高三数学立体几何经典例题Word格式文档下载.docx
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三、解答题（4xlOr+14=54*）
15•定直线人丄平面q.垂足为动直线b在平面a内过定点N,但不过定点M・MN=a为定值，在人、h上分别有动线段AB我CD=c・b、c为定值•问在什么情况下四面体ABCD的体积最大最大值是多少
16•如图所示，已知四边形ABCDSEADM和MDCF都是边长为“的正方形，点P、0分别是ED和
AC的中点，求：
（1）而与用所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线与几2的距离.
17•如图，在梯形ABCD中，AB//CD,^ADC=9O\3AD=DC=3.AB=2.E是CD上一点，满足DE=
1,连结AE,将沿胚折起到△ZME的位置，使得乙ZMB=60。
.设AC与BE的交点为O.
（1）试用基向量AB^AE表示向量O£
>
]
⑵求异面直线OD与AE所成的角.
⑶判断平面与平面ABCE是否垂直.并说明理由.
D
第17题图
1&
如图，在斜棱柱ABC-A^Cx中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°
顶点Bi在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.
（1）求证：
5C丄C/；
（2）求二面角C-ABC的大小.
19•如图所示，在三棱锥P^ABC中，PA=PB=PC,BC=2aAC=aAB=yf3a.点P到平面ABC的距离为
（1）求二面角P・AC・B的大小；
（2）求点B到平面PAC的距离.
立体几何练习参考答案
一、选择题
1.D设正三棱锥P・ABC中，
各棱之间的夹角为CG棱与底面夹角为PS为点s到平面PQR的距离.则
心啓戶+匸亠（+p0PRsina）PSsi叩.另一方面.记0到各平面的距离为/则有WpqrVo.pqr+V。
丿J厶
PQPRPSsinp=（KPQPR+PRPS+PQPS）,冃卩亠+亠+亠=二常量.
PRPSd
2.B设正"
棱锥的高为施相邻两侧面所成二面角为0•当力T）时，正“棱锥的极限为正"
边形，这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角e-Ti.
当力-8时，正舁棱锥的极限为正〃棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正〃边形的内角，即e-匕2IT•故选B.
n
3.B如图，易知四边形EFGH为矩形，当P-底面△ABC的中心0时，矩形矩形E\F】GH・
S矩形钠G”=QFiF1Gn号心于“2
（芈^al+oo）.故选B.
4.C女口图，・.•（/=AE.a丄AF,・•・"
丄平面AEF・
设"
交平面AEF于点G,则乙EGF是二面角a-哪的平面亀乙EG民60。
.乙少民120。
但易知当厶ABC的周长最小时，BGEGWFG.
设点A关于平面a的对称点为/V,点A关于平面p的对称点为A”.连结A'
A"
份别交线段EG
、FG于点B、C,则此时AABC的周长最短，记为/.由中位线定理及余弦定理得
l=2EF=2如+22-2x4x2cosl20°
=441.
5.D因为ABCD是正四面体，故AC丄BD作EG〃AC交BC于G,连结GF,则z厶GEF、且
CG_AE_CF
GF〃BD故GF丄EG且皆乙EFG,.J（入）=以+%=90。
为常数.
6.C这两条直线在距“为右的平面上，分布在“在该平面上的射影的两侧.
7.A设正四棱锥各棱长均为1,则"
1,S=y/3f此时，正四棱锥的高尼
・・.归+0匸三•将Q=l,S=仔代入选择支，知A正确.
3o
8.B考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B两点应为直径的两端点时的情况.点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A,球的最长弦就是
直径，但球没有最短弦.
9.C若m//l,则p内必有与川平行的直线；
若加与/相交，则P内无直线与加平行.
•••不一定存在直线与直线川平行，排除A、B.又p内一定存在与加在p内的射影垂直的直线，由三垂线定理知，P内一定存在直线与m垂直•故选C.
10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力.该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有7个顶点.
二、填空题
11.止“；
亞"
本题通过等积找规律.
23
12.*"
分析P点到仏B、C距离相等，故P点在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心，故可由心眈的已知条件求出厶ABC外接圆半径，进而求得P点到平面ABC的距离，及外心到直线的距离，从而最终解决问题.
解记P点在平面ABC上的射影为0,贝IJAO、BO、C0分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影
•.PA=PB=PC,OA=OB=OC,
：
.0为氐ABC的外心.
在厶ABC中，BC=792+152+9x15=21
由正弦定理，2R=一；
R=讣
1sin120°
P点到平面ABC的距离为J/-匕石）'
=7.
（D为BC边的中点）
o点到直线BC的距离OD=J（7y/3）2+岸m
.OP丄平面ABC,OD丄BC，・・PD丄BC・
・・・P到BC的距离PD=J7-
13.3如图所示，作CE丄AD,连结EF,易证EF丄AD则乙CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角•设G为CD的中点，同理AAGB为面ACD和面BCD所成二面角的平面角，由已知乙CEFMAGB.
设底面的边长为纽侧棱AD长为b.在厶43中,
CEb=AG2a、所以唇。
°
小=松w2q
bb
解得归牛仏因此肚2时，2*3,・・・最远的两顶点间距离为3.
14.36正四面体ABCD的底部是正△BCD假设离BC边最近的球有”个，则与底面△BCD相切的球也有"
排，各排球的个数分别为“、炉1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+”=忤匕个•由于正四面体各面都是正三角形•因此，正四面体内必有“层球，自上而下称为：
第1层、第2
层、…第"
层，那么第层，第”-2层，…第2层，第1层球的个数分别是：
4c/?
（/?
