数列与不等式证明方法归纳练习版Word下载.docx
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0,ai0,ania.i1an（nN）。
（I）求证：
当nN*时：
ana.i;
22a
［典例2］已知数列an满足ai,a.i'
nN
53an
（I）求丄的通项公式;
an
（n）设an的前n项和为Sn，求证：
Sn
1*
［典例3］设数列an满足ai1,a*ian（nN）。
（I）证明：
2n1an、3n2（nN*）；
（n）求正整数m，使a20i7m最小。
n*
［典例1］已知数列an满足：
ai1,ani（1—）an（nN），求证：
a.i
［典例2］已知数列an与其前n项和Sn满足一」（1（a2）。
an1a1Sn
（I）求数列
an的通项公式；
（n）证明：
nk*
3（nN）。
kiak1
n*
［典例1］已知an21（nN）。
求证:
a
a2
a3
an1
1（n
［典例2］已知数列
满足a12,an12（Snn1）（nN）。
1
是等比数列；
（n）求证：
11
11
。
ai
a3an
16
［典例3］设Mn是数列an前n项之积，满足Mnan1,nN
（I）求数列an的通项公式;
——22
2,、
5
n）设SnM1M2
Mn,求证：
Snan1
12
3
［典例1］已知数列an满足ai，a.iJ,nN
2
［典例2］已知nN,圆Cn:
x2y2R（Rn0）与y轴正半轴的焦点为P，与曲线
厂1*
yx的交点为Q（-,yn），直线PQ与x轴的交点为A（an,0）。
对nN,证明：
n
（I）anan12；
（n）若Snnai,Tnn1，则7-。
i1i1i5Tn2
、公式、定理
（1）利用均值不等式
［典例］数列an定义如下：
印2,an,
anan1。
证明:
（I）an1an；
（n）
an11
a1a2an;
1
（川）
1—
1。
a〔a2
（2）利用二项式定理
［典例］已知数列an满足：
ai1,2an3a.1点（n2）。
（3）利用不动点定理求数列通项
［典例
16x
1］已知函数f（x）
4x
7
4，数列可
bn满足
a10,b10,an1f（an），
bn1
f（bn）,nN*。
（I）
求a1的取值范围，使对任意的正整数n,
都有an1
an；
若a13，bi4，求证：
0bnan
8n1，n
*
N
［典例2］已知函数f（x），数列an满足ai1,an1f（an）,nN
4x15
（I）求f（x）x
0的实数解；
（n）是否存在实数
c，使得a2nca2n1对所有的nN*都成立？
证明你的结论;
（川）设数列an的前n项和为Sn,证明：
-Sn1o
4n
［典例］在正项数列an中，ait（t
0），a2-，Sn为an的前n项和，且
4SnSii3SniSn（n2）
（I）比较a2016与3a2017的大小;
、累加、累乘
1）累加法
[典例1]已知数列
an，an
0，
a10，an1
2*
1an2（nN*）。
当n
N*时：
an1；
（n）记Sna1
an，
求证：
Snn
2（n
N*）。
［典例2］已知f（x）X2
X，数列an的首项ai
an1
f（an）。
an1an；
12*
［典例3］已知数列an满足a1=且an1=an-an（nN）
1-2（nN*）；
（n）设数列
的前n项和为Sn，证明
2（n2）
2（n1）
［典例1］设2a3，给定数列an，其中印a，an1邑，nN
2（an1）
［典例2］已知数列an满足：
aia
0,1,且0an1
an2an3，设bn
（anan1）an1。
（i）比较a1a2和亠的大小;
也dan1;
■a1a2an
（川）设Tn为数列bn的前n项和，求证：
Tn—
［典例3］已知函数f（X）X3X2,数列Xn（Xn>
0）的第一项X.=1,以后各项按如下方式取定：
曲线yf（x）在（Xn1,f（Xn!
））处的切线与经过（0,0）和（Xn,f（Xn））两点的直
线平行（如图）求证：
当nN*时,
（I）XnXn
3x；
12Xn
（2）
Xn
（2）n
3*1
［典例4］设数列an满足印0,an1n1*
（I）an1（3C）（nN）；
Can1C，nN，其中0C3。
证明
/、22
（n）aia2
13c
四、证明不等式常用方法
（1）反证法
［典例］设a
2，给定数列
，其中ai
a，an1
2（an1），nN。
（[）an
an12,n
（n）如果
a3，那么当
.a
lg3
」3时，必有an1
lg4
（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论
［典例］设数列an满足ai3,a*i
2*
a*nan1（nN），证明对nN
（i）ann2;
1111
1a-i1a21an2
五、其它方法
［典例］设数列
、卄2
an满足anian
（I）当
ai1时，
0an
（□）当
1时，an
（q
1）q
（川）当
I评
时，n
2n
i
；
an1（nN）,Sn为an的前n项和。
证明：
对nN,
ai-,an1
2*2n1112n
anan（nN）。
2an3
22
（3）将递推等式化为递推不等式
a1,an1
20163"
（0N）。
a20171；
（川）若an
1，求正整数
k的最小值。
（4）符号不同分项放缩
［典例］已知数列
an中的相邻两项
a2k1，a2k是关于x的方程x2
kk
（3k2）x3kg2
的两个根，且a2kiwa2k（k1,2,3,L）.
（i）求数列an的前2n项和S2n；
（n）记f（n）
sinn
-3,Tn
（1严
（1）f（3）
（1）f（4）.
（1）f（n1）
a〔a2
a3a4
a2n1a2n
1十
5,
）.
证••十Tn<
三（n
6
24
，求
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