高三数学立体几何经典例题Word格式文档下载.docx

1、三、解答题（4xlOr+14=54*）15定直线人丄平面q.垂足为动直线b在平面a内过定点N,但不过定点MMN=a为定值，在人、 h上分别有动线段AB我CD=cb、c为定值问在什么情况下四面体ABCD的体积最大最大值是多少16如图所示，已知四边形ABCDS EADM和MDCF都是边长为“的正方形，点P、0分别是ED和AC的中点，求：（1）而与用所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线与几2的距离.17如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD, ADC = 9O3AD=DC=3.AB=2.E 是 CD 上一点，满足 DE =1,连结AE,将沿胚折起到ZME的位置，使得乙ZMB = 6

2、0。.设AC与BE的交点为O.（1）试用基向量AB AE表示向量O求异面直线OD与AE所成的角.判断平面与平面ABCE是否垂直.并说明理由.D第17题图1&如图，在斜棱柱ABC-ACx中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的 角为60,顶点Bi在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.（1）求证：5C丄C/ ；（2）求二面角C-ABC的大小.19如图所示，在三棱锥PABC中，PA=PB=PC, BC=2aAC=aAB=yf3 a.点P到平面ABC的距离为（1）求二面角PACB的大小；（2）求点B到平面PAC的距离.立体几何练习参考答案一、选择题1.D设正三棱锥PABC中，各棱之

3、间的夹角为CG棱与底面夹角为PS为点s到平面PQR的距离.则心啓戶+ 匸亠（ + p0PRsina） PSsi叩.另一方面.记0到各平面的距离为/则有 WpqrVo.pqr+V。丿 J 厶PQPRPSsinp=（KPQPR+PRPS+PQPS）,冃卩 亠+亠 + 亠=二常量.PR PS d2.B设正棱锥的高为施相邻两侧面所成二面角为0当力T）时，正“棱锥的极限为正边形，这时 相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角e-Ti.当力-8时，正舁棱锥的极限为正棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正边形的内角，即e- 匕2 IT故选B.n3.B如图，易知四边形EFGH为矩形，当P-底面 ABC的中心0时，矩

4、形矩形EF】GHS矩形钠G” =QFi F1Gn 号心于“2（芈al+oo）.故选 B.4.C女口图，.（/ = AE.a丄AF,丄平面AEF设交平面AEF于点G,则乙EGF是二面角a-哪的平面亀 乙EG民60。.乙少民120。但易知当厶 ABC的周长最小时，BGEGWFG.设点A关于平面a的对称点为/V,点A关于平面p的对称点为A”.连结AA份别交线段EG、FG于点B、C,则此时AABC的周长最短，记为/.由中位线定理及余弦定理得l=2EF=2 如+22 -2x4x2cosl20 =441 .5.D因为ABCD是正四面体，故AC丄BD作EGAC交BC于G,连结GF,则z厶GEF、且CG _

5、AE _ CFGFBD故GF丄EG且皆乙EFG, .J （入）=以+%=90。为常数.6.C这两条直线在距“为右的平面上，分布在“在该平面上的射影的两侧.7.A设正四棱锥各棱长均为1,则1, S=y/3f此时，正四棱锥的高尼.归+ 0匸三将Q=l, S=仔代入选择支，知A正确.3 o8.B考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B两点应为直径的两端点时的情况. 点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A,球的最长弦就是直径，但球没有最短弦.9.C若m/l,则p内必有与川平行的直线；若加与/相交，则P内无直线与加平行.不一定存在直线与直线川平行，排除A、B.又

6、p内一定存在与加在p内的射影垂直的直线，由三垂 线定理知，P内一定存在直线与m垂直故选C.10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力.该多面体是正方体切割 掉一个顶点，故有7个顶点.二、填空题11.止“；亞本题通过等积找规律.2 312.* 分析P点到仏B、C距离相等，故P点在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心，故可 由心眈的已知条件求出厶ABC外接圆半径，进而求得P点到平面ABC的距离，及外心到直线的距 离，从而最终解决问题.解 记P点在平面ABC上的射影为0,贝IJAO、BO、C0分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影. PA=PB=PC,OA=OB=O

7、C,：.0为氐ABC的外心.在厶 ABC 中，BC= 792+152+9x15 =21由正弦定理，2R= 一；R=讣1 sin 120P点到平面ABC的距离为J/ -匕石）=7.（D为BC边的中点）o点到直线BC的距离OD= J（7y/3）2 +岸 m. OP丄平面ABC, OD丄BC，PD丄BCP到BC的距离PD=J7-13.3如图所示，作CE丄AD,连结EF,易证EF丄AD 则乙CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角设G为 CD的中点，同理AAGB为面ACD和面BCD所成二面角的 平面角，由已知乙CEFMAGB.设底面的边长为纽侧棱AD长为b.在厶43中,CEb=AG2a、所以唇。小

8、=松w 2qb b解得归牛仏因此肚2时，2*3,最远的两顶点间距离为3.14.36正四面体ABCD的底部是正BCD假设离BC边最近的球有”个，则与底面BCD相切的球 也有排，各排球的个数分别为“、炉1、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+”= 忤匕个由 于正四面体各面都是正三角形因此，正四面体内必有“层球，自上而下称为：第1层、第2层、第层，那么第层，第”-2层，第2层，第1层球的个数分别是：4 c /?（/? +1） ,八 .（n-l）?i1 +2 n= 、 1 +2+ +/?-1 = ,2 21+2=21,i = IT1川” + 1） （n-l）n 1x2 ! H 1 2 2 2即丄

