第2章《质点运动学》习题解答Word格式.docx
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112.50
2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km收听者离收音机2m问谁先听到声音？
声速为340m/s,电磁波传播的速度为3.0108m/s。
tl
t2
17
0.05（s）
340
23201032
80.0136（s）
3.0108340
t1
在广州的人先听到声音。
2.2.4如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音
747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？
如果能，试估计一下（自己找所需数据）。
【解］
2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min
后以70km/h速率向北偏西300方向行驶。
求列车的平均加速度。
90?
V2
70cos60°
?
i?
、35229.3782
t0.05
70cos300?
（70cos30090）?
913.91（km/h2）
0.071（m/s）
913.910.0570.
—sin300—si^筋口
0.7659,49.990
2.2.6
（1）冃Rcosti?
Rsintj?
2tk?
R为正常数。
求t=0,n/2时的速度和
加速度。
（2）r
3t?
4.5t2?
6t3!
求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
（1）
Rcost?
2tl?
drdtdt
Rsinti?
Rcosti?
ax
t=0
时，
2k,a
R,Vz
R?
0,Vy
R,ayaz
Rcostj?
21?
Rsintj?
2,
t=n/2时,
-R?
V-r?
2i?
a
Vx-R,vy0,vz
ax0,ay-R,az
J3ti?
-4.5t2j?
6t3?
V生3?
-91?
18t2k,
dvQ?
a-9j-
dt
当t=0时，V3i?
-9?
当t=1时，V3?
18k?
a-9?
36k?
2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图，试说
明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）
a直线的斜率为速度
dx
vaxtg12001.732（m/s）
t0,x020m
20
Id
10
20-
tg60°
t|x020/「311.547（s）
b直线的斜率为速度
vbxtg30°
0.577（m/s）
t0,x010（m）
100tg30,t|x010/0.57717.331（s）
tlx0
c直线的斜率为速度
Vextg4501（m/s）
t0,x025（m）
t|x025（s）
2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数。
求质点速度和
加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。
vxasintacos（t）,
axacostacos（t）
质点受力Fmamacostmx，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a，运动范围在axa，速度具有周期性。
2.3.3跳伞运动员的速度为
qt
v铅直向下，B、q为正常量。
求其加速度。
讨论当时间足够长时（即tfg）,
速度和加速度的变化趋势
dvqeqt（1a
eqt）qeqt（1eqt）
■^7
（1
qe
eqt）2
dv
dvdx
a,a
v
5
dxdt
2•2
—v0sin
—x
v0cos
v0sinx
50
105
当x=1.5km时,
9675.67（km/h2）
2.3.5
在水平桌面上放置A、B两物体,
用一不可伸长的绳索按图示的装置
把它们连接起来
C点与桌面固定。
已知物体A的加速度aA
0.5g，求物体B的
t,v,a0
234直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。
列车原行驶速
度为v0180km/h,其速度变化规律如图所示。
求列车行驶至x=1.5km时加速度的
大小。
180sin—
0.747（m/s2）
加速度
-er
A
5g
X/z/Xz尹庄Z/"
严F#
B
绳廉设为L
/
Lx厂
—叮
厂/
以C为坐标原点，建立一维坐标系0-X。
设绳的总长度为,B的坐标为Xb,A
的坐标为xA，则得
3xa4xbl
两端对t求导
d2XA
4骑
dt2
0,
3aA4aB0,
33
aB汙40.5g
8g
2.3.6质点沿直线的运动学方程为x10t3t2。
（1）将坐标原点沿ox轴正方向移动2m运动学方程如何？
初速度有无变化？
（2）将计时起点前移1s，运动学方程如何？
初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？
加速度变不变？
（1）x10t3t2
xx2,xx2，代入上式得：
22
x210t3t,x3t10t2,
x
106t,vxvx初速度不变
10t
3t2
tt
1,t
1代入上式得：
x10（t
1）
3（t1）
4t
7
初坐标t
0,x7（m）由0变为-7m.
vx6t4,初速度由10m/s变为4m/s.
加速度不变，都是6m/s2.
