高考复习数学期望试题及详解.docx
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考点自测
1．（2010·山东）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）．
A.B.C.D．2
解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.
s2＝
＝2.
答案 D
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为（ ）．
A.B．4C．－1D．1
解析 E（X）＝－＋＝－，
E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－＋3＝.
答案 A
3．（2010·湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E（ξ）＝8.9，则y的值为（ ）．
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9
解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②
由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.
答案 A
4．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（ ）．
A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45
解析 ∵X～B（n，p），∴E（X）＝np＝1.6，
D（X）＝np（1－p）＝1.28，∴
答案 A
5．（2010·上海）随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量ξ的均值是________．
解析 由分布列可知E（ξ）＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
答案 8.2
6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E（ξ）＝________.
解析 ξ的取值为0,1,2,3，则
P（ξ＝0）＝＝；P（ξ＝1）＝＝；
P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝.
∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案
7．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E（ξ）＝________.
解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）的概率均为，连续摸4次（做4次试验），ξ为取得红球（成功）的次数，则ξ～B，
从而有E（ξ）＝np＝4×＝.
答案
考向一 离散型随机变量的期望和方差
【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1
A2和B2
A3和B3
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
（1）求X，Y的分布列；
（2）求E（X），E（Y）．
[审题视点]首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．
解
（1）X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
P（X＝3）＝××＝，
P（X＝2）＝××＋××＋××＝，
P（X＝1）＝××＋××＋××＝，
P（X＝0）＝××＝；
根据题意X＋Y＝3，所以
P（Y＝0）＝P（X＝3）＝，P（Y＝1）＝P（X＝2）＝，
P（Y＝2）＝P（X＝1）＝，P（Y＝3）＝P（X＝0）＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
Y的分布列为
Y
3
2
1
0
P
（2）E（X）＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
因为X＋Y＝3，所以E（Y）＝3－E（X）＝.
2.广东17.（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图
如图4所示，其中成绩分组区间是：
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中的值；
（2）从成绩不低于分的学生中随机选取人，
该人中成绩在分以上（含分）的人数记为，
求的数学期望。
【解析】
（1）
（2）成绩不低于分的学生有人，其中成绩在分以上（含分）
的人数为
随机变量可取
答：
（1）
（2）的数学期望为
考向二 期望与方差性质的应用
【例2】►设随机变量X具有分布P（X＝k）＝，k＝1,2,3,4,5，求E（X＋2）2，D（2X－1），.
[审题视点]利用期望与方差的性质求解．
解 ∵E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.
E（X2）＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.
D（X）＝（1－3）2×＋（2－3）2×＋（3－3）2×＋（4－3）2×＋（5－3）2×＝（4＋1＋0＋1＋4）＝2.
∴E（X＋2）2＝E（X2＋4X＋4）
＝E（X2）＋4E（X）＋4＝11＋12＋4＝27.
D（2X－1）＝4D（X）＝8，＝＝.
【训练2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
（1）求X的分布列、期望和方差；
（2）若η＝aX＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．
解
（1）X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D（X）＝（0－1.5）2×＋（1－1.5）2×＋（2－1.5）2×＋（3－1.5）2×＋（4－1.5）2×＝2.75.
（2）由D（η）＝a2D（X），得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E（η）＝aE（X）＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
一、选择题
1．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X）＝6.3，则a的值为（ ）.
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A．5B．6C．7D．8
解析 由分布列性质知：
0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴E（X）＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.
∴a＝7.
答案 C
2．（2011·安徽合肥）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）＝2.4，D（X）＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为（ ）．
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析 由题意得解得
答案 B
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B（10，0.6），则E（η），D（η）分别是（ ）．
A．6和2.4B．2和2.4
C．2和5.6D．6和5.6
解析 若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b（a，b为常数），当已知E（X）、D（X）时，则有E（η）＝aE（X）＋b，D（η）＝a2D（X）．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E（η）＝8－E（X）＝8－10×0.6＝2，
D（η）＝（－1）2D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案 B
4．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
则在下列式子中：
①E（X）＝－；②D（X）＝；
③P（X＝0）＝.
正确的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
解析 E（X）＝（－1）×＋1×＝－，故①正确．
D（X）＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确．
由分布列知③正确．
答案 C
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0,1）），已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为
（ ）．
A.B.C.D.
解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0又＋＝
＝3＋＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.
答案 D
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