高中不等式的基本知识点和练习题.docx
《高中不等式的基本知识点和练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中不等式的基本知识点和练习题.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）加法法则：
；（同向可加）
（4）乘法法则：
；
（同向同正可乘）
（5）倒数法则：
（6）乘方法则：
（7）开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：
作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
2、分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
3、不等式的恒成立问题：
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（），把它的坐标（）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
变形：
有:
a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P（定值）,当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S（定值）,当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：
（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：
（1）（根据目标不等式左右的运算结构选用）；
（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型
（一）不等式与不等关系
题型二：
比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
1.设，，，试比较的大小
（二）解不等式
题型三：
解不等式
2.解不等式。
3.
4.不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____,b=_______
5.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
题型四：
恒成立问题
6.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________
7.若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.
8.已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。
（三）基本不等式
题型五：
求最值
9.求函数y＝3x2＋的值域。
10.求的值域。
11.求函数的值域。
12.若实数满足，则的最小值是.
13.已知，且，求的最小值。
14.已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.
15.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
题型六：
利用基本不等式证明不等式
16已知为两两不相等的实数，求证：
17.
（1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：
（1－a）（1－b）（1－c）≥8abc
（2）已知a、b、c，且。
求证：
（四）线性规划
题型八：
目标函数求最值
18满足不等式组，求目标函数的最大值
19.已知满足约束条件：
则的最小值是
20已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
21.已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
升级会员 