以下四题用积分
2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度
ax2t[cm/s2]，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后6s时质点的位
置、在此期间所走过的位移及路程：
（1）初速度v00；
（2）初速度V0的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。
tt2
（1）vxVox°
axdt，v02tdtt,
tti
xXooVxdt，xt2dt-t3,
003
当t=6s时，
x72（cm）,x72072（cm）,
质点运动的路程：
s72（cm）
t2
⑵Vx902tdtt29,
t213
x0（t2-9）dt3t3-9t,
x618（cm）,x18018（cm）,
Vxt9,Vx0,t3,
质点运动的路程如图，
t二3七。
。
t=6x
—；
1」~~*
-1818
xIt39t，t3,X318,t6,x618，
3
s1821854（cm）
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为
Vx3sint.求t13至t25时间内的位移。
xx2x1
3sintdt,
xx2
Xi
3sintdt
3costI5
3（cos5cos3）3.82（m）
2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为axA2cost.在
t=0时，Vx0,xA,其中A、均为正常数，求此质点的运动学方程。
VxVox0axdt,
vxAcostdt
X0
A0costd（t）Asint
xx00vxdt,
xAAsintdt
AAcos110Acost
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。
刚着陆时，t=0时速度为v0
且坐标为x=0.假设其加速度为
b=常量,
求此质点的运动学方程。
bvx,
dvx
2vx
bdt,
兰btdt,
v0v0
vx
xX。
0vxdt,
（bv°
1），
tv°
x（
dVx
°
t1）
1
Tn（bv°
t1）|0b
axbv；
1td（bv0tb0（bv0t1）
In（bv°
b
解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条
245在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的
加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡。
问
（1）经过多长时间两人相遇；
（2）两人相遇时，各走过多少路程。
建立坐标系0-X,
对上坡的质点1:
t=0,vio=5m/s,x10=0,ai=-0.2m/s\
对下坡的质点2:
t=0,v2o=-1.5m/s,x2o=195m,
a2=-0.2m/s2,
相遇时，Xi=X2,所需时间设为t，则
Xi0
V10t^ait2
X20
V20t
1.2
a2t
5t
12
-0.2t2195
1.5t
0.2t2,
t30（s）
质点1的速度表达式为：
wv10a-it50.2t
V!
0,t25s，所以质点1的路程为两段路程之和，如图所式。
前25s的路程:
5250.22562.5（m）,
后5s的路程：
10.2522.5（m）
s62.52.565（m）
质点2的路程：
195-62.5+2.5=135（m）
2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。
火车开
动后经过厶t=24s，第一节车厢的末尾从此人的面前通过。
问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？
火车作匀加速运动。
1_…夕_II八3一
；
（1COCOC
仁！
T
11at2,a2,
2242
设火车第六节末尾经过此人的时间为t6,
火车第七节末尾经过此人的时间为
t7,
61
1atf,7l
24.6飞
t7
t6
121
21/242
24.7,
4.71（s）
141
24（76）
2.4.7
在同一铅直线上相隔
h的两点以同样的速率Vo上抛二石子，但在高
处的石子早
to秒被抛出。
求此二石子何时何处相遇。
h协2gt2
Vo（tto）£
g（tto）2
解出t得:
gto
Vo$
g2
将t代入y
Vgt
y1（h
Vo
g
h2
gt：
g^）
4
2.4.8电梯以1.om/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问
当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
【解］建立基本坐标系0-X,原点固结在地面上，建立运动坐标系0x原点固结在电梯
的地板。
t，则
小孩相对运动参照系0x（电梯）跳起到落回地板所需时间设为
h1g
（2）2,解出td得,
t2J竺,这段时间电梯下降的距离为
S,
s2vo
2120.500.638（m）
Y9.8
2.5.1质点在o-xy平面内运动，其加速度为
acosti?
sint?
位置和速度的初始条件为t=0时
Vi?
求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）
II
由acost,sinj,得
axcost,aysint初始条件:
t=0时,V0x=0,V0y=1,x0=1,y0=0
Vxv°
x0axdt,Vx0costdt
sint
Vyv°
y°
aydt,
xx°
°
Vxdt,x
yy。
0Vydt,y
vy1sintdtcost
y0
1sintdtcost
costdtsint
xcost
ysint
sint?
轨道方程：
x2y21
2.5.2在同竖直值面内的同一水平线上A、B两点分别以300、600为发射角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点的距
离。
已知小球在A点的发射速率va9.8m/s.
HaHb,Ra/2Rb/2AB,
Ha
Va.2sin
2g
0VB20
30,Hb—sin60,
vb
2.20
vASin30
20
sin60
，Ra
匕sin（2300）,
Rb
—sin（2g
600）,
Va.sin
30
VB■20
sin60,
AB
RaRb
vAsin60°
丄（v；
sin600vBsin120°
）
sin2300sin120：
•3d）
vAsin60°
sin2300）
sin2600
2.38（m）
2.5.3迫击炮弹的发射角为600,发射速率150m/s.炮弹击中倾角30。
的山坡
上的目标，发射点正在山脚。
求弹着点到发射点的距离OA.