+1）,八.（n-l）?
i
1+2—n=、1+2+••+/?
-1=,
22
1+2=2£
1,i=IT1
川”+1）（n-l）n1x2
!
H1
222
即丄/:
（/:
+1）（/?
+2）=120.
6
即（小8）（於+15+90）=0「・・心&
因此正四面体内共有8层小球，其底部所放球数为岁=36（个）.
三、解答题
15•分析在四面体ABCD的基础上，补上一个三棱锥B^MCD・
解如图，连结MC、M0则
・・AM丄平面MDC、BM丄平面MDC/
1
A
/77y
B/
3
/
M/
J
设M到CD的距离为X,则S』DC=yCDx=1ex,
第15颗图解
・•・V.vbcd=—x—exb=—box
326
•・•xWMN=a「・当x=a时，
即MN为人与b的公垂线时，皿⑵最大，它的最大值为丄航・
O
点评xWMN.包含gMN.也包含x<
MN.垂线段小于斜线段.
16•解建立空间直角坐标系，使得D（0Q0）他0,0）/（心0）,C（0“0）,M（0加），F
（0心）,
则由中点坐标公式得P（y-0,号）,Q（牛,|.0）,
⑴所以PM=（.-lA-）,FS（-r-W）,PMFg=（--）x-+O+^x（“=・丄0,
22222224
_^一_22
\PMWFQ\迈g/口2
且|而|=也FQ|=圧匕所以cosiPM,FQ（）=_竺竺=_4L=-—•
故得两向量所成的角为150。
；
（2）设g（xj,z）是平面EFB的单位法向量即1/41川丄平面EFB,所以〃丄示但"
丄辰,
又EF=（-<
/x/,0）fBE=（0,“a）•即有？
-ax+ay=0,得其中的一个解是
设所求距离为〃，则<
/=lPE•/归空r；
（3）设e=（x\,y\,z\）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由莎7=（一牛o£
庞=&
.一牛—"
，
（2）阪旋=（両一+乔一+旋）•旋=lxVIxcos45。
一+x2xVIcos45。
一+（71）2=一］
・・（函）—（亦方JAE）2=y,
所以06与胚所成角为arccos斗.
•.顾显亦总+花亦“2560冷"
<
沁457.
・•・MD]丄AB・
MD1AE=AD^AE■丄AE2=Jlcos45°
-丄x（V2）2=0,AA/D?
丄AE.
所以MD垂直于平面ABCE内两条相交直线・・・・MD丄平面ABCE而DM平面ADiE,所以平面ADiE丄平面ABCE.
18.
（1）解法一连结BO、CO,・・bO丄平面ABC,CO丄AB、:
.B\C丄AB,又••在菱形BBiCiC中，BiC丄BC-
B\C丄平面ABC】，B\C丄GA.
⑵作G0丄平面ABC于。
点，连接A0
•••乙GC0是侧棱与底面所成的角，即乙GC0=6O。
在"
口中，CQ=-^CCi=AO,CiQ=£
-CCi,
由BC,BiG,OQ平行且相等，X•.CO丄AB・・・・04丄AR..CS丄AB.
.■-LQACx是二面角Cx-AB-C的平面角.
在厶AQCi中，CiQ=AQt/.Z（?
ACi=45o
解法二
（1）以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如
・・BQ丄平面ABC,
・・・SBO是侧棱与底面所成角，・・・乙B、B0=62・
设棱长为汕则OB-EbO*又CO为正三角形的中线，・・・CO=VTa
则A（0“0）、B（0,“0）,C（血匕0,0）血（0,0・厲u）,C]（V3“）.
B}C=（y[3t/.O,-V3“）,C】A=（・VJa）.
B]CC[A=-3t/2+O+3t/2=O,BiC丄CiA・
（2）在厶C\AB中，I帀1=尿仏|运1=1（V3<
/）1=V10aSAB\=2a,
•'
•5ac14^=
作GQ丄平面ABC于0点，则Q（V3aM.O）・
・・・血啦=>
/1“2,设二面角的平面角为&
贝ijcos9=S^Q=止-・
SAC}AB2
二面角Cx-AB-C的平面角为450.
19.
（1）解法一由条件知△ABC为直角三角形，乙BAC=90\
•••PA=PB=PC；
点P在平面ABC上的射影是AABC的外心，即斜边BC的中点£
取AC中点0连结PD、DE、PE.PE丄平面ABC・
DE丄AC（\DE//AB）.:
.AC丄PD—DE为二面角P・AC・B的平面角.
tanPDE=丄乞=-^=—=7?
DE厲
a
2
・•・乙PD民60。
・故二面角P・AC・B的平面角为60°
.
解法二设O为BC的中点，则可证明PO丄面ABC,建立如图空间直角坐标系,则彳一斗a,o,B（・a,0,0）,C（“,0,0）,P（0,0|■町,
AC中点D丄a•二ileo
、44
AB=
-丄a.^a.o\.DP=
'
3爲3、一—a.ci、—a
22丿
442.
Z
・・AB丄AC.PA=PC、PD丄AC,
cos<
AB.DP>
即为二面角P・AC・B的余弦值.
二面角P・AC・B的平面角为60。
（2）解法_PAJPE?
+DE》
Sspc=丄
设点B到平面PAC的距离为九
则由VP-ABC=^BAPC得—SiABcPE=—S^\pch,
I匸S、'
¥
M=
SMPC
3—a
故点B到平面PAC的距离为*・
解法二点£
到平面PAC的距离容易求得，为斗“而点B到平面PAC的距离是其2倍.
4
•••点B到平面PAC的距离为yfl.
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