9、 /:（/:+1 ）（/?+2）= 120.6即（小8）（於+1 5+90）=0心&因此正四面体内共有8层小球，其底部所放球数为 岁 =36（个）.三、解答题15分析 在四面体ABCD的基础上，补上一个三棱锥BMCD解如图，连结MC、M0则AM丄平面MDC、BM丄平面MDC /1A/ 77yB /3/M/J设M到CD的距离为X,则SDC= y CDx= 1 ex,第15颗图解 V.vbcd= x ex b= box3 2 6 xWMN=a当 x=a 时，即MN为人与b的公垂线时，皿最大，它的最大值为丄航O点评xWMN.包含gMN.也包含xMN.垂线段小于斜线段.16解 建立空间直角坐标系，使得

10、D（0Q0）他0,0）/（心0）,C（0“0）, M （0加），F（0心）,则由中点坐标公式得P（ y -0,号）,Q（牛,| .0）,所以 PM =（.-lA-）,FS（-r-W）, PM Fg=（-）x-+O+x （“=丄 0,2 2 2 2 2 2 2 4_一 _2 2PMWFQ 迈 g/ 口 2且|而|= 也FQ |= 圧匕所以cosi PM , FQ（）=_竺 竺 = _ 4 L =-故得两向量所成的角为150。；（2）设g（xj,z）是平面EFB的单位法向量 即1/41川丄平面EFB,所以丄示但丄辰,又 EF =（-/x/,0）f BE= （0,“a） 即有？-ax+ay = 0,

11、 得其中的一个解是设所求距离为，则/=l PE /归空r ；（3）设e=（x,y,z）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量, 则由莎7=（一牛o庞=&.一牛，（2）阪旋=（両一+乔一+ 旋）旋= lxVIxcos45。一+ x2xVIcos45。一+（71）2 =一（函）（亦方 J AE）2=y,所以06与胚所成角为arccos斗.顾显亦总+花亦“2560冷沁457.MD丄ABMD1 AE = AD AE丄 AE2 = Jl cos 45-丄 x（V2 ）2=0, A A/D?丄 AE.所以MD垂直于平面ABCE内两条相交直线MD丄平面ABCE 而DM平面ADiE,所以平面ADiE丄平面ABC

12、E.18.（1）解法一连结BO、CO,bO丄平面ABC, CO丄AB、:.BC丄AB, 又在菱形BBiCiC中，BiC丄BC-BC 丄平面 ABC】，BC 丄 GA. 作G0丄平面ABC于。点，连接A0乙GC0是侧棱与底面所成的角，即乙GC0=6O。在口 中，CQ=-CCi=AO, CiQ=-CCi,由BC, BiG, OQ平行且相等，X . CO丄AB04丄AR. .CS丄AB.- LQACx是二面角Cx-AB-C的平面角.在厶AQCi 中，CiQ=AQt /. Z（?ACi=45o解法二（1）以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如BQ丄平面ABC,SBO

13、是侧棱与底面所成角，乙B、B0=62设棱长为汕则OB-EbO*又CO为正三角形的中线，CO=VTa则 A（0“0）、B（0,“0）,C（血匕0,0）血（0,0厲 u）,C（ V3 “）.BC =（ y3 t/.O,- V3 “）, C】A=（VJ a）.B C C A =-3t/2+O+3t/2=O,BiC 丄 Ci A （2）在厶 CAB 中，I 帀 1=尿仏| 运 1=1 （ V3 /1“2,设二面角的平面角为&贝ij cos9= SQ =止-SACAB 2二面角Cx-AB-C的平面角为450.19. （1）解法一由条件知ABC为直角三角形，乙BAC=90PA=PB=PC；点P在平面ABC

14、上的射影是AABC的外心，即斜边BC的中点,取AC中点0 连结PD、 DE、PE. PE丄平面ABCDE丄AC（ DE/AB）.:. AC丄PDDE为二面角PACB的平面角.tanPDE=丄乞=-= = 7?,DE 厲 a2乙PD民60。故二面角PACB的平面角为60.解法二设O为BC的中点，则可证明PO丄面ABC,建立如图空间直角坐标系, 则彳 一斗a,o ,B（a,0,0）,C（“,0,0）,P（0,0|町,AC 中点 D 丄a二ileo、4 4AB =-丄 a.a.o.DP =3 爲 3、 一 a. ci、a2 2丿4 4 2 .Z AB 丄AC.PA=PC、PD 丄AC,cos即为二面角PACB的余弦值.二面角PACB的平面角为60。（2）解法 _ PA J PE? + DESspc=丄设点B到平面PAC的距离为九则由 VP-ABC=B APC 得SiABcPE= Spch,I匸 S、 M =SMPC3 a故点B到平面PAC的距离为*解法二点到平面PAC的距离容易求得，为斗“而点B到平面PAC的距离是其2倍.4点B到平面PAC的距离为yfl .