0.4493），

11、（-0.5，0.5514），（0.0，0.0514），（0.5，-0.4493），（1.0，0.5493），（1.5，4.5472） （-1.5，-4.4505），（-1.0，-0.4487），（-0.5，0.5465），（0.0，0.0545），（0.5，-0.4435），（1.0，0.5413），（1.5，4.5496）求积公式计算定积分相关的结果：利用复化梯形公式：f2=4*x*exp（x2）+28/3*x3*exp（x2）+8/3*x5*exp（x2）a = 9.1725e+003h = -2.5576e-006fun = Inline function: fun（x） = 2/3.*

12、x.3*exp（x.2）T = 54.5979b = 54.5982f2 =-12/（x2-3）2*x+16*x3/（x2-3）3 104 -2.4019e-005 fun（x） = 2*x/（x2-3） 1.67361.7918用复化辛普公式相关的结果如下：80*x*exp（x2）+200*x3*exp（x2）+96*x5*exp（x2）+32/3*x7*exp（x2） 2.5431e+012 -4.8781e-005 54.5864 f2 =-960/（x2-3）4*x3+240/（x2-3）3*x+768*x5/（x2-3）5 0.4039 -3.8542e-004 1.7915用龙贝格

13、公式相关的结果如下：146.5012 0 0 0 0 0 0 083.9243 63.0653 0 0 0 0 0 062.6132 55.5095 55.0058 0 0 0 0 056.6535 54.6669 54.6108 54.6045 0 0 0 055.1154 54.6027 54.5984 54.5982 54.5982 0 0 054.7277 54.5984 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 0 054.6305 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 054.6062 54.5982

14、54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982 54.5982T1 =2.5000 0 0 0 0 0 0 02.0192 1.8590 0 0 0 0 0 01.8564 1.8022 1.7984 0 0 0 0 01.8088 1.7929 1.7922 1.7921 0 0 0 01.7961 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 0 01.7928 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 0 01.7920 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 01.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918 1.7918六、实验结果分析 （对实验结果进行认真的分析，进一步明确实验所涉及的算法的优缺点和使用范围。要求实验结果应能在计算机上实现或演示，由实验者独立编程实现，程序清单以附录的形式给出。拉格朗日插值函数的图像经过y=f（x）图像，所以通过一批数据可求得相关的函数表达式。拟合多项式实验：离散函数的图像和拟合函数的图像几乎重合，其中三次拟合的平方误差比五次的低，由此可推断多项式拟合在一定的范围里，拟合的次数越高，误差越低。有实验的数据可知道复化梯形公式的精确度最低，龙贝格公式精确度最高。