yAXAtg
y3xa
2v2cosX"
缪xA,……
（1）
V0
由几何关系:
xaOAcos30°
yAOAsin300
1-
2OA……⑶
将⑵、（3）式代入
（1）式
OA（理OA1）0
2%
OA
0,舍去
15.3102（m）
2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°
俯冲时，在763m高度投放炸弹，炸弹离
开飞机5.0s时击中目标。
不计空气阻力。
（1）轰炸机的速率是多少？
（2）炸弹
在飞行中经过的水平距离是多少？
（3）炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和
铅直方向的分量是多少？
以投放炸弹处为坐标原点
（1）yv0cos530t-gt2,v0
2ygt2
2cos530t
27639.852
2cos5305
212.9（m/s）
（2）xv0sin53°
t
212.90.79865850.1（m）,
（3）
vxv0sin53°
170（m/s）,
vyv0cos530gt177.1（m/s）
2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，靠他得到
这样的信息：
（1）抛射体达到最大高度且以速率v沿水平方向运动；
（2）观察者
到抛射体的直线距离为；
（3）观测员观察抛体的视线与水平方向成角。
问：
（1）抛射体命中点到观察者的距离D等于多少？
（2）何种情况下抛体飞越观察者的头顶以后才击中目标？
何种情况下抛体在未达到观测员以前就命中目
标？
（1）Hlsin
1.2
2gt，
t^2lsgn，命中点，x命中点v°
tV0
2lsin
观测者X观察者lcos
抛射体命中点到观察者的距离
X命中点X观察者
lcos
当x命中点
x观察者，飞越观察者的头顶击中目标，即
21sin
V。
VolC0S\2lsin
当x命中点X观察者，抛体在未达到观测员以前就命中目标，即
v0lcos
2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，
其运动学方程为s80tt2（长度：
m时间：
s）。
t=0时，列车在图中o点，此圆弧形轨道的半径r=1500m.求列车驶过o点以后前进至1200m处的速率及加速度。
采用自然坐标系，o为自然坐标系的原点。
由s80tt2得
ds“~d«
c
vt802t，at-2，
dtdt
当s=1200m时，由s80tt2得120080tt2,
t20,t60,（舍去）因为当t=60时，
vt8026040
当t20,vt8022040（m/s），即列车驶过o点以后前进至1200m处的速率
为40m/s.
过o点以后前进至1200m处的加速度:
at
dvt
2（m/s2）
vt2402
r1500
1.067（m/s2）
aa；
a；
221.06722.267（m/s2）,
可以算出a与v的夹角为152°
262火车以200km/h的速度驶入圆弧形轨道，其半径为300m司机一进
入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。
求火车在何处的加速度最大？
最大加速
度是多少?
at2g,
vV02gt,
（V。
2gt）
：
（2g）2
2gt）4
R2
R
由上式可见t=0时（刚进入圆弧形轨道时）
amax
4g2
乌代入数值得
49.82
（200103/3600）4
3002
22.1（m/s2）
tg1色27042
a
2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。
当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m斗车速率为50km/h,切向加速度aT=0.4g.求斗
车的加速度。
v2
a,'
a；
a：
4.126（m/s2）
at0.4g,an—,
tgian18.16°
at
加速度与水平方向的夹角
30018.16011.840
2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行。
机身的方向是自东北向西南，与正
西夹150角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45°
角，结
果飞机向正西方向运动。
求飞机相对于风的速度及相对地面的速度
基本参照系：
地面
运动参照系：
风
研究对象：
飞机
绝对速度：
v机地，相对速度：
v机风，牵连速度：
v风地
v机风V风地
sin135°
sin15°
v机风
厂v风地
sin15
75.9（m/s）
v机
sin30
sin15°
sin30°
/、
v机地°
v风地53.7（m/s）
2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h，它朝正北的方向飞行，
使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。
地面观察者利用通讯设备
告诉驾驶员正在刮着速率等于7°
km/h的风，但飞机仍能以235km/h的速率沿公
路方向飞行。
（1）风的方向是怎样的？
（说，飞机的轴线和公路成怎样的角度？
2）飞机的头部指向哪个方向？
也就是
地面运动参照系：
风研究对象：
V机风，牵连速度:
sin
35
235
V机地，相对速度:
0.1489,
8.5708034
228.57017.1401708
2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒定速率30m/s行驶，在此车上射出一抛体，要求在车前进60m时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。
以卡车为参照系，以起抛点为坐标原点，建立直角坐标系o-xy,如图所示。
以抛
出时刻为计时起点。
0,ay
g,
Vx
V0x,
Vy
v0y0
gdt
V0ygt,
0v°
xdt
V0xt,
y
0（v0y
gt）dt
V0yt2gt
Vox
vocos
V°
v0sin
得:
xv0cost,yv0sint1gt2.
由已知，t602（s）时，x0,y
0代入
0Vocos2,……⑴，
0vosin2-g22……
（2）
由（1得cos0,sin一，
由
（2）得Vo9.8（m/s）
表明：
抛射体相对卡车以9.8m/s的速率竖直上抛时，当卡车前进了60m抛体
落回抛射点。
2.8.4河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速行驶，经
10min到达对岸的C点。
若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达
彼岸B点，需要12.5min。
已知BC=120m求
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