高考专题复习一(集合与简易逻辑).doc
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高考专题复习——集合与简易逻辑
集合与简易逻辑有关概念性质：
一．集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如
（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。
（答：
8）
（2）设，，，那么点的充要条件是________
（答：
）；
（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个
（答：
7）
二．遇到时，你是否注意到“极端”情况：
或；同样当时，你是否忘记的情形？
要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如
集合，，且，则实数＝___.
（答：
）
三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如
满足集合M有______个。
（答：
7）
四．集合的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
如：
设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.
（答：
，）
五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
如：
—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如
（1）设集合，集合N＝，则___
（答：
）；
（2）设集合，，，则_____
（答：
）
六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：
已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。
（答：
）
七.复合命题真假的判断。
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
如：
在下列说法中：
⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；
⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；
⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；
⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。
其中正确的是__________
（答：
⑴⑶）
八．四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p则﹁q”；逆否命题为“若﹁q则﹁p”。
提醒：
（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都不等价；
（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：
否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；
（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？
如：
（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________
（答：
在中，若，则不都是锐角）；
（2）已知函数，证明方程没有负数根。
九．充要条件。
关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。
如：
（1）给出下列命题：
①实数是直线与平行的充要条件；
②若是成立的充要条件；
③已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；
④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题。
其中正确命题的序号是_______
（答：
①④）；
（2）设命题p：
；命题q:
。
若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是
（答：
）
十．一元一次不等式的解法：
通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。
如
已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______
（答：
）
十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当和时的解集你会正确表示吗？
设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或
或
R
R
R
如解关于的不等式：
。
（答：
当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）
十二．对于方程有实数解的问题。
首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。
对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？
如：
（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______
（答：
）；
（2）关于的方程有解的条件是什么？
（答：
，其中为的值域），特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：
）
十三．一元二次方程根的分布理论。
方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？
（、、）。
根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．
如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________
（答：
（，1））
十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？
二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。
如
（1）不等式的解集是，则=__________
（答：
）；
（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________
（答：
）；
（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______
（答：
）。
典型例题：
【例1】设，求集合A与B之间的关系。
【例2】已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。
【例3】已知集合，集合B=。
如果，试求实数a的值。
【例4】若集合A=，B=，且，求实数x。
【例5】已知集合A=，B=，若，求实数m的值。
【例6】已知集合A={}，B=，C=，若与同时成立，求实数a的值。
【例7】，，A∪B=A，求a的取值构成的集合。
【例8】已知，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。
【例9】某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；
（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。
【例10】（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.
【例11】（2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.
【例12】（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：
“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？
并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
【例13】已知； ¬是 ¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【例14】（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.
（1）判断函数的增减性；
（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.
（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.
【专题练习】
一、选择题
1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：
（D）
A．MÍ（）B．MÊ（）C．D．
2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：
（D）
A．B．C．D．
3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：
（C）
A．6个B．7个C．8个D．9个
4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有（B）
（A）2（B）3（C）4（D）5
5．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ）（）
为（C）
（A）｛1，2，3｝（B）｛2，3，4｝（C）｛3，4，5｝（D）｛1，4，5｝
6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则（B）
（A）（B）（C）M（）（D）M（）
7．设P=｛x|x≥-2｝,Q=｛x|x≥3｝，则PQ等于（D）
（A）Æ（B）R（C）P（D）Q
8．设集合E=｛n|n=2k,kZ｝，F=｛n|n=4k,kZ｝，则E、F的关系是（B）
（A）EF（B）EF（C）E=F（D）EF=Æ
9．已知集合M=，N={x||x-1|≤2}，则MN等于（B）
（A） （B）
（C） （D）
10．已知集合I=R，集合M={x|x=，nN}，P={x|x=，nN}，则M与P的关系是（B）
（A）MP=Æ（B）P=Æ（C）M=Æ（D）=Æ
11．已知集合A={y|y=,xR},B={y|y=xR},则AB等于（C）
（A）{2，4}（B）{（2，4），（4，16）}
（C）{y|y≥0}（D）{x|x<0}
12．设全集I=R，集合P=，集合Q={x|x+4>0}，则（D）
（A）PQ=Æ（B）PQ=R
（C）Q=（D）={-4}
二、解答题
1.设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。
2.已知A=，B=。
若AB，求实数a的取值范围。
3.已知集合A=，B=，且，求实数
m的值。
4.已知集合A=，B=；若
，求实数a的取值范围。
5.已知集合，同时满足
①，②，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。
6.已知关
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