高考广东理科数学试题及答案word解析版.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合，，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】，故选B．

（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数满足，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】，故选A．

（3）【2014年广东，理3，5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（）

（A）8（B）7（C）6（D）5

【答案】C

【解析】画出可行域，易知在点与处目标函数分别取得最大值，与最小值，，故选C．

（4）【2014年广东，理4，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（）

（A）离心率相等（B）虚半轴长相等（C）实半轴长相等（D）焦距相等

【答案】D

【解析】，，，从而两曲线均为双曲线，又，两双曲线的焦距相等，故选D．

（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量，则下列向量中与成夹角的是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为，故选A．

（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

（A）200,20（B）100,20（C）200,10（D）100,10

【答案】A

【解析】样本容量为，抽取的高中生近视人数为：

，故选A．

（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，，则下列结论一定正确的是（）

（A）（B）（C）既不垂直也不平行（D）的位置关系不确定

【答案】D

【解析】平面中的四条直线，，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．

（8）【2014年广东，理8，5分】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）

（A）60（B）90（C）120（D）130

【答案】D

【解析】可取，和为1的元素个数为：

；和为2的元素个数为：

；和为3的元素个数为：

，故满足条件的元素总的个数为，故选D．

二、填空题：

本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~13）

（9）【2014年广东，理9，5分】不等式的解集为．

【答案】

【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2，故该不等式的解集为：

．

（10）【2014年广东，理10，5分】曲线在点处的切线方程为．

【答案】

【解析】，，所求切线方程为，即．

（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．

【答案】

【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为．

（12）【2014年广东，理12，5分】在中，角所对应的边分别为，已知，

则．

【答案】2

【解析】解法一：

由射影定理知，从而，．

解法二：

由上弦定理得：

，即，，即，．

解法三：

由余弦定理得：

，即，，即．

（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列的各项均为正数,且,则．

【答案】50

【解析】，，设，则，

，．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为．

【答案】

【解析】即，故其直角坐标方程为：

，的直角坐标系方程为：

，与的交点的直角坐标为．

（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则．

【答案】9

【解析】显然，．

三、解答题：

本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数，且．

（1）求的值；

（2）若，，求．

解：

（1），．

（2）由

（1）得：

，

，

，，，

．

（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：

件），获得数据如下：

30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组

频数

频率

3

0.12

5

0.20

8

0.32

（1）确定样本频率分布表中和的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率．

解：

（1），，，．

（2）频率分布直方图如下所示：

（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间的概率为，设日加工零件数落在区

间的人数为随机变量，则，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间

的概率为：

．

（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的余弦值．

解：

（1）平面，，平面平面，平面平面，

平面，，平面，平面，，又

，，平面，，平面．

（2）解法一：

过作交于，平面，平面，过作于，连

则为二面角的平面角，设，，，从而，

，，，即，，还易求得，，从而

，易得，，，，

故，．

解法二：

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，

，设，则，，可得，从而，易得

，取面的一个法向量为，设面的一个法向量为，

利用，且，得可以是，从而二面角的余弦值为．

（19）【2014年广东，理19，14分】设数列的前和为,满足，且．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式．

解：

（1）

，

联立解得，，综上，，．

（2）当时，

并整理得：

，由

（1）猜想，以下用数学归纳法证明：

（ⅰ）由

（1）知，当时，，猜想成立；

（ⅱ）假设当时，猜想成立，即，则当时，

，

这就是说时，猜想也成立，从而对一切，．

（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．

解：

（1），，，，椭圆的标准方程为：

．

（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．

若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程

中并整理得：

，依题意，，

即，即，

，两切线相互垂直，，即，，

显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．

（21）【2014年广东，理21，14分】设函数，其中．

（1）求函数的定义域（用区间表示）；

（2）讨论在区间上的单调性；

（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．

解：

（1），则或

由得：

，，

方程的解为，由得或，

由得，方程的判别式，

该方程的解为，由得．

，，

．

（2）设，

则，

（ⅰ）当时，，，；

（ⅱ）当时，，，；

（ⅲ）当时，，，；

（ⅳ）当时，，，．

综上，在上的单调增区间为：

，

在上的单调减区间为：

．

（3）设，由

（1）知，当时，；

又，显然，当时，，

从而不等式，

，，

（ⅰ）当时，，欲使，即，

亦即，即；

（ⅱ）时，，，

此时，即；

（ⅲ）时，，不合题意；

（ⅳ）时，，，，

不合题意；

（ⅴ）时，，欲使，则，

即，从而．

综上所述，的解集为：

．

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